第二章 二次函数 单元练习（含详解） 2024-2025九年级下册数学北师大版(2012)

二次函数
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若是二次函数，则m的值为( )
A. B.2 C. D.
2.若实数x,y,m满足,则代数式的值可以是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨x元，月销售利润为y元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是( )
A.表示涨价后商品的单价
B.表示涨价后少售出商品的数量
C.表示涨价后商品的月销售量
D.当时月利润达到最大
4.已知在平面直角坐标系中，抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图是二次函数的图象,下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.观察规律,,,,运用你观察到的规律解决以下问题：如图,分别过点作x轴的垂线,交的图象于点,交直线于点.则的值为( )
A. B. C. D.
7.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.将抛物线位于y轴左侧的部分沿x轴翻折,其余部分不变,翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象,若直线与新图象有且只有2个公共点,则t的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
9.如图,在菱形ABCD中,,,点P,Q同时从点A出发,点P以的速度沿的方向运动,点Q以的速度沿的方向运动,当其中一点到达D点时,两点停止运动.设运动时间为,的面积为,则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
10.二次函数的图象如图所示,抛物线的对称轴是直线,且与x轴的一个交点为,与y轴交点的纵坐标在-3~-2之间,根据图象判断以下结论：①；②；③；④：⑤若且,则.其中正确的结论是( )
A.②④ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图，运动员小铬推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为_____米．
12.已知二次函数(其中x是自变量),当时,y随x的增大而增大,且时,y的最大值为21,则a的值为________.
13.在平面直角坐标系中,设二次函数,其中.
(1)此二次函数的对称轴为直线______；
(2)已知点和在此函数的图象上,若,则t的取值范围是______.
14.在平面直角坐标系中,点和点在抛物线上,已知点,,在该抛物线上.若,则,,的大小关系为______.
15.如图,已知顶点为的抛物线过,下列结论：①；②对于任意的实数m,均有；③：④若,则；⑤,其中结论正确的为______.(填序号)
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图,在中,,,,点M,N分别从A,B同时出发,点M沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点N沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当点N运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为xs,的面积为.
(1)求y与x之间的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围；
(2)求的面积的最大值.
17.（8分）已知抛物线经过点和点，且.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
(2)若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
18.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中,______.
(2)观察函数图像,画出该函数图像的另一部分并思考,当______时,函数有最小值
(3)进一步探究函数图像发现：
①函数图像与x轴有______个交点,所以对应的方程有______个实数根；
②方程有______个实数根；
③关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是______.
19.（10分）如图,抛物线经过,B两点,且与x轴交于点,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若,是该抛物线图象上的两点,且,求m的取值范围；
(3)若点P是直线l下方的抛物线上一点,过点P作轴交直线l于点E,过点P作轴交直线l于点F,求的最大值.
20.（12分）2024年9月16日,全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛.其中项目之一是“轮滑速降”,依靠路面的倾斜给予动力,人体自由下落,感受风驰电掣般的运动.如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图,线段表示出发台,表示助滑坡,点C表示起跳点,线段表示着陆坡,点K表示此轮滑速降的落地点K.以水平地面为x轴,过点B作x轴的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.已知起跳点C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米,米,米.
注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点,此跳台的参照距离是37.5米,即米.
②距离分(跳跃距离).
③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.
(1)求点K的坐标；
(2)某运动员从点C滑出,在空中飞行的轨迹(与横截面在同一平面内)可以近似的看成一条抛物线,其函数表达式为.
①若该运动员第一跳的距离分S是60分,求此时该抛物线的表达式；
②某运动员在第二次起跳中,发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为,求该运动员此跳的距离分S.
21.（12分）如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设,当时,.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当为何值时,矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线平分矩形的面积时,求平移后的拋物线的顶点坐标.(直接写出结果即可)
答案以及解析
1.答案：C
解析：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
∴，且，
∴.
故选：C.
2.答案：D
解析：由题意可得,
解得:,
选项D符合题意,
故选:D.
3.答案：A
解析：设每件商品单价涨x元，则单件价格为元，利润为元，月销量减少量为元，月销售量为元，则月销售利润是：元，
故，
，
∴时，月利润达到最大值，
据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意，
故选：A.
4.答案：B
解析：在中，当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为，
∵抛物线(a，k为常数，且)与y轴交点的纵坐标大于2，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴
根据现有条件无法判断，
故选：B.
5.答案：D
解析：A.∵抛物线开口向上,
∴.
∵
∴.
∵,
∴,故A不正确；
B.∵对称轴是直线,
∴,
∴,故B不正确；
C.∵时,,
∴,故C不正确；
D.∵图象与x轴的一个交点是,对称轴是直线,
∴图象与x轴的另一个交点是,
∴,故D正确.
故选D.
6.答案：D
解析：∵过点的垂线,交的图象于点,交直线于点；
∴令,可得∶纵坐标为,纵坐标为,
,,
.
,
.
故选D.
7.答案：D
解析：抛物线的对称轴为直线,时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,与y轴正半轴的交于点,一次函数经过第一、二、三象限,与y轴正半轴的交于点,时,抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧,与y轴负半轴的交于点,一次函数经过第二、三、四象限,与y轴正半轴的交于点.
故选:D.
8.答案：C
解析：∵二次函数解析式为：,
∴抛物线的顶点坐标为,
如图：按要求折叠后,新图象的顶点坐标为,
当直线过点时,即,直线与新图象有且只有2个公共点,此时直线；
直线向上移动过程中,与新图象一直有两个公共点,直到过点时有三个公共点,即；
抛物线左侧部分的函数解析式为：
,
当直线与y轴左侧相切时,与新图象有一个公共点,
∴仅有一个解,
∴的,
∴,
解得：.
综上,当或时,直线与新图象有且只有2个公共点.
故选：C.
9.答案：A
解析：∵四边形ABCD是菱形,
∴,,
∴,都是等边三角形,
∴.
如图1,当时,,,
作于E,
∴,
∴,
故D选项不正确；
如图2,当时,,,,
作与F,作于H,
∴,
,
∴,
故B选项不正确；
当时,,,
∴,
作于G,
∴,
∴,
故C不正确.
故选：A
10.答案：D
解析：①观察图像可知,,
抛物线对称轴为直线
,
,故①错误;
②
,故②正确;
③抛物线对称轴为直线,其与x轴的一个交点为
由对称性可知,其与x轴的另一个交点为
抛物线解析式也可以写为
,,
抛物线与y轴交点为
,
,
,
,故③正确;
④抛物线经过点
代入解析式得:,故④正确;
⑤,
,
,
,
,
,
,
,
,故⑤正确。
故本题应选:D。
11.答案：11
解析：当时，
解得：（不合题意，舍去），
推铅球的距离是11米．
故答案为：11
12.答案：2
解析：(其中x是自变量)是二次函数式,
对称轴是直线.
当时,y随x的增大而增大,
.
时,y的最大值为21,且,
时,即,
移项得,,
解得,或(不合题意舍去)。
故答案为:2.
13.答案：(2)/0.5
(2)
解析：(1)二次函数,
函数经过和,是对称点,
对称轴为直线,
故答案为：
(2)二次函数,
二次项系数为,
函数图象开口向上,
又和在此函数的图象上,对称轴为直线,
画出图象如下图,点Q关于对称轴的对称点横坐标,
,
点P应在线段下方部分的抛物线上(包括点Q、),
,
故答案为：
14.答案：
解析：点和点在抛物线上,
,,
,
,
与异号,
,
,
,,
点,,在该抛物线上,
,,,
,
,
,
,
.
故答案为：.
15.答案：①③⑤
解析：由题知,
令抛物线的解析式为,将点代入函数解析式得,
,
解得,
抛物线的函数解析式为
,
,,,
.故①正确.
抛物线的顶点纵坐标为-6,且开口向上,
对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),其纵坐标不小于-6,
即,
.故②错误.
,,
,故③正确.
抛物线经过点,且对称轴为直线
点也在抛物线上,
又抛物线开口向上,
当时,或,故④错误.
故⑤正确.
故答案为:①③⑤.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)∵,,.
∴.
即.
(2)由(1)知：
∴.
∵当时,y随x的增大而增大
而,∴当时,y取最大值,且,
即的面积的最大值是.
17.答案：(1)
(2)，抛物线开口方向向上
(3)t的值可以是-1
解析：(1)∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为-3，
∵P点和O点对称，
；
(2)分别将和代入，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；
(3)将和点代入，
，
由①得，③，
把③代入②，得，
，，
.
∵抛物线开口向下，，
，
，
.
故t的值可以是-1(答案不唯一).
18.答案：(1)0
(2)或1,图见解析
(3)①3,3
②2
③
解析：(1)当时,,
,
故答案为：0；
(2)根据给定的表格中数据描点画出图形,如图所示：
由图可得,当或时,y取最小值为,
故答案为：或1；
(3)①观察函数图像可知：当、0、2时,,
该函数图像与x轴有3个交点,即对应的方程有个实数根,
故答案为：3,3；
②由函数图像知：直线与该函数图像有两个交点,
方程有2个实数根,
故答案为：2；
③由函数图像知：当时,直线与函数有4个交点,
关于x的方程有4个实数根时,a的取值范围是,
故答案为：.
19.答案：(1)
(2)
(3)时,求的最大值为6
解析：(1)把,代入,得
,
解得,
∴；
(2)由(1),得,,
∴抛物线的对称轴是直线,
∴关于对称轴的对称点,
∵抛物线开口向上,,且,
∴；
(3)设,
∵轴交直线l于点E,轴,
∴,,
∴,
,
∴
,
∵点P是直线l下方的抛物线上一点,
∴,
∴时,求的最大值为6.
20.答案：(1)点K的坐标为
(2)①；②该运动员此跳的距离分S为
解析：(1)如图所示,过点C作轴于点M,过点K作于点H,
∵C到水平地面的距离为30米,到y轴的距离是10米,
∴米,米
∴米
∵
∴米
∴
∴
∴
∴米,米
∴米,米
∴点K的坐标为；
(2)①设该运动员的着陆点为E,则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分,
∴,即.
∴点E与点K重合,即点E的坐标为,点C的坐标为
由题意可得：,
解得：
∴；
②：由题意可得：点,
设的解析式为：,
则有：,解得：,
∴的解析式为：,
设新的着陆点为Q,
联立
解得：或(与点C重合舍去)
∴点Q的坐标为,
勾股得：跳跃距离为,
∴第二次的距离分为.
21.答案：(1)
(2)当时,矩形的周长有最大值,最大值为
(3)
解析：(1)设抛物线解析式为,
∵当时,,
∴点B的坐标为,
∵四边形是矩形,
∴点C的坐标为,
∴将点C坐标代入解析式得,
解得：,
∴抛物线的函数表达式为；
(2)由抛物线的对称性得,
∴,
当时,点C的纵坐标为,
∴矩形的周长
,
∵
∴当时,矩形的周长有最大值,最大值为；
(3)∵当时,,
∴点B的坐标为,
∴点C的坐标为,点A的坐标为,
连接,相交于点P,连接,取的中点Q,连接,如图：
∵直线平分矩形的面积,
∴直线过点P,
由平移的性质可知,,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴点P是的中点,Q是的中点,
∴,,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴抛物线向右平移的距离是4个单位,
∵
∴平移后的抛物线解析式为,
∴平移后抛物线的顶点坐标为.