陕西省榆林市高新区2024-2025上学期期中测试九年级数学试卷（含答案）

榆林市高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测习题
九年级数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段AB上的一点C将线段AB分为两部分，其中，那么称点C将线段AB进行了黄金分割．把长度为20cm的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ）
A． B． C． D．
5．某学校在数学兴趣活动中策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果莹莹和朵朵每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列四个阴影三角形中，与图中的阴影三角形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于实数a、b定义新运算：，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，交DF的延长线于点E，若，，，则下列说法错误的是（ ）
A．B、D之间的距离等于C、E之间的距离 B．
C．四边形BCDE的面积为 D．四边形BCDE是正方形
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．一个矩形木板在太阳光下的投影形状可能是__________．（写出一种即可）
10．已知四边形四边形，且相似比为2:3，若四边形ABCD的周长为6，则四边形的周长为__________．
11．如图，在四边形ABCD中，，点E在AB上，交CD于点F，若，，则CD的长为__________．
12．因为拥有优越的自然环境和深厚的历史文化底蕴，近年来西安的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到西安旅游．某景点今年10月15日收入约为10万元，之后两天的收入按相同的日增长率增长，10月17日收入约为14.4万元，若设这两天的日增长率为，则x的值为__________．
13．如图，已知菱形ABCD的边长为6，，点M是对角线AC上的一动点，连接BM、DM，则的最小值是__________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解方程：．
15．（5分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有形状大小相同、质地均匀的“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片共30张，工作人员每次把抽奖箱中的卡片摇匀后由顾客随机摸出一张，记下卡片内容后放回，摇匀后再由下一位顾客从中随机摸出一张，通过多次抽奖后发现，其中摸到“中奖”卡片的频率稳定在左右，请你估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量．
16．（5分）如图，在中，，，D是AB的中点，连接CD，求的度数．
17．（5分）如图，在中，，请你用尺规作图法在BC边上求作一点D，连接AD，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点，连接AE，于点F．求证．
19．（5分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2:1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）；
（2）在（1）的条件下，写出点E的坐标．
20．（5分）阅读下面的例题，并完成解答．
【例题】解方程：．
解：①当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），．
综上，原方程的根是或．
请参照例题解方程：．
21．（6分）蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居，如图1是一种蒙古包的大致示意图，若将该蒙古包看成图2所示的，由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，请你画出该几何体的三视图．
22．（7分）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽．
（1）第一次发出“羽”音的概率为__________；
（2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率．
23．（7分）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度AB，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠CD上，在地面上留下影子EF，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上．
（1）请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹）
（2）请你求出路灯的高度AB．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若，，，求线段DP的长．
25．（8分）人工智能（AI）是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的AI技术人才，某校开设了AI兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形AI兴趣教育基地ABCD，如图．
（1）请你求出该矩形基地的长和宽；
（2）为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，点E为正方形ABCD的边BC的中点，连接AC、DE相交于点F，若的面积为4，求的面积；
【问题探究】
（2）如图2，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且，连接BE、EF，，EF与BC的延长线交于点G，若，求CG的长；
【问题解决】
（3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园ABCD，AC为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在CA的延长线上取一个点E，AC上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在DF的延长线与BC的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），DG修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，AE的长应为60米，请你计算灌溉水渠DG的长度．
榆林市高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测习题
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．线段（答案不唯一） 10．9
11．7.5 12．20 13．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：，移项，得，
因式分解，得，或，解得：、．
15．解：，（张），
估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量为18张．
16．解：，D是AB的中点，．
，，．
17．解：如图，点D即为所求．（作法不唯一，合理即可）
18．证明：四边形ABCD是矩形，
，，，，．
，，，，
，．
19．解：（1）如图所示．
（2）．
20．解：①当时，原方程可化为，解得，；
②当时，原方程可化为，
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）．
综上所述，原方程的根是或．
21．解：如图所示．（每画对1个得2分，共6分）
22．解：（1）
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为．
23．解：（1）点F的位置如图所示．
（2），，，
，，，，
，．
，，，
，即，．
即路灯的高度AB为3.6m．
24．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，，．
平分，，，．
同理，，四边形ABEF是平行四边形．
，四边形ABEF是菱形．
（2）解：四边形ABEF是菱形，．
，AE平分，BF平分，
，，为等边三角形，，．
过点P作于M，如图，则，
，，．
25．解：（1）设宽为x米，则长为米．
根据题意，得，整理，得，
解得，．
当时，，当时，，不合题意，舍去．
该矩形基地的长为25米，宽为20米．
（2）设每条作品展示长廊的宽为y米，则，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
每条作品展示长廊的宽为5米．
26．解：（1）四边形ABCD是正方形，，，
，，．
点E为BC的中点，，
与的相似比为2:1，．
的面积为4，的面积为16．
（2）四边形ABCD为正方形，
，，．
，，
又，，．
，，
，，，即，
，解得．
，，，
，，即，．
（3）过点E作，交DA延长线于H，如图3，则．
四边形ABCD为正方形，
，．
，．
，，即，
，，．
，设，则，，
，．
是正方形ABCD的对角线，，
，，．
又，米，
米，米，米，
米．
即灌溉水渠DG的长度为米．