广东省茂名一中2025届高三（下）3月质检数学试卷（一）（含答案）

2024-2025 学年广东省茂名一中高三（下）质检数学试卷（一）（3 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = { | +3.已知集合 1 ≥ 0}， = { |
2 ≤ 4}，则 ∩ =( )
A. [ 2,1] B. [ 2,1) C. [1,2] D. (1,2]
2.某小区随机调查了 10 位业主 2 月份每户的天然气使用量，数据如下(单位： 3)：18，19，20，20，21，
21，22，23，23，24.估计该小区业主月均用气量的样本数据的 60%分位数为( )
A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5
3.已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，则 ⊥ ；②若 // ， // ，且 // ，则 // ；
③若 ⊥ ， // ，且 ⊥ ，则 ⊥ ；④若 ⊥ ， // ，且 // ，则 // ．
其中正确的命题是( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①
4.已知正项数列{ }，令 = ，则“{ }为等差数列”是“{ }为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2 2
5.若 tan( ) = 3 tan tan ，1 tan2 tan2 = 18，则 2 =( )
A. 12 B. 2 C.
3
19 D.
9
17
6.现有 ， ， ， ， 五人站成一排，则 ， 相邻且 ， 不相邻的排法种数共有( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
7 ( ) = 2 .已知函数 1+2 2 的最大值是( )
A. 1 B. 3 1 22 3 C. 3 D. 2
8
2 2
.已知双曲线 ： 2

2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别是 1， 2，过点 2的直线 与双曲线 的右支交
于 ， 两点，若| 1| + | 1| = 3| 1 2|，则双曲线 的离心率的取值范围是( )
A. (1,3 + 6] B. (1, 3+ 52 ]
C. [ 3+ 5 3+ 62 , 3 + 5] D. [ 2 , 3 + 6]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数 1， 2满足 1 + 2 = 4， 1 2 = 8，则( )
第 1页，共 10页
A. | 1| | 2| = 8 B. | 1 2| = 4 C. | 1| + | | = 4 D. |
1
2 | = 12
10.若等边三角形 的边长为 2， = (0 < < 1)， 为 的中点，且 ， 交于点 ，则下列说
法正确的是( )
A.当 = 1时，3
= 1 3
+ 2 13 B.若点 为 的中点，则 = 3
C. + 为定值 D. 9的最小值为 16
11 2 1.已知对于任意非零实数 ，函数 ( )均满足 ( ) = ( )， ( ) = 2 ( )，下列结论正确的有( )
A. (1) = 1
B. (2 )关于点(0,1)中心对称
C. (2 )关于 = 1 轴对称
D. (2) + (22) + (23) + + (210) = 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 > 0， > 0，且 9 + = ，则 + 4 的最小值为______．
13.已知函数 ( ) = 2 ( + ) ( ) = 13 3 ，若方程 在区间(0, 6 )内有三个实数根 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3，
则 1 + 2 2 + 3等于______．
14.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，
经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛
积，自上而下，第一层有 个小球( = + 1, ≥ 1)，第二层有( + 1)( +
1)个小球，第三层有( + 2)( + 2)个小球，…，依此类推，最底层有 个
小球，共有 层，并得出小球总数的公式.若 = 7，小球总个数为 168，则该长方台形垛积的第六层的小球
个数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在
通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率.多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显
著降低儿童近视的发生率.为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的
方法调查了六年级的 100 名学生，其中有 55 名同学的户外活动时间超过 2 小时；100 名同学中近视的学
生有 60 人，这 60 人中每天户外活动时间不足 2 小时的有 35 人．
第 2页，共 10页
(Ⅰ)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值 = 0.005 的 2独立
性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
近视人数 未近视人数 合计
户外活动时间不足 2 小时 35
户外活动时间超过 2 小时 55
合计 60
(Ⅱ)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出 1 名学生，利用“物理十药物”治疗方
案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动
5 2
时间超过 2 小时的学生的治愈率为6，对每天户外活动时间不足 2 小时治愈率为3，求近视学生被治愈的概
率．
( )2
参考公式与数据： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ( + 3 ) = + ．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 = 2， = 5， ， 边上的中线 ， 相交于点 ．
( )求 ；
( )求 cos∠ ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( ) = ( ) 1 有两个零点 1, 2，求 的范围．
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，点 在 的准线上，过 焦点 的直线与 相交于 ， 两点，且△ 为正三角形．
(1)求△ 的面积；
(2)取平面外一点 使得 = = ，设 ， 为 ， 的中点，若 ⊥ ，求二面角 的
余弦值．
第 3页，共 10页
19.(本小题 17 分)
若无穷数列{ }，{ }的各项均为整数，且满足 { + | , ∈ }，则称{ }，{ }是“和谐数列”．
(1)若 = 2 3, = 2 1 ，求证：{ }，{ }是“和谐数列”；
(2)若 = ( 1) , { }是等比数列，求证：{ }，{ }不是“和谐数列”；
(3)若 ∈ {0,1}， = 0，1，2， ，2 ，将 0 + 22 2 + 24 + + 22 2 4 2 + + 2 2 的所有不同的值按照
从小到大排列，构成数列{ }；将 2 1 + 23 3 + + 22 1 2 1的所有不同的值按照从小到大排列，构成数
列{ }，求证：{ }，{ }是“和谐数列”．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.49
13.8 3
14.42
15.解：根据题意可知，100 名学生，其中有 55 名同学的户外活动时间超过 2 小时，
100 名同学中近视的学生有 60 人，这 60 人中每天户外活动时间不足 2 小时的有 35 人，
(Ⅰ)列联表如下：
近视人数未近视人数合计
户外活动时间不足 2 小时 35 10 45
户外活动时间超过 2 小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为 0：学生患近视与户外活动时间长短无关，
根据列联表中的数据，经计算得到：
2 = 100×(35×30 25×10)
2 3200
60×40×45×55 = 297 ≈ 10.774 > 7.897 = 0.005，
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，
此推断犯错误的概率不大于 0.005；
(Ⅱ)设事件 =“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，
事件 1 =“该近视同学每天户外活动时间超过 2 小时”， 2 =“该近视同学每天户外活动时间不足 2 小
第 5页，共 10页
时”，则
( ) = 25 5 35 7 5 21 60 = 12， ( 2) = 60 = 12，且 ( | 1) = 6， ( | 2) = 3，
则 ( ) = ( 1) ( | 1) + (
5 5 7 2 53
2) ( | 2) = 12 × 6 + 12 × 3 = 72，
53
所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为72．
16.解：(1)由正弦定理得 ( + 3 ) = + ，
∴ + 3 = + sin( + )，
∴ 3 = + ，
∵ ≠ 0，∴ 3 = 1 + ，
∴ sin( 6 ) =
1
2，
∵ 6 <
< 5 6 6，∴ 6 = 6，即 = 3；
(2)( ) ∵ = 12 (
+ )，
∴ | | = 12 (
+ )2 = 1 | |22 + 2
+ | |2 = 392 ；
( ) △ 1 21在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × × 2 = 4，
即 = 212 ，
由题知 是△ 的重心，
∴ = 23 =
21
3 ，∴ =
2
3 =
39
3 ，
2+ 2 2 4 91
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = 2 = 91 ．
17.解：(1)由题意可得 ′( ) = , ∈ (0, + ∞)，
当 ≤ 1 时，则 ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
令 ′( ) > 0，解得 > ，所以 ( )在( , + ∞)单调递增，
令 ′( ) < 0，解得 0 < < ，所以 ( )在(0, )时单调递减，
综上所述，当 ≤ 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时， ( )在(0, )内单调递减，在( , + ∞)单调递增；
(2)由题意可得： ( ) = 1，

令 ( ) = 0 1，即 = 0，
第 6页，共 10页

设 ( ) = 1 , > 0，

则 ′( ) = ( 1) 1+ 1 ( 1)( 1) 2 2 = 2 ，
由 > 0, 1 > 0，
令 ′( ) < 0，得 0 < < 1，令 ′( ) > 0，得 > 1，
则 ( )在(0,1)内单调递减，在(1, + ∞)内单调递增，
由题意可知： ( )有两个零点，则 (1) = 1 < 0，解得 > 1，
若 > 1 > 0，令 = ∈ (0,1)，
1 > 0
1
则 ，则 ( ) = > = ln
= 0，
可知 ( )在( , 1)内有且仅有一个零点，
且当 趋近于+∞， ( )趋近于+∞，
可知(1, + ∞)内有且仅有一个零点，
即 > 1，符合题意，
综上所述， 的取值范围为( 1, + ∞)．
18.解：(1)由已知得 (1,0)，准线方程为 = 1，
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，弦 的中点 ( 0, 0)，如图所示，
= + 1
联立 2 = 4 ，消去 并整理得
2 4 4 = 0， = 16 2 + 16 > 0，
则 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，所以 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = 4 2 + 2，
= 1+ 2 = 2 2 + 1, = 1+ 所以 20 2 0 2 = 2 ，即 (2
2 + 1,2 )，
所以| | = 1 + 2 + 2 = 4 2 + 4，△ 为等边三角形，则 ≠ 0，
否则 = 0 时，不妨设 (1,2)， (1, 2)，
则由等边三角形的对称性可知 的坐标只能是( 1,0)，但| | = 2 2 ≠ 4 = | |，
则设直线 的方程为 2 = ( 2 2 1)，即 = + 2 3 + 3 ，所以点 ( 1,2 3 + 4 )，
第 7页，共 10页
3
又| | = 3 | |，所以(2 2 + 2)2 + (2 + 2 3)2 = 4 (4
2 + 4)2，解得 2 = 2，
2
所以| | = 4 2 + 4 = 12，
又| | = 3
1
| | = 6 3，故 △ = 2 | | | | = 36 3；2
(2)由题 为正三棱锥，即 = = ， = = ，
又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以 = = ，
而 ⊥ ， ， 为 ， 的中点，
从而 = ( + 1 ) 1 = 1 + 1 2 2 2 4
= 14
= 0，
所以 = = = 0，
因此 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即 ， ， 两两垂直，故可将三棱锥 补成如图所示的正方
体，
以 为原点， 所在直线为 ′轴， 所在直线为 ′轴， 所在直线为 ′轴建立空间直角坐标系，如图：
因为 = = = 12，所以 = = = 6 2，显然， ⊥面 ，
故可取面 的一个法向量 = (0,6 2, 0)，
又 为 的中点，则 = 1 + 1 2 2 = (0,3 2, 3 2)，且 = (6 2, 0,0)，
6 2 = 0
设平面 的法向量 = ( , , ), = 0，即 ，取 = 1 ，则
= (0,1, 1)，
= 0 3 2 + 3 2 = 0
由图可知二面角 是锐角，
| | 2
则二面角 的余弦值为 = |cos , | = = ．
| | | | 2
19.解：(1)证明：当 为正偶数时，设 = 2 ，因为 2 = 2 1 + 1 = +1 + 1 ∈ { + | , ∈ }，
所以 ∈ { + | , ∈ }；
当 为正奇数时，设 = 2 1( ∈ )，
因为 2 1 = 2 3 + 2 = + 2 ∈ { + | , ∈ }，
第 8页，共 10页
所以 ∈ { + | , ∈ }．
综上所述， ∈ , ∈ { + | , ∈ }，
因此 { + | , ∈ }，所以数列{ }，{ }是“和谐数列”；
(2)证明：由于 = ( 1) ，因此 2 = 1， 2 1 = 1，
假设数列{ }，{ }是“和谐数列”，那么存在 1, 1 ∈ ，使得 1 + 1 = 1，
由于数列{ }是等比数列，因此 1 ≠ 0，从而 1 ≠ 1，因此 1 = 1, 1 = 2．
由于存在 2, 2 ∈ ，使得 2 + 2 = 2，又因为 2 = 1 或 1，
因此 2 = 1 或 3，
如果 2 = 1，由于 1 = 2，且数列{ }是等比数列且各项均为整数，那么 1 = 1， 2 = 2，
因此公比为 2，所以 1 = 2 ，显然 4 { + | , ∈ }，与假设矛盾；
如果 2 = 3，由于 1 = 2，且数列{ }是等比数列且各项均为整数，
3
那么 2，3 为数列{ }中的相邻两项，并且公比为2，
3 3
因此 = 1 11( 2 ) = 2 × ( 2 ) , 1+2 = 2 × (
3
2 )
2 = 92不是整数，
因此数列{ }中存在不是整数的项，与题意不符．
综上所述，数列{ }，{ }不是“和谐数列”；
(3)证明：对于任意 ∈ ，必存在 ∈ ，使得2 ≤ < 2 +1，
由于 ∈ {0,1}， = 0，1，2， ， 1，
那么 1 + 2 1 2 + + 2 1 + 2 中最大的值为 1 + 2 + + 2 1 + 2 = 2 +1 1，
最小的值是2 ，共2 个不同的值，
因此 1 + 2 2 + + 2 1 + 2 可以取到[2 , 2 +1 1]中的所有整数．
由于2 ≤ < 2 +1，对每一个 ，存在唯一一组 ∈ {0,1}， = 0，1，2， ， 1，
使得 = 0 + 2 1 + + 2 1 1 + 2 ，
若 为奇数，令 = 1，
则 = ( + 22 + + 2 10 2 3 1) + (2 1 + 2 3 + + 2 2 2 + 2 )，
其中 0 + 22 2 + + 2 1 1为{ }中一项，
设为 3 , 2 1 + 2 3 + + 2 为{ }中一项，设为 ，所以 = + , , ∈ ；
若 为偶数，令 = 1，则 = ( 0 + 22 2 2 + + 2 2 + 2 ) + (2 1 + 23 3 + + 2 1 1)，
其中 + 22 + + 2 20 2 2 + 2 为{ }中一项，
设为 , 2 1 + 23 3 + + 2 1 1为{ }中一项，设为 ，所以 = + , , ∈ ．
第 9页，共 10页
综上所述，对于 ∈ , ∈ { + | , ∈ }，
所以 { + | , ∈ }, { }, { }是“和谐数列”．
第 10页，共 10页