2025年欧洲女子数学奥林匹克（EGMO）试题（第二天）（pdf版,无答案）

Language:Chinese (Simplified)
EGMO 2025
European Girls'
Day:2
Mathematical Olympiad
KOSOVA
2025年4月14日，星期一
题目4.设I为锐角三角形ABC的内心.且AB≠AC.设直线BI和直线CI分别交三角形ABC
的外接圆于点P≠B和点Q≠C.取点R与点S使得AQRB与ACSP都是平行四边形（其中
AQ‖RB,AB‖QRAC‖SP,AP‖CS.设直线RB与直线SC交于点T.证明：R,S,T,I四点
共圆。
题目5.给定整数n>1.一个n×n的棋盘称为方向图，如果它n2个方格中每格内都放有一个箭头，
指向为上、下、左、右之一.
对一个初始的方向图，极速蜗牛从棋盘的某个方格内出发在棋盘上移动.每次移动时，蜗牛沿着所
在方格内箭头的方向前进一格（它有可能会走出棋盘）.蜗牛每移动一次后，棋盘上所有的箭头同时逆时
针旋转90°.我们称一个方格是好的，如果蜗牛从此格出发按上述方式移动，它将经过棋盘每个方格恰
好一次，且不会走出棋盘，并最后回到初始的方格.
对给定的，求在所有可能的初始方向图中，好方格个数的最大值
题目6.已知在2025×2025方格表的每个方格中写有一个非负实数，满足每一行的所有数之和为1，
且每一列的所有数之和为1.记指为第i行中所有数的最大值，并记R=n+r2+·+r2025.类似的，
记c为第i列中所有数的最大值，并记C=G+c2+…+c225
求是的最大可能值。
Language:Chinese(Simplified)
时间：4小时30分钟
每道题7分