广西柳州市柳南区2023年中考数学二模试题

广西柳州市柳南区2023年中考数学二模试题
1．（2023·柳南模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵-3<-1<0<1，
∴-3最小，
故答案为：D.
【分析】利用有理数比较大小的方法求解即可。
2．（2023·柳南模拟）如图是部分冬奥会会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是轴对称图形，其余均不是轴对称图形；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．（2023·柳南模拟）随着柳州成为网红城市，当地特色交通工具水上公交逐渐“出圈”，备受各地游客追捧，据统计，第一季度其接待游柳州水上公交运送乘客189100万人次，将189100用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将189100用科学记数法表示应为，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2023·柳南模拟）如图所示，在数轴上表示不等式解集正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得在数轴上表示不等式解集为。
故答案为：B
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示结合题意即可求解，“向右大于，向左小于，含=实心，不含=空心”。
5．（2023·柳南模拟）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得。
6．（2023·柳南模拟）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意得在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形，不可能是圆、椭圆和三角形，
故答案为：D
【分析】根据平行投影的定义（由平行光线形成的投影是平行投影）结合题意即可求解。
7．（2023·柳南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a2=a4，A错误，不符合题意；
B、（a2）3=a6，B错误，不符合题意；
C、a4 a2=a6，C正确，符合题意；
D、a3+a3=2a3，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项结合题意对选项逐一计算即可求解。
8．（2023·柳南模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：如图，
共有12种等可能的情况，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”的情况有2种，
因此恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是，
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．（2023·柳南模拟）平行四边形的对角线，相交于点，则下列说法一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴；
故答案为：A
【分析】根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合题意即可求解。
10．（2023·柳南模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完．”设孩童有名，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设孩童有名，由题意得，
故答案为：A
【分析】设孩童有名，根据“每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完”即可列出一元一次方程，进而即可求解。
11．（2023·柳南模拟）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故答案为：B．
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中剩余水量y随放水时间x的增大而减小进行判断即可.
12．（2023·柳南模拟）如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积是4cm2，则它移动的距离AA'等于（　　）
A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．2cm
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，设A′B′交AC于点E，
由题意可知∠A=45°，
∴AA′=A′E，
设AA′=A′E=a，则A′D=4-a
∵两个三角形重叠部分的面积是4cm2，
∴a（4-a）=4，
a -4a+4=0，
（a-2） =4，
解得a=2，
即平移的距离为2cm，
故答案为：D.
【分析】已知重叠部分是一个平行四边形，面积=底（A′E）×高（A′D），而A′E+A′D=4，通过设A′E=a，列出方程，即求得答案．
13．（2023·柳南模拟）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
14．（2023·柳南模拟）分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
15．（2023·柳南模拟）如图，在扇形中，，，则弧的长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长＝＝(cm)，
故答案为：
【分析】根据弧长公式结合已知条件代入即可求解。
16．（2023·柳南模拟）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断　 　运动员的成绩更稳定．
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由题意得乙的数据波动比甲的数据波动更小，
∴乙的成绩比甲的成绩更稳定些，
故答案为：乙
【分析】先根据图得到乙的数据波动比甲的数据波动更小，进而根据方差的定义结合题意即可得到乙的成绩比甲的成绩更稳定些.
17．（2023·柳南模拟）如图，某海防哨所发现在它的西北方向距离哨所米的处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时为　 　米．
【答案】800
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：设线段AB交y轴于C，如图所示：
由题意得：∠ACO=∠BCO=90°.
在直角△OAC中，∠AOC=∠CAO=45°，则AC=OC．
∵OA=400米，
∴OC=OA cos45°=400(米)，
∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC米，
∴OB=(米)，
故答案为：
【分析】设线段AB交y轴于C，先根据方位角结合题意即可得到∠AOC=∠CAO=45°，则AC=OC，解直角三角形得到OC，从而即可得到OB.
18．（2023·柳南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、．若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为6，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EO，过点C作于点G，过点E作于点F，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过上的两点C、E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的斜边的中点与坐标原点重合，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】连接EO，过点C作于点G，过点E作于点F，则，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据反比例函数k的几何意义得到，证明，可得，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质（等角对等边）即可得到，从而根据角平分线的定义结合题意等量代换得到，根据平行线的判定与性质结合题意得到，进而即可得到，再根据“”即可求解。
19．（2023·柳南模拟）计算：
【答案】解：原式．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，进而即可求解。
20．（2023·柳南模拟）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）中，若，，求的长．
【答案】（1）如图所示，为所求．
（2）解：在平行四边形中，，
，
由（1）知，，
，
，
在平行四边形中，，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可；
（2）根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，则，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（2023·柳南模拟）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得，③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
（1）任务一：小亮解方程组用的方法是　 　消元法．（填“代入”或“加减”）；
（2）任务二：小亮解方程组的过程，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（3）任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】（1）代入
（2）二；整体代入未添加括号
（3）解：由①得③
将③代入②得
解得，
代入③，解得
∴原方程组的解为：（用加减消元法解得正确答案均可）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
故答案为：代入
（2）由题意得从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
故答案为：二，整体代入未添加括号
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组的步骤即可判断所用方法；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组的步骤进行计算即可判断错误步骤；
（3）根据代入消元法解二元一次方程组即可。
22．（2023·柳南模拟）为庆祝党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 7
中位数 8
优秀率 80% 60%
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的共有多少人？
【答案】（1）8；8
（2）解：七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）解：（人）
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的共有700人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得七年级学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
8出现的次数最多，故众数为8，
八年级学生的成绩的中位数为：第8个，成绩为8，则中位数为8，
＝8；＝8；
故答案为：8，8
【分析】（1）根据众数和中位数的定义结合题意即可求解；
（2）根据题意进行数据分析即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行计算即可求解。
23．（2023·柳南模拟）螺蛳粉是广西的传统小吃，具有辣、爽、鲜、酸、烫的独特风味．小颖第一次用800元购买了若干箱种螺蛳粉，第二次又用900元购买了若干箱种螺蛳粉．已知种螺蛳粉每箱的单价是种螺蛳粉每箱的1.5倍，且第二次购买的种螺蛳粉的数量比第一次购买的种螺蛳粉少2箱．
（1）求，两种螺蛳粉每箱的单价各是多少元？
（2）由于味道鲜香爽口，小颖计划再次团购，两种螺蛳粉共30箱，且种螺蛳粉的数量不低于种螺蛳粉的数量，经小颖和商家协定，种螺蛳粉每箱降价10元，种螺蛳粉每箱在原价的基础上优惠10%，那么小颖应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设种螺蛳粉每箱的单价是元，则种螺蛳粉每箱单价为元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：，两种螺蛳粉每箱的单价分别是100元，150元．
（2）解：设种螺蛳粉买a箱，则种螺蛳粉买箱，总价为元，
则：
，
，
∵一次项系数，随的增大而减小．
当时，有最小值，（元）
答：小颖购买，两种螺蛳粉数量都为15箱时，费用最少，为3375元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种螺蛳粉每箱的单价是元，则种螺蛳粉每箱单价为元，根据“种螺蛳粉每箱的单价是种螺蛳粉每箱的1.5倍，且第二次购买的种螺蛳粉的数量比第一次购买的种螺蛳粉少2箱”列出分式方程，进而即可求解；
（2）设种螺蛳粉买箱，则种螺蛳粉买箱，总价为元，进而即可根据题意列出y与a的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
24．（2023·柳南模拟）综合与实践
（1）问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接．
①求证：；将下列解答过程补充完整．
证明：，
　 　，
，
在和中，，
，；
②若，则的度数为　 　．
（2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1） ；
（2）解：，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，
．
（3）解：6
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）①证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）由（2）得：，
为中边上的高，
．
【分析】（1）①先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
②根据题意得到，进而根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到∠CDE度数，从而根据三角形全等的性质得到，再进行角的运算即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，从而结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）由（2）得：，进而结合题意根据“”即可求解。
25．（2023·柳南模拟）如图，在中，，以为直径作与交于点，以为顶点作，过点作，延长与交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）记的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
直线与相切；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
过点作于，如图所示：
，解得，
在四边形中，，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定与性质得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，，根据勾股定理得到BD，过点作于，进而根据三角形等面积法求出DG，再根据题意等量代换得到，进而根据正弦函数得到，再在在中计算sin∠BOD即可。
26．（2023·柳南模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线与新抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求新抛物线的解析式．
【答案】（1）解：由题意得，，
，
；
（2）解：，，
直线的解析式为：，
设点，，
为的三等分点
或
解得，
或
（3）解：抛物线解析式为，
设平移后的抛物线解析式为，
联立方程组可得：，
，
设两个交点，点，
直线与新抛物线交于，两点，
，是方程的两根，
，
点是的中点，，
，
，
，
新抛物线解析式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接将点A和点B代入函数解析式即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而设点，，根据三等分点得到m，从而即可得到P的坐标；
（3）根据二次函数的图象及其几何变换结合题意设平移后的抛物线解析式为，进而即可得到，设点，点，根据二次函数与一次函数的交点结合一元二次方程根与系数的关系得到，从而根据中点坐标得到，求出m，进而即可求解。
广西柳州市柳南区2023年中考数学二模试题
1．（2023·柳南模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·柳南模拟）如图是部分冬奥会会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·柳南模拟）随着柳州成为网红城市，当地特色交通工具水上公交逐渐“出圈”，备受各地游客追捧，据统计，第一季度其接待游柳州水上公交运送乘客189100万人次，将189100用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·柳南模拟）如图所示，在数轴上表示不等式解集正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·柳南模拟）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·柳南模拟）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形
7．（2023·柳南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·柳南模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·柳南模拟）平行四边形的对角线，相交于点，则下列说法一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·柳南模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩要，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完．”设孩童有名，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·柳南模拟）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（2023·柳南模拟）如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积是4cm2，则它移动的距离AA'等于（　　）
A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．2cm
13．（2023·柳南模拟）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
14．（2023·柳南模拟）分解因式： 　 　
15．（2023·柳南模拟）如图，在扇形中，，，则弧的长为　 　．
16．（2023·柳南模拟）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断　 　运动员的成绩更稳定．
17．（2023·柳南模拟）如图，某海防哨所发现在它的西北方向距离哨所米的处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时为　 　米．
18．（2023·柳南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、．若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为6，则的值为　 　．
19．（2023·柳南模拟）计算：
20．（2023·柳南模拟）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）中，若，，求的长．
21．（2023·柳南模拟）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得，③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
（1）任务一：小亮解方程组用的方法是　 　消元法．（填“代入”或“加减”）；
（2）任务二：小亮解方程组的过程，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（3）任务三：请写出方程组正确的解答过程．
22．（2023·柳南模拟）为庆祝党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 7
中位数 8
优秀率 80% 60%
（1）填空：　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的共有多少人？
23．（2023·柳南模拟）螺蛳粉是广西的传统小吃，具有辣、爽、鲜、酸、烫的独特风味．小颖第一次用800元购买了若干箱种螺蛳粉，第二次又用900元购买了若干箱种螺蛳粉．已知种螺蛳粉每箱的单价是种螺蛳粉每箱的1.5倍，且第二次购买的种螺蛳粉的数量比第一次购买的种螺蛳粉少2箱．
（1）求，两种螺蛳粉每箱的单价各是多少元？
（2）由于味道鲜香爽口，小颖计划再次团购，两种螺蛳粉共30箱，且种螺蛳粉的数量不低于种螺蛳粉的数量，经小颖和商家协定，种螺蛳粉每箱降价10元，种螺蛳粉每箱在原价的基础上优惠10%，那么小颖应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元？
24．（2023·柳南模拟）综合与实践
（1）问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接．
①求证：；将下列解答过程补充完整．
证明：，
　 　，
，
在和中，，
，；
②若，则的度数为　 　．
（2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积．
25．（2023·柳南模拟）如图，在中，，以为直径作与交于点，以为顶点作，过点作，延长与交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）记的面积为，的面积为，若，求的值．
26．（2023·柳南模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线与新抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求新抛物线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵-3<-1<0<1，
∴-3最小，
故答案为：D.
【分析】利用有理数比较大小的方法求解即可。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是轴对称图形，其余均不是轴对称图形；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将189100用科学记数法表示应为，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得在数轴上表示不等式解集为。
故答案为：B
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示结合题意即可求解，“向右大于，向左小于，含=实心，不含=空心”。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得。
6．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意得在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形，不可能是圆、椭圆和三角形，
故答案为：D
【分析】根据平行投影的定义（由平行光线形成的投影是平行投影）结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a2=a4，A错误，不符合题意；
B、（a2）3=a6，B错误，不符合题意；
C、a4 a2=a6，C正确，符合题意；
D、a3+a3=2a3，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项结合题意对选项逐一计算即可求解。
8．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：如图，
共有12种等可能的情况，其中恰好抽到“立夏”、“秋分”的情况有2种，
因此恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是，
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴；
故答案为：A
【分析】根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合题意即可求解。
10．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设孩童有名，由题意得，
故答案为：A
【分析】设孩童有名，根据“每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完”即可列出一元一次方程，进而即可求解。
11．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故答案为：B．
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中剩余水量y随放水时间x的增大而减小进行判断即可.
12．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，设A′B′交AC于点E，
由题意可知∠A=45°，
∴AA′=A′E，
设AA′=A′E=a，则A′D=4-a
∵两个三角形重叠部分的面积是4cm2，
∴a（4-a）=4，
a -4a+4=0，
（a-2） =4，
解得a=2，
即平移的距离为2cm，
故答案为：D.
【分析】已知重叠部分是一个平行四边形，面积=底（A′E）×高（A′D），而A′E+A′D=4，通过设A′E=a，列出方程，即求得答案．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长＝＝(cm)，
故答案为：
【分析】根据弧长公式结合已知条件代入即可求解。
16．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由题意得乙的数据波动比甲的数据波动更小，
∴乙的成绩比甲的成绩更稳定些，
故答案为：乙
【分析】先根据图得到乙的数据波动比甲的数据波动更小，进而根据方差的定义结合题意即可得到乙的成绩比甲的成绩更稳定些.
17．【答案】800
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：设线段AB交y轴于C，如图所示：
由题意得：∠ACO=∠BCO=90°.
在直角△OAC中，∠AOC=∠CAO=45°，则AC=OC．
∵OA=400米，
∴OC=OA cos45°=400(米)，
∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC米，
∴OB=(米)，
故答案为：
【分析】设线段AB交y轴于C，先根据方位角结合题意即可得到∠AOC=∠CAO=45°，则AC=OC，解直角三角形得到OC，从而即可得到OB.
18．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EO，过点C作于点G，过点E作于点F，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过上的两点C、E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的斜边的中点与坐标原点重合，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】连接EO，过点C作于点G，过点E作于点F，则，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据反比例函数k的几何意义得到，证明，可得，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质（等角对等边）即可得到，从而根据角平分线的定义结合题意等量代换得到，根据平行线的判定与性质结合题意得到，进而即可得到，再根据“”即可求解。
19．【答案】解：原式．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，进而即可求解。
20．【答案】（1）如图所示，为所求．
（2）解：在平行四边形中，，
，
由（1）知，，
，
，
在平行四边形中，，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可；
（2）根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，则，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）代入
（2）二；整体代入未添加括号
（3）解：由①得③
将③代入②得
解得，
代入③，解得
∴原方程组的解为：（用加减消元法解得正确答案均可）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
故答案为：代入
（2）由题意得从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
故答案为：二，整体代入未添加括号
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组的步骤即可判断所用方法；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组的步骤进行计算即可判断错误步骤；
（3）根据代入消元法解二元一次方程组即可。
22．【答案】（1）8；8
（2）解：七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）解：（人）
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的共有700人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得七年级学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
8出现的次数最多，故众数为8，
八年级学生的成绩的中位数为：第8个，成绩为8，则中位数为8，
＝8；＝8；
故答案为：8，8
【分析】（1）根据众数和中位数的定义结合题意即可求解；
（2）根据题意进行数据分析即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行计算即可求解。
23．【答案】（1）解：设种螺蛳粉每箱的单价是元，则种螺蛳粉每箱单价为元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：，两种螺蛳粉每箱的单价分别是100元，150元．
（2）解：设种螺蛳粉买a箱，则种螺蛳粉买箱，总价为元，
则：
，
，
∵一次项系数，随的增大而减小．
当时，有最小值，（元）
答：小颖购买，两种螺蛳粉数量都为15箱时，费用最少，为3375元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种螺蛳粉每箱的单价是元，则种螺蛳粉每箱单价为元，根据“种螺蛳粉每箱的单价是种螺蛳粉每箱的1.5倍，且第二次购买的种螺蛳粉的数量比第一次购买的种螺蛳粉少2箱”列出分式方程，进而即可求解；
（2）设种螺蛳粉买箱，则种螺蛳粉买箱，总价为元，进而即可根据题意列出y与a的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
24．【答案】（1） ；
（2）解：，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，
．
（3）解：6
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）①证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）由（2）得：，
为中边上的高，
．
【分析】（1）①先根据题意等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
②根据题意得到，进而根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到∠CDE度数，从而根据三角形全等的性质得到，再进行角的运算即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，从而结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）由（2）得：，进而结合题意根据“”即可求解。
25．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
直线与相切；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
过点作于，如图所示：
，解得，
在四边形中，，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定与性质得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，，根据勾股定理得到BD，过点作于，进而根据三角形等面积法求出DG，再根据题意等量代换得到，进而根据正弦函数得到，再在在中计算sin∠BOD即可。
26．【答案】（1）解：由题意得，，
，
；
（2）解：，，
直线的解析式为：，
设点，，
为的三等分点
或
解得，
或
（3）解：抛物线解析式为，
设平移后的抛物线解析式为，
联立方程组可得：，
，
设两个交点，点，
直线与新抛物线交于，两点，
，是方程的两根，
，
点是的中点，，
，
，
，
新抛物线解析式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接将点A和点B代入函数解析式即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而设点，，根据三等分点得到m，从而即可得到P的坐标；
（3）根据二次函数的图象及其几何变换结合题意设平移后的抛物线解析式为，进而即可得到，设点，点，根据二次函数与一次函数的交点结合一元二次方程根与系数的关系得到，从而根据中点坐标得到，求出m，进而即可求解。