福建省莆田擢英中学2024-2025高二（下）3月月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年福建省莆田擢英中学高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导计算正确的是( )
A. ( +12 )′ = 2 2 B. [ln(2 + 1)]′ =
2
2 +1
C. (2 +1)′ = 2 +1 1 2 D. (2

2 cos 2 )′ =
2.在等差数列{ }中， 5 = 9， 10 = 19，则 50的值为( )
A. 99 B. 98 C. 97 D. 96
3.已知圆柱的底面半径与球的半径均为 1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函数 ( ) = 2 1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知点 (1, 1, 2 3)，空间内一平面 过原点 ，且垂直于向量 = ( 3,2, 3)，则点 到平面 的
距离为( )
A. 1 B. 1 1 14 5 C. 6 D. 8
6.已知函数 ( )是定义在 上的可导函数，其导函数为 ′( ).若对任意 ∈ 有 ′( ) > 1， (1 + ) + (1
) = 0，且 (0) = 2，则不等式 ( 1) > 1 的解集为( )
A. (0, + ∞) B. (1, + ∞) C. (2, + ∞) D. (3, + ∞)
2 27.已知 ， 是椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的左、右顶点， 是 上不同于 ， 的任意一点，若直线 ，
的斜率之积为 49，则 的离心率为( )
A. 23 B.
3 2 5
3 C. 3 D. 3
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8.已知 = 1.3 1.2， = 1.2 1.3， = 1355，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .若数列{ }为递增数列且数列{ }也为递增数列，则称{ }为“重增数列”.下列数列中，是重增数列的有
( )
A. {3 } B. { 5} C. {log2 } D. { }
10.若将一边长为 4 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下
列说法正确的是( )
A.当 = 23时，方盒的容积最大 B.方盒的容积没有最小值
C. 128 64方盒容积的最大值为 27 D.方盒容积的最大值为27
11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的
艺术美.双纽线的图形轮廓像“∞”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，
1( 2,0)， 2(2,0)，满足| 1| | 2| = 4 的动点 的轨迹为曲线 .则下列结论正确的是( )
A.曲线 既是中心对称又是轴对称图形
B.曲线 上满足| 1| = | 2|的点 有 2 个
C. | | ≤ 2 2
D.曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0
三、填空题：本题共 3 小题，共 15。
12.已知各项都为正数的等比数列{ }，若 8 12 + 5 10 = 14，则
log2 1 + log2 2 + log2 3 + … + log2 19 = ；
13 1.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 1， 2在 轴上，离心率为2 .过 1的直线 交 于 ，
两点，且△ 2的周长为 16，那么 的方程为______．
14.对于三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( ≠ 0)，给出定义：
设 ′( )是函数 = ( )的导数， ′′( )是函数 ′( )的导数，若方程 ′′( ) = 0 有实数解 0，则称点
( 0, ( 0))为函数 = ( )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三
1 1 5
次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 ( ) = 3
3 22 + 3 12，请你根据上面的
探究结果，解答以下问题：
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①函数 ( ) = 1 3 1 2 53 2 + 3 12的对称中心坐标为 ；
1 2 3
②计算 ( 2019 ) + ( 2019 ) + ( 2019 ) + … + (
2018
2019 ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 +1
已知数列{ }满足 1 = 2，当 ≥ 2 时， =
1
+1 ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 2 3证明： 3 +1 1+ + …… + < +2 4
16.(本小题 15 分)
设 = 1 与 = 2 是函数 ( ) = 3 + 2 2 ， ≠ 0 的两个极值点．
(1)试确定常数 和 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
如图已知斜三棱柱 1 1 1的侧面 1 1是菱形，∠ 1 = 60°， 1 = 2， 1 = 1 = 3，
⊥ 1C.
(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 1与平面 1 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 2的动直线 与 交于 ， 两点.当 ⊥
轴时，| | = 3 9，且直线 1 ， 1 的斜率之积为 16．
(1)求 的方程；
(2)求△ 1 的内切圆半径 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义：如果函数 ( )在定义域内，存在极大值 ( 1)和极小值 ( 2)，且存在一个常数 ，使 ( 1) ( 2) =
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( 1 2)成立，则称函数 ( )为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数 ( ) =
1
．
(1)当 = 52时，判断 ( )是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 ( )的极值差比系数为 2 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3) 3 2若 2 ≤ ≤
5
2，求 ( )的极值差比系数的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.19
2 2
13. 16 + 12 = 1
14.( 12 , 1)；2018
15.解：(1)因为 = 1+1 +1 ，
所以( + 1) = 1 + 1，
即( + 1) 1 = 1，
所以数列{( + 1) }为等差数列，其中首项为 2 1 = 1，公差 = 1，
所以( + 1) = ，

所以 = +1．
2
(2) ( +1) 1 1 1 1证明：因为 +1 = ( +2) = 1 + ( +2) = 1 + 2 ( +2 )，
2 + 所以 3 + +
+1 1
= [1 + 2 (1
1
3 )] + [1 +
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2
4 )] + + [1 + 2 ( +2 )] = + 2 (1 + 2 +1
1
+2 ) < +
3
4．
16.解：(1) ′( ) = 3 2 + 2 2，
由题意可知： ′(1) = 0， ′( 2) = 0，
即 3 + 2 2 = 0，12 4 2 = 0，
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解得 = 13 , =
1
2，
经检验，符合题设；
(2)由(1)知 ′( ) = 2 + 2，
由 ′( ) > 0 得 < 2 或 > 1，
由 ′( ) < 0 得 2 < < 1，
故 ( )的单调递增区间为( ∞, 2)，(1, + ∞)；单调递减区间为( 2,1)．
17.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 1， 1，
因为侧面 1 1是菱形，∠ 1 = 60°，所以△ 1 是正三角形，
因为 是 中点，所以 ⊥ 1
因为 是 中点， 1 = 1 ，所以 ⊥ 1，
又因为 1 ∩ 1 = ， 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
因为 1 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1 1，
因为斜三棱柱 1 1 1，所以 / / 1 1，所以 ⊥ ．
(2)因为 ⊥ 1 ， ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 平面 1 ，
平面 1 ，所以 ⊥平面 1 ，因为 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
以 为原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ( 1,1,0)， ( 1,0,0)， 1(0,0, 2)， (1,0,0)．
因为 = 1 1，所以点 1(0, 1, 2)，
= (0, 1,0)， 1 = (1, 2, 2)， = (2,0,0)， 1 = (1, 1, 2)，
设平面 1的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
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= 1 = 0则

，取 = 2，得 = ( 2, 0, 1)，
1 = 1 2 1 + 2 1 = 0
1
设平面 1 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2 2 = 0则 ，取 2 = 2，得 = (0, 2, 1)， 1 = 2 2 + 2 2 = 0
又 cos , = 1 1| | | | = 3 3 = 3
所以平面 11与平面 1 夹角的余弦值为3．
218.
2
解：(1)设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > 0, > 0)的半焦距为 ，则 1( , 0)， 2( , 0)，
2 2 2
令 = 代入 2 + 2 = 1，可得 =±

，
2 2 2
则当 ⊥ 轴时，| | = 2 = 3

，此时不妨设 ( , ), ( ,

)，
9 2 2 9
则由直线 1 ， 1 的斜率之积为 16，得2 2 = 16，
2 3 2 2
即2 = 4，结合 = 3，则 = 1，即
2 2 = 1，解得 2 = 4， 2 = 3，
C
2 2
故 的方程为 4 + 3 = 1；
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则△ 1 的周长为 4 = 8，
1
故 △ 1 = 2 (| 1 | + | 1 | + | |) = 4
1
，则 = 4 △ 1 ，
1 1 1 1 3
当 ⊥ 轴时， = 4 × 2 × | | × | 1 2| = 4 × 2 × 3 × 2 = 4，
当 不与 轴垂直时，设 ： = ( 1)，( ≠ 0)，
= ( 1)
联立 2 2 ，得(4 2 + 3) 2 + 6 9 2 = 0，
4 + 3 = 1
2
则 = 36 2 + 36 2(4 2 + 3) > 0, 1 +
6
2 = 4 2+3 , 1 2 =
9
4 2+3，
则 1△ 1 = 2 | 1 2| | 1 2| =
1 2
2 | 1 2| ( 1 + 2) 4 1 2
2 2 2
= ( 6 2 36 ( +1)4 2+3 ) + 4 2+3 = 12 (4 2+3)2，
2 = 3 (
2+1)
故 2(4 2+3)2，令 4 + 3 = ，则 > 3，
= 3 3( 1则 + 1 )2 44 3 + 3，由于 > 3，故 0 <
1 1 1
< 3，令 = ，
1 1 4 1
所以 0 < < 3，则 = 3( +
2
3 ) + 3在(0, 3 )上单调递减，
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0 = 3( 1 + 1 )2 + 4 < 3( 1+ 1 )2 + 4 < 3(0 + 1则 23 3 3 3 3 3 ) +
4
3 = 1，
0 < < 3则 4，
综合上述，△ 1
3
的内切圆半径 的取值范围为(0, 4 ]．
19. 5解：(1)当 = 2时， ( )是极值可差比函数，理由如下：
当 = 52时， ( ) =
1

5
2 ( > 0)，
所以 ′( ) = 1 + 1 5 2 2 =
(2 1)( 2)
2 2 ，
当 ∈ (0, 1 12 ) ∪ (2, + ∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ ( 2 , 2)时， ′( ) < 0，
1
所以 ( )在(0, 2 )和(2, + ∞)
1
上单调递增，在( 2 , 2)上单调递减，
( ) ( 1 ) = 5所以 的极大值为 2 2 2
3 3 5
2，极小值为 (2) = 2 2 2，
1
所以 ( 2 ) (2) = (2
10
3 2)(
1
2 2)，因此 ( )是极值可差比函数．
2
(2) ( ) (0, + ∞), ( ) = 1 + 1 ( ) = +1的定义域为 ′ 2 ，即 ′ 2 ，
假设存在 ，使得 ( )的极值差比系数为 2 ，则 1， 2是方程 2 + 1 = 0 的两个不等正实根，
= 2 4 > 0
1 + 2 = ，解得 > 2，不妨设 1 < 2，则 2 > 1，
1 2 = 1
1
由于 ( 1) ( 2) = 1 1 (
1
2 2)1 2
= ( )(1 + 11 2 )
1
1 2 2
= 2( 1 2)
1
= (2

ln
1
)( 1 2)，2 1 2 2
所以 2 = 2 ln
1 1 ，从而 1
1 2 2 1
ln = 1，
2 2
1得 2 2 2 = 0, ( )2
2
( ) = 1 2 ( > 1), ( ) = 2 +1 = ( 1)
2
令 ′ 2 2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，有 ( ) > (1) = 0，
因此( )式无解，即不存在 使 ( )的极值差比系数为 2 ．
(3)由(2) 知极值差比系数为 2 1 1
ln ，
2 2
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2 1+ 即 2 1 1
ln
2
，不妨设 0 < 1 < 2，
2
令 = 1 , ∈ (0,1)
+1
，极值差比系数可化为 2
2 1
，
2
2 = ( 1+ 2) =
1
+
2
+ 2 = +
1
+ 2，1 2 2 1
3 2
又 2 ≤ ≤
5 1 1
2，解得4 ≤ ≤ 2，
1
( ) = 2 +1
2 +
令 1 (
1
4 ≤ ≤
1
2 ), ′( ) =

( 1)2 ，
2
设 ( ) = 2 + 1 ( 1 4 ≤ ≤ 1), ′( ) =
2 1 2 1 2 1 = 2
2
= ( 1) 1 1 1 2 ≤ 0 所以 ( )在[ 4 , 1]上单调递减，当 ∈ [ 4 , 1]时， ( ) ≥ ( 2 ) > (1) = 0，
从而 ′( ) > 0，
1 1 1 1
所以 ( )在[ 4 , 2 ]上单调递增，所以 ( 4 ) ≤ ( ) ≤ ( 2 )，
2 10即 3 2 ≤ ( ) ≤ 2 3 2．
( ) 10故 的极值差比系数的取值范围为[2 3 2,2 3 2]．
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