天津外国语大学附属外国语学校2024-2025高二（下）月考数学试卷（3月份）（图片版含答案）

2024-2025 学年天津外国语大学附属外国语学校高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数 ( )满足△ → 0 ( 0 2△ ) ( 0)△ = 2，则 ′( 0) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.设 ′( )是函数 ( )的导函数，若函数 ( )的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A.当 1 < < 4 时， ′( ) > 0
B.当 < 1 或 > 4 时， ′( ) < 0
C.当 = 1 或 = 4 时， ′( ) = 0
D.函数 ( )在 = 4 处取得极小值
3.已知 ∈ (0, )，函数 ( ) = 的递增区间为( )
A. (0, 2 ) B. (0,
3
4 ) C. (0,

4 ) D. (
3
4 , )
4 ( ) = 1.函数 4
2的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.函数 ( ) = + 在点(0,1)处的切线与直线 2 + 1 = 0 互相垂直，则实数 等于( )
A. 2 B. 4 C. 12 D. 2
6.设 ( )是定义在 上的可导函数，且满足 ′( ) < ( )，对于任意的正数 ，下面不等式恒成立的是( )
A. ( ) < (0) B. ( ) > (0) C. ( ) < (0) D. ( ) >
(0)

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分。
7.设 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ( ) = 3 + 2 ′(1) 1，则 (1) = ______．
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8.已知实数 为函数 ( ) = 3 3 2的极小值点，则 =______．
9.若函数 ( ) = 3 + 2 + 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______．
10.函数 ( )是定义在 1上的偶函数.若对于任意两个不等实数 1，2 2 ∈ (0, + ∞)，不等式2 1 ( 1) +
2 (2 2)
1
2 1 (2 2) 2 ( 1) > 0 恒成立，则不等式 (2 ) > ( 1)的解集为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题 17 分)
求下列各函数的导数．
(1) = ln(3 2)；
(2) = ；
(3) ( ) = + 2 ．
12.(本小题 17 分)
已知 ， ∈ 函数 ( ) = 3 + 2 + + 1 在 = 1 处取得极值为 12，
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值；
(3)求函数 ( )在区间[0,2]上的最大值与最小值．
13.(本小题 18 分)
已知函数 ( ) = 2( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若对任意的 ∈ (1, + ∞)，都有 + > ( 1)成立，求整数 的最大值．
14.(本小题 18 分)
已知函数 ( ) = ( 1)， ( ) = + ( , ∈ )．
(1)若 = 1 时，直线 = ( )是曲线 ( )的一条切线，求 的值；
(2) = 3，且 ( ) ≥ ( )恒成立，求 的取值范围；
(3)令 ( ) = ( ) ( )，且 ( )在区间[ , 2]上有零点，求 2 + 4 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.6
8.2
9.[0,3]
10.( ∞, 1) ∪ ( 13 , + ∞)
11.解：(1) ∵ = ln(3 2) (3 2)′ 3，∴ ′ = 3 2 = 3 2．

(2) ∵ = ∴ = ′ ( )′ =
1
， ′ ( )2 2 = ．
(3) ∵ ( ) = + 2 ，∴ ′( ) = 1 2 ．
12.
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13.
14.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + ， ′( ) = ，设切点为 ( 0, ( 0))，
因为 ( ) = + 是 ( )的一条切线，
所以 ′( 0) = 0 = 1，解得 0 = ，
所以 ( 0) = ( ) = 0，
又切点 ( , 0)在切线 = + 上，
所以 0 = + ，得 = ．
(2) = 3，令 ( ) = ( ) ( ) = ( 1) + 3，
则 ′( ) = ，令 = 0，可得 = ．
当 ≥ 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，当 0 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≥ ( ) = + 3，即 ( ) ≥ ( )符合题意，
可得 + 3 ≥ 0.可得 ≤ 3．
的取值范围为( ∞, 3]．
(3)(解法 1) ( ) = ( 1) ， ′( ) = ．
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若 ≤ 1，则 ′( ) > 0 在区间( , 2)上恒成立， ( )在区间[ , 2]上单调递增．
因为 ( )在区间[ , 2]上有零点，
所以解得 ≤ ≤ 2 2，
所以 2 + 4 ≥ 2 4 = ( 2 )2 4 2 ≥ 1 4 ，
当 = 1 时，等号成立，此时 = ．
若 1 < < 2 时，
当 < < 时， ′( ) < 0， ( )在(1, )上单调递减；
当 < < 2时， ′( ) > 0， ( )在(1, )上单调递增．
因为 ( )在区间[ , 2]上有零点，
所以 ( ) = ( 1) = ≤ 0，所以 ≥ ，所以 2 + 4 ≥ 2 4 ．
令 ( ) = 2 4 ，1 < < 2，
则 ′( ) = 2 4 = 2( 2 ) < 0，所以 ( )在(1,2)上单调递减，
所以 ( ) > 22 4 2 = 4 4 2．
若 ≥ 2 时，则 ′( ) < 0 在区间( , 2)上恒成立， ( )在区间[ , 2]上单调递减，
因为 ( )在区间[ , 2]上有零点，
所以解得 2 2 ≤ ≤ ，
所以 2 + 4 ≥ 2 4 2 + 4 2 = ( 2 2)2 + 4 2 4 4 ≥ 4 2 4 4，
当 = 2 2时，等号成立，此时 = 2 2 4．
综上， 2 + 4 的最小值是 4 2 4 4．
(解法 2) ( ) = ( 1) ，设 ( )在[ , 2]上的一个零点为 0，
则 ( 0) = 0( 0 1) 0 = 0， = 2 20( 0 1) 0， + 4 = + 4 0( 0 1) 4 0 =
( 2 )20 + 4 0( 2 20 1) 4 0 ≥ 4 0( 0 1) 4 0，当 = 2 0时等号成立．
令 ( ) = 4 ( 1) 4 2， ≤ ≤ 2，则 ′( ) = 4 8 ．
因为 ≤ ≤ 2，则 1 ≤ ≤ 2，4 8 < 4 × 2 8 < 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在区间[ , 2]上单调递减，
所以 ( )的最小值为 ( 2) = 4 2 4 4，
故 2 + 4 的最小值为 4 2 4 4．
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