陕西省西安市高新第二高级中学2024-2025高一（下）第一次月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年陕西省西安市高新第二高级中学高一（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形 中， = ，则相等的向量是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.设 = (2 + 5)， = (2 + 1)( + 2)，则( )
A. > B. =
C. < D. 与 的大小与 有关
3.已知函数 = ( 1)的定义域是[ 1,2]，则 = (1 3 )的定义域为( )
A. [ 13 , 0] B. [
1 1
3 , 3] C. [0,1] D. [ 3 , 1]
4.在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 = 2, = 1, = 45°， =( )
A. 30° B. 30°或 150° C. 60° D. 60°或 120°
5 1.如图，已知△ 中， 为 的中点， = ，若 3 = + ，则 + =( )
A. 5 B. 1 C. 1 D. 56 6 6 6
6.已知向量 = ( , )， = (0, 1)， ∈ (0, 2 )，则向量 与向量
的夹角为( )
A. B. 2 C. 2 + D.
7.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的
人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一
是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为
正六边形的中心，半径为 2，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取值范围是( )
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A. [6,12] B. [6,16] C. [8,12] D. [8,16]
8.边长为 2 的正三角形 的内切圆上有一点 ，已知 = + ，则 2 + 的取值范围是( )
A. [3 3, 3 + 3] B. [ 13 , 1]
C. ( 1 3 3 3+ 33 , 1) D. [ 3 , 3 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意向量 ， ， ，下列命题中正确的是( )
A.若 = 0，则 与 中至少有一个为0
B.向量 与向量 夹角的范围是[0, )
C.若 ⊥ ，则 = 0
D. [( ) ( ) ] = 0
10.已知△ 为斜三角形，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 ，则( )
A. 1 + 1 = 2 B. + 的最小值为 2
C. = 若 ，则 24 +
2 = 2 2 D. + 5 若 = 6，则 = 12
11.在给出的下列命题中，正确的是( )
A.设 ， ， ， 是同一平面上的四个点，若 = + (1 ) ( ∈ )，则 ， ， 三点必共线
B.若向量 ， 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 都可以表示为 = + ( , ∈ )，且表示
方法是唯一的
C. = = (

若平面向量 ， ， 满足 ， + )，则△ 为等腰三角形| | | |
D.若平面向量 ， ， 满足| | = | | = | | = ( > 0)，且 + + = 0，则△ 是等边三
角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.计算：0.125 3 ( 64 )027 log225 × log34 × log59 = ______．
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13.已知平面向量 , 满足 = (1, 3), | | = 4, 与 的夹角为 120°，则向量 在向量 上的投影向量为______．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2， (2 3 ) = 3 ，点 是边
的中点，且 = 3，则△ 的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设全集为 = ，已知集合 = { | + 1 ≤ ≤ 3 1}， = { |1 ≤ 2 1 ≤ 8}．
(1)当 = 2 时，求( ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知( + )( ) = ( ) ．
(1)求 ；
(2) △ 3 3若 的面积为 2 , = 7，求 + ．
17.(本小题 15 分)
设两个向量 , 满足 = (2,0), = ( 1 , 32 2 )．
(1)求 + 方向的单位向量；
(2)若向量 2 + 7 与向量 + 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地 分隔成三部分建成

花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为 60 米，∠ = 3，动点 在扇形 的弧上，
点 在半径 上，且 / / ．
(1)当 = 40 米时，求分隔栏 的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角形 的面积
的最大值．
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19.(本小题 17 分)
已知向量 = ( 3 , 1), = ( , cos2 1)，函数 ( ) = + 12，
(1) ∈ [0, ], ( ) = 3若 4 3 ，求 2 的值；
(2)在△ 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，且满足 2 ≤ 2 3 ，当 取最大值时， = 1，△
3 +
面积为 4 ，求 + 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.(1,0) ( 1 3或 2 , 2 )
14. 3或 2 3
15.解：(1)当 = 2 时， = { |3 ≤ ≤ 5}， = { | < 3 或 > 5}，
又因为 = { |1 ≤ 2 1 ≤ 8} = { |1 ≤ ≤ 4}，
则( ) ∪ = { | ≤ 4 或 > 5}．
(2)因为 ∈ 是 ∈ 的充分条件，则 ，
当 = ，即 + 1 > 3 1，即 < 1，符合题意；
+ 1 ≤ 3 1
当 ≠ 时， + 1 ≥ 1 ，解得：1 ≤ ≤ 53．
3 1 ≤ 4
综上所述，实数 的取值范围是{ | ≤ 53 }．
16.解：(1)由正弦定理得 2 2 = 2，即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理得 = + 12 = 2 = 2，
又因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2) △ 3 3因为 的面积为 2 ，
1
所以2 =
1 3 = 3 32 2 2 ，即 = 6，
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2+ 2 2 2 2 = 7 = = + 7 = 1由 ，则 2 12 2，
即 2 + 2 = 13，
所以 2 + 2 + 2 = ( + )2 = 13 + 12 = 25，
即 + = 5．
17.解：(1)由已知 + = (2,0) + ( 12 ,
3
2 ) = (
5
2 ,
3
2 )，
5 3
所以| + | = ( )22 + ( 2 )
2 = 7，
所以 + = 7( 5 7 2114 , 14 )，
即 + ( 5 7方向的单位向量为 14 ,
21
14 )；
(2) = (2,0), = ( 1 , 32 2 )，
则 = 1，| | = 2, | | = 1，
2
所以(2 + 7 ) ( + ) = 2 2 + (2 2 + 7) + 7 = 2 2 + 15 + 7，
因为向量 2 + 7 与向量 + 的夹角为钝角，
所以(2 + 7 )( + ) < 0，且向量 2 + 7 不与向量 + 反向共线，
设 2 + 7 = ( + )( < 0) 2 = 14，则 7 = ，解得 = 2 ，
2 2 + 15 + 7 < 0 14 14 1
从而 14 ，解得 ∈ ( 7, ≠ 2
) ∪ ( 2 , 2 )．
2
18.解：(1)扇形的半径 = 60，

因为圆心角为3，所以∠ =
2
3，又 = 40，
2
在△ 中，由余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 cos 3，
即602 = 402 + 2 2 × 40 × × ( 12 )，
解得 = 20 6 20 或 = 20 6 20(舍去)，
所以 的长为(20 6 20)米．
(2) ∠ = ∈ (0, 设 ， 3 )，
在△ 60中，由正弦定理得，sin( = = 2 ，3 ) sin∠ sin 3
所以 = 1203 sin(

3 )， ∈ (0,

3 )，
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所以△ 1的面积为 = 2
= 36003 sin(

3 )
= 1200 3( 32
1
2 )
= 1200 3( 34 2 +
1
4 2
1
4 )
= 600 3sin(2 + 6 ) 300 3，
当 sin(2 + 6 ) = 1

，即 = 6时，△ 的面积最大为 300 3平方米，
所以此时种植白玉兰的最大面积是 300 3平方米．
19.解：(1)向量 = ( 3 , 1), = ( , cos2 1)，
则：函数 ( ) = + 12，
= 3 + cos2 1 + 12，
= 32 2 +
1
2 2 ，
= sin(2 + 6 )，
3
由于： ∈ [0, 4 ], ( ) = 3 ，
则：sin(2 + 6 ) =
3
3 ，
由于：2 + 6 ∈ [ 6 ,
2
3 ]，
解得：cos(2 + 66 ) = 3 ，
2 = cos[(2 + 6 )

6 ]，
= cos(2 + 6 )cos

6 + sin(2 +

6 )sin

6，
= 2 32 + 6 ，
(2)在△ 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，
且满足 2 ≤ 2 3 ，
2
2 +
2 2
整理得： 2 ≤ 2 3 ，
2 2 2
整理得： = + 32 ≥ 2 ，
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所以：0 < ≤ 6，
当 = 6时， = 1，△
3
面积为 4 ，
1 3
则：2 = 4 ，
解得： = 3，
利用余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
解得： = 1
+
所以： + = = 2
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