河南省信阳市光山二高紫光湖校区2024-2025高一（下）第一次月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年河南省信阳市光山二高紫光湖校区高一（下）第一次月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = 45，则 2 的值为( )
A. 7 3 1 725 B. 5 C. 5 D. 25
2. 40° 20° + 40° 70° =( )
A. 12 B.
2 C. 32 2 D. 1
3.函数 ( ) = 2 的定义域为( )
A. { | ≠ 4 + 2 , ∈ } B. { | ≠

4 + , ∈ }
C. { | ≠ 2 +

2 , ∈ } D. { | ≠

2 + , ∈ }
4 .函数 ( ) = 3cos(2 + 6 ) + 1, ∈ [

4 , 3 ]的值域为( )
A. [ 1 , 52 2 ] B. [1 3,
1 5 3 5
2 ] C. [1 3, 2 ] D. [1 2 , 2 ]
5 .为了得到函数 = 3 (2 + 5 )， ∈ 的图象，只需把函数 = 3 ( + 5 )， ∈ 的图象上所有的点的( )
A. 1横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变
C. 1纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变
6 .若2与 120°角终边相同，则 是第( )象限角．
A. B.二 C.三 D.四
7.已知 ( ) = ( + )[ > 0, > 0, | | < 2 , ∈ ]的部分图象如图所示，则 ( )的表达式是( )
A. 2 ( 32 +

4 )
B. 2 ( + 4 )
C. 2 (2 4 )
D. 2 ( 32

4 )
8 7 .函数 ( ) = sin( + 4 )( > 0)在( 4 , 4 )内恰有两个最小值点，则 的范围是( )
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A. ( 137 , 4] B. (
13
7 , 3] C. (
4
3 , 3] D. (
4
3 , 4]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 12，则( )
A. sin( + ) = 1 12 B. sin( ) = 2
C. sin( 2 + ) =
3
2 D. cos(

2 ) =
1
2
10 .已知函数 ( ) = tan(2 + )( 2 < < 2 )的部分图象如图所示，其最小正周期为 ，则( )
A. = 3
B. = 2
C. ( ) 7 的一个单调递增区间为( 6 , 12 )
D. ( + 6 )为奇函数
11.下列说法错误的是( )
A.若 终边上一点的坐标为(3 , 4 )( ≠ 0) 3，则 = 5
B.若角 为锐角，则 2 为钝角
C. 3 若圆心角为3的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为 2
D.若 + = 1 45，且 0 < < ，则 = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 5.已知 12，则 4 cos
2 + 1 = ______．
13 1.已知 cos(75° + ) = 3，且 180° < < 90°，则 cos(15° )的值为______．
14.已知函数 ( ) = 2 3 2 ( > 0)，若方程 ( ) = 0 在区间(0, 4 )内无解，则 的取值范围是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知 是第二象限角．
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(1) 1+ 1 化简 1 sin 1+sin ；
(2) 2 + = 1 1若 ，求 sin2sin 2 2 2 3 2
2 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 ， 是方程 3 2 + 5 7 = 0 的两根，求下列各式值：
(1)tan( + )；
(2) sin( + )cos( )．
17.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式及单调递减区间；
(2)当 ∈ [ 12 ,

3 ]时，求 ( )的最小值及此时 的值；
(3)将 ( )图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 ( > 0)个单位后，
得到的函数 ( )是偶函数，求 的最小值．
18.(本小题 15 分)
如图，半径为 1 的扇形圆心角为 60°，点 在弧上运动，连结 ， ，得四边形 ．
(1)求四边形 面积的最大值；
(2)求四边形 周长的最大值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数已知 ( ) = 2 2 + 2 3 ．
(1)求函数 ( )的周期、对称轴、对称中心；
(2)求 ( )在[ 4 , 4 ]上的单调区间与最值；
(3)若对 ∈ ，不等式 ( ) + 2 ≥ ( )恒成立，试求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 215169
13. 2 23
14.(0, 23 ]
15.解：(1)因为 为第二象限角，所以 < 0，
1+ 1 = 1+ 1+ 1 1 所以 1 cos 1+sin 1 sin 1+sin 1+sin 1 sin
= 1+ 1 = 1+ 1 1 +1 |cos | |cos | cos cos = cos = 2 ；
(2) 2 + 1 4由sin 2 = 2，得 3 = 4 ，所以 = 3，
1
1 sin2 3 2 2
所以2 sin
2 3 2 2 = 2 sin2 +cos2 ，
1 2
= 2
sin 3 2
1+tan2
1×( 42 3)
2 3×( 4
= 3
) 2
1+( 4 23)
= 2625．
16.解：(1) ∵ ， 是方程 3 2 + 5 7 = 0 的两根，
∴ + = 53， =
7
3，
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∴ tan( + ) = + 11 tan tan = 2；
(2) sin( + ) = + = + 5cos( ) cos cos +sin sin 1+tan tan = 4．
17.解：(1) 1 7 2 由函数 ( )的图象得， = 2，4 = 12 3 = 4，所以 = ， = = 2，
7
所以 ( ) = 2 (2 + )，由图象过点( 12 , 2)，所以 2 = 2 (2 ×
7
12 + )，
所以 sin( 7 6 + ) = 1
7 3
，所以 6 + = 2 + 2 ， ∈

，即 = 3 + 2 ， ∈ ，
| | < 又 2，所以 =

3， ( ) = 2 (2 +

3 )；

由2 + 2 ≤ 2 +

3 ≤
3
2 + 2 ， ∈ ，得12 + ≤ ≤
7
12 + ， ∈ ；
7
所以 ( )的单调递减区间为[ 12 + , 12 + ]， ∈ ．
(2)因为 ∈ [ 12 ,
] 3 ，所以6 ≤ 2 + 3 ≤ ，所以 0 ≤ sin(2 + 3 ) ≤ 1，
0 ≤ 2 (2 + 所以 3 ) ≤ 2，所以 ( )的最小值为 0，
此时 2 + 3 =

，解得 = 3，

所以 = 3时， ( )的最小值为 0；
(3)将 ( ) 1 1 图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)，得 ( 4 ) = 2 ( 2 + 3 )的图象，
再将所得图象向左平移 ( > 0)个单位后得 ( ) = 2 [ 1 2 ( + ) + 3 ]，
所以 ( ) = 2 ( 12 +
1 1
2 + 3 )，因为函数 ( )是偶函数，2 + 3 =

2 + ， ∈ ，
= 所以 3 + 2

， ∈ ，又 > 0，所以 = 3，所以 的最小值为3．
18.解：(1)设∠ = ， ∈ (0°, 60°)，则∠ = 60° ，
所以四边形 的面积为：
1 1
= 2 × 1
2 × + × 122 × sin(60° )
1 3 1
= 2 ( + 2 2 )
1 1 3
= 2 (2 + 2 )
= 12 sin( + 60°)，
当 = 30°时， + 60° = 90°，sin( + 60°) = 1，
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四边形 1的面积取得最大值，为2；
(2)过点 作 ⊥ ，则∠ = 2，
所以四边形 的周长为：

= 2 × 1 + 2 × 1 × sin 2 + 2 × 1 × sin(30° 2 )
1 3
= 2 + 2 2 + 2(2 cos 2 2 sin 2 )

= 2 + (2 3)sin 2 + cos 2
= 2 + ( 6 2)sin( 2 + 75°)，
= 15° 当2 时，2 + 75° = 90°，sin( 2 + 75°) = 1，
四边形 的周长取得最大值，为 2 + 6 2．
19.解：(1)解法一、 ( ) = 2 2 + 2 3 = 2 + 3 2 + 1 = 2 (2 3 ) + 1，
所以 = 2 2 = ，
令 2 3 =

，解得 = 6 + 2， ∈ ，所以对称轴方程为 =
+ 6 2， ∈ ，
5 5
令 2 3 = + 2，解得 = 12 + 2， ∈ ，所以对称中心为( 12 + 2 , 1)， ∈ ，
解法二、 ( ) = 2 2 + 2 3 = 2 + 3 2 + 1 = 2 (2 + 6 ) + 1，
= 2 所以 2 = ，

令 2 + 6 = 2 + ，解得 = 6 + 2， ∈ ，所以对称轴方程为 = 6 + 2， ∈ ，
2 + = = 令 6 ，解得 12 + 2， ∈ ，所以对称中心为( 12 + 2 , 1)， ∈ ．
(2)解法一、令 2 = 0 3 ，解得 = 6，所以 =
2
2 = ，2 = 2，
2
所以 ( )在[ 3 + , 6 + ]， ∈ 上单调递增，在[ 6 + , 3 + ]， ∈ 上单调递减，
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( ) [ , 所以 在 4 6 ]上单调递增，[ 6 , 4 ]上单调递减，
( 4 ) = 1 3

， ( 6 ) = 3， ( 4 ) = 1 + 3，
所以 ( )的最大值为 3，最小值为 1 3；
2
解法二、令 2 + 6 = 2，解得 = 6，所以 = 2 = ，2 = 2，
( ) 所以 在[ 3 + ,

6 + ]， ∈ 上单调递增，在[

6 + ,
2
3 + ]， ∈ 上单调递减，
( ) 所以 在[ 4 , 6 ]上单调递增，[ 6 , 4 ]上单调递减，
( ) = 1 3 ( 4 ， 6 ) = 3， ( 4 ) = 1 + 3，
所以 ( )的最大值为 3，最小值为 1 3；
(3)原不等式可化为 ( ( ) + 2) ≥ ( )，而 ( ) + 2 > 0 恒成立，
所以 ≥ ( ) ( )+2 2 2 ( )+2 = ( )+2 = 1 ( )+2，
3
当 ( )取得最大值 3 时， ≥ 5，
3
所以 的取值范围是[ 5 , + ∞)．
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