江西师大附中2024-2025高一（下）第一次月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年江西师大附中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 3 4 的值( )
A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在
2 5 .若角 的终边过点 (1, 3)，则 sin( + 2 ) =( )
A. 12 B.
3
2 C.
1 3
2 D. 2
3.在半径为 2 的圆中，长度为 2 的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是( )
A. 2 3 B. 13 3 2 3 C.
1
3 3 D.
2
3 2 3
4 = + ( 1) ( ∈ ) = 2.“ 4 ”是“ 2 ”的( )条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要
5 1.已知函数 ( ) = 2 ( 2 +

3 )，则下列选项正确的是( )
A.函数 ( )的最小正周期为
B.点( 3 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
C. 函数 ( )的定义域为{ | ≠ 3 + , ∈ }
D.函数 ( )在区间( 5 8 3 , 3 )单调递增
6.已知实数 ， 的较大者可以表示为 { , }，若函数 ( ) = { , }，则 ( )的值域是( )
A. [ 1,1] B. [ 22 , 1] C. [ 1,
2
2 ] D. [ 1,
2
2 ]
7.南昌市摩天轮的高为 160 米(即最高点离地面的距离)，转盘直径为 153 米，摩天轮在开放时匀速旋转，
并且旋转一周需 30 分钟，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间 变化而变化，以你登
上摩天轮的时间开始记时，则下列选项不正确的是( )
A.你与地面的距离 与时间 的函数解析式为 = 83.5 76.5 ( 15 )
B.第 1 次距离地面 121.75 米时，用了 10 分钟的时间
C.第 4 次距离地面 121.75 米时，用了 40 分钟的时间
D.当你距离地面 121.75 米，你所用的时间 的取值集合为{ | = 10 + 30 或 = 20 + 30 ， ∈ }
8.设 、 、 是函数 ( ) = ( > 0)与函数 ( ) = cos( 5 6 )( > 0)的图象连续相邻的三个交点，
若△ 是锐角三角形，则 的取值范围是( )
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A. (0, 33 ) B. (
3
3 , + ∞) C. (0,
2
2 ) D. (
2
2 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 1 不等式 > 2的解集为{ | 3 + 2 < < 3 + 2 , ∈ }
B. = cos( )与 = cos| |的图象相同
C.不等式 ≥ 的解集为{ ∈ | + 2 ≤ ≤ 5 4 4 + 2 , ∈ }
D.函数 ( ) = 2 3的定义域为{ | ≠ 3 + , ∈ }
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( ) = 3 (2 + 6 )
B. ( ) 的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( ) = 3 2
C. ( ) 4 的图象关于直线 = 3对称
D. 3 10 若方程 ( ) = 2在(0, )上有且只有 6 个根，则 ∈ (3 , 3 ]
11.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ， ( + 3) = ( )， ( )关于直线 = 3 对称，且 ( ) + (
3) = 2，若 ( 3) = 1，则( )
A. (0) = 1
B. ( ) 3的图象关于点( 2 , 0)中心对称
C. ( )是奇函数
D. (0) + (1) + (2) + + (2025) = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = cos(2 + )(0 < < )是奇函数，那么 的值为______．
13 5 .已知 sin( 3 ) = 13，且3 < < 2，则 tan(
5
6 ) = ______．
14.已知函数 ( ) = 2 ( + )，其中 > 0，0 < < ，且 ( ) ≤ ( 3 )恒成立，若 ( )在区间(0, 2 )上
恰有 3 个零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 2．
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(1) 求2 +cos 的值；
(2)求 cos( + 3 )cos( 2 ) + cos
2 的值．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ( + )(其中 > 0， > 0，| | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式及单调递减区间；
(2) 将函数 ( )的图象向右平移6，再向下平移 2 个单位，得到函数 ( )的图象.若 ∈ [0, 2 ]，求 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形 去掉扇形
构成)种植花卉，已知 = 20 米， = 米，扇形环面区域面积为 100 平方米，圆心角为 弧度．
(1)当 = 10 3米时，求 的长；
(2)记花卉周围栅栏的长度为 米，试问 取何值时， 的值最小？并求出最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2，且经过点(0,1)．
(1)求函数 ( )的解析式；
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(2) ( ) = 0 [0, 7 若方程 在区间 6 ]上恰有三个实数根 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3，求 sin( 1 + 2 + 3)
的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (2 + ) + ( > 0,0 < < ) ， ( )的最大值为 1，最小值为 3， ( ) = ( 6 ) + 1，
且 (0) = 1．
(1)求 、 、 的值及函数 ( )的解析式；
(2)已知函数 ( ) = 2 + 2 + 3 ∈ [ , ，若有且只有一个实数 ，对于 1 12 3 ]， 2 ∈ [0,2]，使得 ( 2) = 2
( 1)，求实数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.125
14.( 9 , 152 2 )
15.解：(1)因为 = 2，
= 2所以2 +cos 2 +1 = 5；
(2)因为 = 2，
2
cos( + 3 )cos( ) + cos2 = + cos2 = +cos = +1 1所以 2 sin2 +cos2 tan2 +1 = 5．
16.解：(1)由图象可得 = 2， = ；
2
所以 = = 2，所以 ( ) = 2 (2 + )，
( ) = 2 (2 × + ) = 2 + = 2 + 又 6 6 ，所以3 2 , ∈ ，
又| | < 2，所以 = 6，所以
( ) = 2 (2 + 6 )，
2 + 令 2 ≤ 2 +
≤ 2 + 3 , ∈ + ≤ ≤ + 2 6 2 ，可得 6 3 , ∈ ，
2
所以单调递减区间为[ + 6 , + 3 ], ∈ ．
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(2) ( ) = 2 [2( 6 ) +

6 ] 2 = 2 (2

6 ) 2，
由 ∈ [0, 2 ]可得 2

6 ∈ [

6 ,
5
6 ]，∴ sin(2

6 ) ∈ [
1
2 , 1]；
∴ ( ) ∈ [ 3,0]．
17.解：(1)在扇形环面区域中， = 20 米， = 米，扇形环面区域面积为 100 平方米，圆心角为 弧度，
1 1
由扇形的面积公式得： 22 × 20 2 ×
2 = 100，
整理得： = 200400 2 , (0 < < 20)，又 = 10 3米，
故 =
200 200
400 2 = 400 (10 3)2 = 2，
于是 = = 20 3米．
(2)依题意可得弧长 = ，弧长 = 20 ，
所以栅栏的长度 = + 20 + 2 × (20 )，将 = 200400 2代入上式，整理可得，
= 2(20 ) + 200 10020 = 2(20 + 20 ) ≥ 4 (20 ) ×
100 = 40，20
当且仅当 = 10 时取等号，所以栅栏长度的最小值为 40 米．
18. 解：(1)由于图象相邻两条对称轴之间的距离为2，因此2 = 2，
因此 = 2 ，又因为 > 0，所以 = ，因此 = 2，因此函数 ( ) = 2 (2 + )，
1
又由于函数的图象过点(0,1)，因此 2 = 1，所以 = ，又由于| | <2 2，解得 = 6，
因此函数 ( ) = 2 (2 + 6 )；
(2) ∈ [0, 7 ] 2 + ∈ [ , 5 当 6 时， 6 6 2 ]，

令6 ≤ 2 +

6 ≤
3 5 2 7
2或 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2，解得 0 ≤ ≤ 6或 3 ≤ ≤ 6，
因此函数 ( )在[0, 6 ], [
2
3 ,
7
6 ]上单调递增，
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≤ 2 + ≤ 3 ≤ ≤ 2 ( ) [ 2 令2 6 2，解得6 3，因此函数 在 6 , 3 ]上单调递减，
且当 ∈ [0, 6 ]
7
时，函数 ( ) ∈ [1,2]，那么函数 ( )的图象( ∈ [0, 6 ])如下所示：
由于 ( ) = 0 7 在区间[0, 6 ]上恰有三个实数根 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3，
7
所以函数 = 与函数 = ( )在区间[0, 6 ]上恰有三个交点，那么 1 ≤ < 2，
2 且 2与 3关于 = 3对称， 1与 2关于 = 6对称，
因此 1 + =
4
2 3 , 2 + 3 = 3，
因此 1 + +
5
2 3 = 3 2，
由于 1 ≤ < 2 5 4 3 ，因此6 < 2 ≤ 3，因此 3 2 ∈ [ 3 , 2 ),
因此 sin( 1 + 2 + ) = sin(
5
3 3
3
2) ∈ ( 1, ．2 ]
19.解：(1)由于 ( ) = (2 + ) + ( > 0,0 < < )，
函数 ( )的最小值为 3，最大值为 1，所以 + = 1，且 + = 3， = 2， = 1，
所以函数 ( ) = 2 (2 + ) 1，

所以函数 ( ) = ( 6 ) + 1 = 2 (2

3 + )，因为 (0) = 1，所以 2 (

3 + ) = 1，
所以 sin( 1 3 + ) = 2，因为 0 < < , 3 + = 6，所以 = 6，
( ) = 2 (2 因此函数 6 )；
(2)根据第一问知，函数 ( ) = 2 (2 6 )

，当 ∈ [ 12 , 3 ]时，2

6 ∈ [0,

2 ]，
所以函数 ( ) [ 在 12 , 3 ]上单调递增，函数值集合为[0,2]，2 ( )值域为[2 2,2 ]，

因为有且只有一个实数 ，对于 1 ∈ [ 12 , 3 ], 2 ∈ [0,2]，使得 ( 2) = 2 ( 1)，
得 ( )在[0,2]上的值域包含[2 2,2 ]，并且 唯一．
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< 0 ( ) = 1 1 1①当 时，函数 的图象对称轴为 ，当 ≥ 2，即 2 ≤ < 0 时，
( )在[0,2]上单调递增， ( )的值域为[3,4 + 7]，
2 2 ≥ 3 ≥
5
5 7
于是 22 ≤ 4 + 7，解得 7，显然 ≤ 2 + 2
≤ 2 + 2，
2
1
当且仅当 = 2时， =
5 1
2且唯一，因此 = 2；
②当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + 2 + 3 在[0,2]上单调递增，函数 ( )的值域为[3,4 + 7]，
根据[2 2,2 ] [3,4 + 7] 2 2 ≥ 3，得 2 ≤ 4 + 7，
5 7
解得2 ≤ ≤ 2 + 2，显然符合条件的 不唯一；
③当 0 < 1 < 2
1
，即 < 2时， ( ) = (
1
) = 3
1
, (0) = 3, (2) = 4 + 7，
当 (0) 1 1是最小值时，而 3 3 = ∈ (0,2)，
不满足函数 ( )在[0,2]上的值域包含[2 2,2 ]，
1
则 (0) 1 3+ 5 2 ≤ 3 不是最小值，必有 3 (4 + 7) ≥ 2，得 ≤ 4 ，于是 ，2 2 ≥ 4 + 7
≤ 32
1
2 = 3+ 5 3 1 5 9 5解得 ，当
≥ 2 + 9 4
时，2 2 = 3 2 且 2 + 2 = 3 2 ，
2
5
此时 = 3 2 且唯一，
并且当 < 3+ 5 2 + 9 3 1 9 3 14 时， 2 < 2 2 , 2 + 2 ≤ ≤ 2 2 ，实数 不唯一，
= 3+ 5因此 4 ．
综上，实数 3+ 5 1的值是 = 4 或 = 2．
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