河南省2025年中考数学模拟预测卷（含解析）

机密★启用前
2025 年 河 南 省 中 考 模 拟 卷
数 学
注意事项：
I.本试卷共6 页， 三个大题， 满分120 分， 考试时间120分钟。
2 .本试卷上不要答题， 请按答题卡上注意事项的要求， 直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．在数轴上表示和之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次.8.26亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，其中，则∠2 的度数为（　　）
A．145° B．155° C．165° D．175°
4．中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各数中，为不等式组解的是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
6．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　）
A． B． C． D．
9． 如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形OCAB的面积为；④四边形ABOC是菱形其中正确结论的序号是
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
10． 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用元，在乙园采摘需总费用元．、与之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克
B．甲园的门票费用是60元
C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠
D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．与是同类项，则　 　．
12．如图是某市6月份日平均气温统计图，则在日平均气温这组数据中，众数是　 　．
13．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　 　．
14．如图， 正方形 的边长为 是边 的中点， 点 是边 上一动点， 连结 ， 将 沿 翻折得到 ， 连结 ， 当 最小时， 的长是　 　
15．如图，AB 是⊙O的弦，AB=4 ，P 是上的一个动点，∠P=45°，连结PA，PB，AC 是△ABP的中线。
（1）若∠CAB=∠P，则AC=　 　.
（2）AC的最大值=　 　.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．为庆祝2023年两会胜利召开、学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示：
众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 70 80 188
九年级竞赛成绩 80
（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题：
①表中 ▲ ， ▲ ；
②现要给成绩突出的年级颁奖，结合众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？请说明理由．
18．在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：
（1）画出函数的图象；
①由分式有意义可知，函数中自变量x取除 以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空.
x -6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6
y 　 　 　 　 　 　 6 4 3 2 1.5 1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象(描上表中剩余的点并连线).
（2）画出函数的图象；
（3）当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围.
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点.
（1）在边AD的上方求作一点F，使得且；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE，若，求证：四边形ABEF是菱形.
20．如图，是的内接三角形，直径，平分交于点D，交于点E，连接、．
（1）若，求的度数；
（2）求的长．
21．为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
22．如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且秒时，米．
（1）求h关于t的函数表达式．
（2）已知A点的离地高度为米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离．
23．综合探究
如题图，点B，E是射线AQ上的一个动点，以AB为边在射线AQ上方作正方形ABCD，连接DE，作DE的垂直平分线FG，垂足为H，FG分别与直线BC，AD，DC交于点M，F，G，连接EG交直线BC于点．
（1）设，当恰好是AB的中点时，求DF的长；
（2）若DG=DE，猜想HG与AE的数量关系；并证明；
（3）设AB长为的面积为，若，求与的关系式．
答案解析部分
1．A
解：如图所示：
在数轴上表示和两点之间的整数有，，，，共个．
故答案为：A．
根据题意找出满足条件的所有整数即可求解．
2．B
3．B
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：B．
根据两直线平行，内错角相等得出，然后根据邻补角的定义即可计算出∠2的度数.
4．A
5．C
解：由，
解得，解得，
原不等式组的解集为，
A中，由，不在原不等式组的解集内，故不是原不等式组的解，所以A不符合题意；
B中，由，不在原不等式组的解集内，故0不是原不等式组的解，所以B不符合题意；
C中，由，在原不等式组的解集内，故2是原不等式组的解，所以C符合题意；
D中，由4不在原不等式组的解集内，故4不是原不等式组的解，所以D不符合题意；
故选：C．
本题考查了不等式组的解集与解，先求出每一个不等式的解集，的得出不等式组的解集，再逐项判断是否在原不等式组的解集内，即可得到答案.
6．B
7．D
8．A
9．D
解：点A是劣弧的中点，
，
正确；
，，
为等边三角形，
，
错误；
同理可得为等边三角形，
，
，
扇形OCAB的面积为，
正确；
，
四边形ABOC是菱形，
正确．
故答案为：D
先根据弧的中点判断①，进而根据等边三角形的性质结合题意即可判断②；同理可得为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到，从而根据扇形的面积公式即可判断③；根据菱形的判定结合题意即可判断④.
10．D
解：A、由图象可得：乙园草莓优惠前的销售价格为：150÷5=30（元/千克），此选项正确，不符合题意；
B、甲园的门票费用是60元，此选项正确，不符合题意；
C、乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），15÷30×100%=50%，此选项正确，不符合题意；
D、从图象可知采摘数量在5千克的时候，两个采摘园需要的费用一样，其它情况的时候，表示乙采摘园的费用与数量之间关系的图象都在甲采摘园的下方，故若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，所以此选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确即可求解.
11．
12．
13．
解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
14．
解：连接BG，如图：
∵ 四边形 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，∠C=∠D=∠A=90°，
∵点G 是边 的中点，
∴DG=CG=5.
∴.
由翻折的性质得：AB=BF=10，AE=EF，∠A=∠EFB=90°=∠EFG.
∵BF+FG≥BG，
∴FG≥BG－BF，当G，F，B三点共线时，FG取得最小值.
此时连接EG，如图：
∴.
∵DE2+DG2=EG2=EF2+GF2，设AE=EF=x，
∴，
解得：
故答案为：.
连接BG，根据正方形的性质得AB=BC=CD=AD=10，∠C=∠D=∠A=90°，于是得DG=GC=5.利用勾股定理可求出BG的长，由翻折的性质得AB=BF=10，AE=EF，∠A=∠EFB=90°=∠EFG.结合三角形的三角关系可得FG≥BG－BF，当G，F，B三点共线时，FG取得最小值.求出此时GF的长，连接EG，利用勾股定理可得DE2+DG2=EG2=EF2+GF2，设AE=EF=x，代入数据并计算，即可得AE的长.
15．（1）4
（2）
解：(1)如图，作，
，
，
，
，
AC是△ABP的中线，
，
，
设，则，
，
，
，，
，解得，
.
故答案为：4.
(2)如图，连接OP、OA、OB，记OB的中点为点O'，以点O'为圆心，OB为直径作圆，连接AO'并延长交圆O'于点E，
，
，
，
点O'、C分别是OB、BP的中点，
，即点C在上，
当点C运动到点E位置时，AC有最大值，
，，
，
，
即AC的最大值为.
故答案为：.
(1)由可得，进而解得BC的值，设，利用直角三角形勾股定理求得x的值，再通过等腰直角三角形的性质得到AC的长度.
(2)本题主要考查隐圆的运用，找到动点C的运动轨迹是解题关键.通过三角形的中位线性质可得O'C时定长，即点C的运动轨迹是，进而得到当点C运动到点E位置时，AC有最大值，再通过勾股定理计算出AO'的长度，得到AC的最大值.
16．（1）解：
；
（2）解：
．
（1）先计算负整数指数幂，开平方，零指数幂，开立方，绝对值，进而即可求解；
（2）根据分式的混合运算，先对括号里面部分进行通分，再进行除法运算，即可求解。
17．（1）解：由题意得：
八年级成绩的平均数是：（分），
九年级成绩的平均数是：（分），
故用平均数无法判断哪个年级的成绩比较好．
（2）解：①80；156
②如果从众数角度看，八年级的众数为70，九年级的众数为80，应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156，
应该给九年级颁奖．
综上所述，应该给九年级颁奖．
解：(2) ① 由折线统计图可得，九年级中成绩为80分的人数最多，故m=80；
.
故答案为：80；156.
(1)先根据折线统计图中所给的数据求得八、九年级的平均数，再比较哪个年级的成绩比较好.
(2) ① 由折线统计图可得，九年级中成绩为80分的人数最多，有14人，故九年级竞赛成绩的众数为80分，再利用方差公式计算出九年级竞赛成绩的方差.
② 从众数看，九年级的竞赛成绩高于八年级的竞赛成绩，故应该给九年级颁奖；从方差看，九年级竞赛成绩的方差小于八年级竞赛成绩的方差，九年级的竞赛成绩更稳定，故应该给九年级颁奖.
18．（1）解：① 由分式有意义可知，函数中自变量x取除零以外的全体实数，
当x=-6时，y=-1，
当x=-4时，y=-1.5，
当x=-3时，y=-2，
当x=-2时，y=-3，
当x=-1.5时，y=-4，
当x=-1时，y=-6，
补全表格如下：
-6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6
-1 -1.5 -2 -3 -4 -6 6 4 3 2 1.5 1
故答案为：0；-1；-1.5；-2；-3；-4；-6；
②在坐标系中描出剩余的点，并连线得出函数图象如下：

（2）解： 关于函数 ，先列表：
-4 -2 -1 1 2 4
-6 -3
3 6
描点、连线七图象如下：
（3）解： 或 .
解：（3）由函数图象可得函数的值大于函数的值时，自变量x的取值范围为-2＜x＜0或x＞2.
（1）① 根据分母不等于0进行填空即可；
②根据反比例函数图象上点的坐标特征填表即可；最后利用描点法画出反比例函数在第三象限的图象即可；
（2）利用列表、描点，连线画出正比例函数的图象即可；
（3）根据两个函数图象交点坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可.
19．（1）解：如图所示，
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形ABEF是平行四边形
∵，
∴
∴
∴四边形ABEF是菱形
(1)作，利用平行线的判定定理可得，再截取EF=AB，通过一组对边平行且相等证得四边形ABEF是平行四边形，进而得到.
(2)先利用平行线的性质得到四边形ABEF内角的数量关系得到，进而证得四边形ABEF是平行四边形，再通过邻边相等证得四边形ABEF是菱形.
20．（1）
（2）
21．（1）解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，
由题意得：，
解得：，
答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵.
（2）解：设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为棵，
由题意得：，
∵40＞0，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，（元），
此时（棵），
∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
答：当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元
本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确找到题中等量关系是解题关键．（1）设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据“桂花树的单价比芒果树的单价多40元”可得等量关系为：桂花数的单价=芒果数的单价=40；再根据“购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元”可得等量关系为：3×桂花树的单价+2×芒果树的单价=370，代入数据，列出关于x，y的二元一次方程组，解得x与y的值即可得出答案；
（2）设购买挂花树n棵，则芒果树为棵，根据“总费用=桂花树费用+芒果树费用”可列出w关于n的函数关系式，然后根据桂花树不少于35棵可求出n的取值范围35≤n≤60，n是正整数，再根据一次函数w=40n+3000中，k=40＞0可知：w随n的增大而增大；即当n=35时，w去最小值，此时芒果棵树为：60-n=25，由此可确定出购买方案及最低费用．
22．（1）
（2）
23．（1）解：连接EF，在正方形ABCD中，，
是AB中点，
，
为线段DE垂直平分线上一点，
，
设，
在Rt中，根据勾股定理得，，
解得：，
即．
（2）解：，证明如下：
垂直平分，
是等边三角形，
，
正方形ABCD中，，
，
在Rt中，．
（3）解：①当点在边AB上时，，
在正方形ABCD中：，
，
②当在AB延长线上时，
，
在Rt中，，
，
综上所述，当时，或．
（1）根据线段中点的性质，可得AE=EB=2；根据线段垂直平分线的性质和勾股定理，即可求出DF的值；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得DG=GE，∠DHG=90°；根据等边三角形的判定和性质，可得∠GDE=60°；根据正方形的性质和含30°角的直角三角形的性质，可得AE=DH；根据全等三角形的判定（HL）和性质，可得AD=HG；根据含30°角的直角三角形的性质，即可求出HG的值；
（3）根据点E所在位置的不同，进行分类讨论；根据比例关系，可用含x的代数式表示AE和BE；根据勾股定理和直角三角形的性质，可得DE和DH的长；根据正弦的定义，列比例式，即可求出DG的长；根据解直角三角形的方法，即可求出CM的长；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得CK的长；根据线段的计算即可直接求出MK的长；根据三角形的面积公式，即可求出y与x的关系式.