河北省2025年中考数学模拟预测卷（含解析）

机密★启用前
2025 年 河 北 中 考 模 拟 卷
数 学
〈全卷满分120 分， 考试时间120 分钟）
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上·
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回·
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中，假命题的是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
5．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（　　）
A． B． C． D．
7． 已知压力 、压强 与受力面积 之间有如下关系式： ． 当 为定值时，表示压强 与受力面积 之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．解方程，较为简便的方法是（　　）．
A．公式法 B．因式分解法
C．配方法 D．直接开平方法
10．如图，在等腰 Rt△ABC 中，BC＝AC，H、M 两点分别在 BC、BA 上，且∠HMB＝22.5°，若 HM＝10， 则△BHM 的面积是（　　）．
A．20 B．25 C．26 D．30
11．一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（　　）
A．4 B． C．5 D．
13．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
15．对于正数x，规定 例如： 则f（2013） 的值为（　　）
A．2012 B．2012.5 C．2013 D．2013.5
16．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（　　）
A． B．且
C． D．且
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．已知一组数据1，3，5，6，x的众数为5，则这组数据的方差A为　 　．
18．若整数满足条件，则的值是 　 　．
19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，在一条不完整的数轴上有三个不同的点M，N，P，且满足，设点M，N，P所对应数的和为a．
（1）若点P为原点，，求点M，N对应的数；
（2）若点N为原点，，求a的值；
（3）若原点O到点P的距离为6，且，求a的值．
21．年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园分别记作、、、、参加公益讲解活动．
（1）若小明在这个景区中随机选择个景区，则选中东关街的概率是　 　；
（2）小明和小亮在、、三个景区中，各自随机选择个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
22．随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求小华的仰角的正切值；
（2）求、两点之间的距离．
23．如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF．
（1）【模型建立】
求证：AF⊥BE；
（2）【模型应用】
若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
（3）【模型迁移】
如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值．
24．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min到达目的地，设第一小时行驶的速度为 x(km/h).
（1）直接用含 x的代数式表示提速后走完剩余路程的时间为　 　h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以m(km/h) 的 速 度 行 驶，另 一 半 路 程以n(km/h)的速度行驶(m≠n)，而朋友提醒他说一半时间以m(km/h)的速度行驶，另一半时间以 n(km/h)的速度行驶更快，你觉得司机的朋友说的对吗 请说明理由.
25．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若 =3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， =y，直接写出y关于x的函数解析式．
26．已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
答案解析部分
1．A
解：最小的数是：，
故答案为：A．
根据“正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小”解题即可．
2．C
3．A
4．D
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
∴且x．
故选D．
本题主要考查二次根式有意义和负整数指数幂有意义的条件，熟知二次根式有意义和负整数指数幂有意义的条件是解题关键．二次根式有意义的条件：被开方数≥0；负整数指数幂有意义的条件：底数≠0；根据二次根式有意义的条件和负整数幂有意义的条件可得：且，化简整理即可得出x的取值范围，即可得出答案.
5．B
解：A、作的是BC边上的高，A错误；
B、作的是AB边上的高，B正确；
C、作高的操作方法不正确，C错误；
D、作的是AC边上的高，D错误；
故答案位：B.
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论.
6．A
解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.
7．D
解：∵ ，
∴.
∵F为定值，故P是S的反比例函数，
故答案为：D.
根据 以及F为定值，可知.据此可知P是受力面积S的反比例函数.
8．B
解：A：，错误；
B：，正确；
C：，错误；
D：，错误.
故答案为：B.
根据合并同类项法则，幂的乘方，完全平方公式和同底数幂相除即可判断出正确答案.
9．B
10．B
解：过点B作交MH的延长线于点E， 过点M作于点N，交BE的延长线于点K，如图，
BN=MN，
∠HMB＝22.5°，
ME=ME，
在△BNK与△MNH中，
BK=HM=10，
BE=5，
故答案为：B.
过点B作交MH的延长线于点E， 过点M作于点N，交BE的延长线于点K，利用等腰直角三角形的性质得到进而得到BN=MN，利用角的和差求得利用ASA证明，再根据全等三角形的性质得到BE、KE、BK、HM的值，利用三角形的面积公式计算即可求解.
11．B
解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
故这个多边形的边数是，
故答案为：C．
本题考查多边形的内角和和外角和问题.先设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和可列出方程，解方程可求出n的值，据此可选出答案.
12．C
13．D
解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
14．C
15．B
解：∵
∴
即
原式
故答案为：B
先根据新定义结合整式的混合运算得到即 再根据有理数的加减运算即可求解。
16．D
解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
17．
18．
19．4
解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
20．（1）解：根据点P为原点，，且，
得，，
M，N都在原点的左边，
故点M表示的数是，N表示的数为．
（2）解：根据题意，，，得，
解得，，
由点N为原点，
故点M表示的数是，N表示的数为0 ，P表示的数为．
故a的值为：．
（3）解：根据题意，，，
得，
故，
当原点O在点P的右边时，，，
故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为．
故a的值为：；
当原点O在点P的左边时，，，
故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为．
故a的值为：；
综上所述，a的值为6或
（1）根据题意得到点P为原点，，且，进而根据线段的运算结合有理数在数轴上的表示即可求解；
（2）根据题意求出MN和NP，进而根据有理数在数轴上的表示即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离结合题意得到MP，进而分类讨论：当原点O在点P的右边时，当原点O在点P的左边时，根据有理数在数轴上的表示即可求解。
（1）解：根据点P为原点，，且，
得，，
M，N都在原点的左边，
故点M表示的数是，N表示的数为．
（2）解：根据题意，，，得，
解得，，
由点N为原点，
故点M表示的数是，N表示的数为0 ，P表示的数为．
故a的值为：．
（3）解：根据题意，，，
得，
故，
当原点O在点P的右边时，，，
故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为．
故a的值为：；
当原点O在点P的左边时，，，
故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为．
故a的值为：；
综上所述，a的值为6或．
21．（1）
（2）列表如下：
小亮 小明
共有种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
小明和小亮选到相同景区的概率：；
答：小明和小亮选到相同景区的概率．
(1)小明在这个景区中随机选择个景区 ，共有5种结果，每种结果出现的可能性相等， 选中东关街的结果只有1种， 则选中东关街的概率是
故答案为.
(1)先求出总结果，再求出选中东关街的结果，再根据等可能事件的概率公式直接列举代入计算即可即
(2)先用树状图或表格列出事件的所有结果，共有9种，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
根据概率公式计算即可.
22．（1）小华的仰角的正切值为；
（2）两点之间的距离．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，
∴＝＝，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴△ABE∽DAG，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF＝BF，
，
∴HD＝AB＝×2m＝m，
∴的值为．
（1）根据矩形的性质得∠BAD=90°，再根据∠ABE＝∠DAF和三角形外角性质求得∠AOE=∠BAD，问题即可即可.
（2）延长AF交CD于点G，证明△GDF∽△ABF，利用相似三角形性质可求得DG的长；证明△ABE∽△DAG，利用相似三角形性质可求得AE的长；利用DE=AD-AE可求DE长.
（3）延长AF交CD于点H，根据正方形的性质得AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB=AD=2m，证明△HDF∽△ABF，可得HD的长，于是可利用勾股定理求AH长，再根据相似三角形性质求得AF长.于是可得的值．
24．（1）
（2）解：由题意得，
解得x=60，
经经验x=60是原方程的根，且符合题意，
∴ 汽车实际走完全程所花的时间为：(h)；
（3）解：司机的朋友说的对，理由如下：
按照司机的方案所需时间为(h)；
按照司机朋友的方案所需时间为(h)；
∵m、n都是正数，且m≠n，
∴(m-n)2＞0，mn(m+n)＞0，
∴，
∴司机朋友的方案更快.
解：（1） 提速后走完剩余路程的时间为(h)；
故答案为：；
（1）根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入()中即可求出结论；
（3）利用时间=路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较(做差)后即可得结论.
25．（1）解：①连接DM、MC，如图1．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠MDO=∠MCO=90°．
∵∠AOB=90°，
∴四边形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，
∴ ， ．
∵点M是AB的中点，即BM=AM，
∴BD=DO，AC=OC．
∵点M的坐标为（3，4），
∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB= =10．
∴BM= AB=5．
∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，
∴△OBM∽△EBD，
∴ = ，
∴ = ，
∴BE= ，
∴ME=BE﹣BM= ﹣5=
（2）解：连接DP、PE，如图2．
∵ =3，
∴OK=3MK，
∴OM=4MK，PM=2MK，
∴PK=MK．
∵OD=BD，OP=MP，
∴DP∥BM，
∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．
在△DPK和△EMK中，
，
∴△DPK≌△EMK，
∴DK=EK．
∵PD=PE，
∴PK⊥DE，
∴cos∠DPK= = ，
∴∠DPK=60°，
∴∠DOM=30°．
∵∠AOB=90°，AM=BM，
∴OM=BM，
∴∠OBA=∠DOM=30°
（3）解：y关于x的函数解析式为y= ．
提示：连接PD、OE，如图3．
设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，
BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，
PK= ﹣t= ．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，
则有 = ，可得ME= t．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠OEM=90°，
∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[ t]2= （y2﹣2y），
即OE= ，
BE=BM+ME=（y+1）t+ t= ，
∴x=tan∠OBA= = ，
∴x2= =1﹣ ，
整理得：y= ．
（1）①连接DM、MC，如图1，易证四边形OCMD是矩形，从而得到MD∥OA，MC∥OB，由点M是AB的中点即可得到BD=DO，AC=OC，然后利用点M的坐标就可解决问题；②根据勾股定理可求出AB的长，从而得到BM的长，要求ME的长，只需求BE的长，只需证△OBM∽△EBD，然后运用相似三角形的性质即可；（2）连接DP、PE，如图2，由 =3可得OK=3MK，进而得到OM=4MK，PM=2MK，PK=MK．易证△DPK≌△EMK，则有DK=EK．由PD=PE可得PK⊥DE，从而可得cos∠DPK= = ，则有∠DPK=60°，根据圆周角定理可得∠DOM=30°．由∠AOB=90°，AM=BM可得OM=BM，即可得到∠OBA=∠DOM=30°；（3）连接PD、OE，如图3，设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，PK= ．由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，则有 = ，由此可得ME= t，从而可求得OE= ，BE= ，则有x=tan∠OBA= = ，即x2= =1﹣ ，整理得y= ．
26．（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。