北京市2025年中考数学模拟预测卷（含解析）

机密★启用前
2 0 2 5年 北 京 市 中 考 模 拟 卷
数 学 试 卷
姓名 ________准考证号________ 考场号 ________ 座位号________
考 生 须 知 考 生 须 知 本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上、选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第 一 部 分 选 择 题
一、单选题(共16分，每题2分)
1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为(　　)
A． B． C． D．
3．如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③
5．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（　　）．
A．8 B．16 C．24 D．32
6．我国第七次全国人口普查时，统计全国总人口约为1440000000人．请用科学记数法表示数据1440000000为（　　）
A． B． C． D．
7．尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O， ．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共16分，每题2分)
9．若，都为整数，则的值是　 　．
10．分解因式： 　 　
11．若已知（其中为常数），则　 　．
12．若点 ， 在同一个反比例函数的图象上，则 的值为　 　.
13． 某校为了解学生对 四类运动的参与情况， 随机调查了本校 80 名学生， 让他们从中选择参与最多的一类， 得到对应的人数分别是 ． 若该校有 800 名学生， 则估计有　 　人参与 类运动．
14．如图，圆O中，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为　 　．
15．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为　 　．
16．如图，一玻璃柜的截面形状是长(AB)为1.5m、宽(BC)为1m的长方形。现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为0.1m，则需要的玻璃总面积为　 　m2。
三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题 5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：．
18．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t．
（1）判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值．
21．小李读一本名著，第一天读了36页，第二天读了剩余部分 ，这两天共读了整本书 则这本名著共有多少页
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标.
23．为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，4月初，西大附中开展了诗词知识答题活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了20份测试成绩（百分制，单位：分）如下：
初一 94 100 89 95 62 75 93 86 86 93
95 95 88 94 95 68 92 80 78 92
初二 100 98 98 97 96 95 92 92 92 92
86 87 88 83 78 78 74 67 66 91
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
初一 87.5 92 m 95.35
初二 87.5 n 92 97.85
某同学将初一学生得分按分数段（，，，），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如下图（均不完整）．
初一学生得分频数分布直方图
初二学生得分扇形统计图
请完成下列问题：
（1）初一学生得分的众数　 　；初二学生得分的中位数　 　；
（2）补全频数分布直方图　 　；扇形统计图中，所对应的圆心角为　 　度；
（3）若初二年级有1200名学生，估计初二年级答题活动中达到优秀（）的有多少名？
（4）根据以上数据，你认为初一、初二年级中哪个年级学生诗词知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
24．如图，四边形内接于，连接、交于点，是的直径，且，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25． 如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
（1）【问题理解】
定值电阻的阻值为　 　Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：▲；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向　 　平移　 　个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
26．已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数的图象上，求点的坐标.
27．在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
（2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：；
28．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称.
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q.
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标.
答案解析部分
1．D
解：由图知A、B都是轴对称图形，但不是中心对称图形，C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形.
故答案为：D.
直接根据图形的特征进行判断即可.
2．D
3．D
4．B
5．C
6．D
7．A
8．C
解：∵将菱形绕原点o，逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4
∴转4次后回到原来的位置
∵2023÷4=505……3
∴第2023次旋转结束时，点c在第三象限
如图：过A点作AE⊥X轴于点E ，延长OB到C 点，使OC =OA， 过点C 作C F⊥X轴于点F.
∴ ∠AEO=∠OFC =90° ∴∠OAE+∠AOE=90°
∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=OC AC⊥BD
∴∠C OF+∠AOE=90° ∴∠AOE=∠C OF
∴ △OAE≌ C OF (AAS) ∴ AE=OF OE=C F
∵ A(-2，2) ∴OE=2 AE=2 ∴ OF=2 C F=2
∴ C (-2，2) 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为（-2，-2）
故答案为：C.
首先根据菱形的性质及旋转的规律，得到第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥X轴于点E，延长OB到C 点，使OC =OA 过C 点作C F⊥X轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，求出C 点的坐标，得到C点的的坐标。
9．或
10．
解：原式=2b（a2-9b2）=2b（a+3b）（a-3b）.
故答案为：2b（a+3b）（a-3b）.
观察此多项式有两项，符号相反，含有公因式2b，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
11．2
12．－6
解：∵点A（-4，3）、B（a，2）在同一个反比例函数的图象上，
∴（-4）×3=2a，
解得a=-6.
故答案为：-6.
根据反比例函数图象上点的坐标乘积都等于比例系数，得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出答案.
13．300
解：参加A类运动的频率为：.
该校有800名学生，估计参加A类运动的人数为：800x0.375=300人.
故答案为：300.
先计算出样本参加A类运动的频率，再用总人数乘以样本中参加A类运动的频率估计出参加A类运动的人数.
14．
15．6
如图，连接，过点作，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴
在与中：
∴（AAS）
∴
又∵是正方形，
∴，，
∴，
∴是平行四边形，
∴
∴、、在一条直线上，
故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）
则：
∵，
∴
∴．
故答案为：6．
连接，过点作，先利用“AAS”证明，可得，再利用割补法和等量代换可得，最后求出阴影部分的面积即可。
16．1.17
解：依题意， 需要的玻璃总面积为 （1.5-0.1×2）×（1-0.1）=1.17（平方米），
故答案为：1.17.
根据长方形的面积减去木框架的面积，列出算式进行计算即可求解．
17．解：原式
．
按照实数的混合运算法则运算， 其中去绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数可以同时运算，然后再进行加减运算.
18．（1）6；（2）
19．解：
，
当时，原式.
先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将代入计算即可.
20．（1）GH∥AE，GH=2；
（2）①5；②t的值为秒或4秒或秒．
21．解：设这本名著共有x页，
根据题意，得 x，
解得x=216.
答：这本名著共有216页.
设这本名著共有x页，用x表示出第二天读的页数，根据第一天读了36页和这两天共读了整本书 ，可列出方程求解.
22．（1）解：，
（2）解：
（3）解：或
解：（1）∵点C在直线y=3x上，点C的横坐标为1
∴当x=1时，y=3
∴点C的坐标为(1，3)
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b中，得
解得：
∴k=－1，b=4
（2）观察图象得，不等式的解集为x<1
（3）设点D的坐标为(0，a)，则OD=|a|
∵S△DOC =S△BOC
∴
∴OD=3OB
∵直线AC的解析式为y= x+4
∴当y=0时，即 x+4=0，解得x=4
∴OB=4
即OD=12
∴|a|=12
∴a=12或a= 12
∴点D的坐标为(0，12)或(0， 12)
（1）先由点C在直线y=3x上，求得点C的坐标，再根据待定系法把点A、C的坐标分别代入y=kx+b中，得二元一次方程组，解方程组即可求得k与b的值；
（2）观察图象，找出一次函数在正比例函数图象上方的部分所对应的x的取值范围，即可得到不等式的解集；
（3）设点D的坐标为(0，a)，则OD=|a|，再由S△DOC =S△BOC，即可求得a的值，从而求得点D的坐标．
23．（1）95；
（2）初一学生得分在范围的人数5人，补全频数分布直方图如下： ；初二学生得分在相应的圆心角为，54
（3）解：∵初二年级样本中有11人，
∴（人）
答：估计优秀的学生有人；
（4）解：初一学生诗词知识掌握较好.
理由：初一学生得分的平均分一样，但众数、中位数都比初二的高，方差比初二的小．
（1）解：初一学生得分出现次数最多的是95分，共出现4次，因此众数是95，即m=95，
初二学生得分从小到大排列后处在中间位置的两个数是92和91，因此中位数n=(92+91)÷2=90.5，
故答案为：95，90.5；
（1）根据中位数、众数的意义，求出初一的众数，初二的中位数即可；
（2）求出初一学生得分在80≤x<90范围的人数，即可补全频数分布直方图，根据初二学生得分在70≤x<80的频数是3，求得占比，再乘以360°即可求解．
（3）根据样本估计总体，即可求解．
（4）从中位数、平均数、众数、方差的角度比较做出判断即可．
24．（1）证明： 是 的直径， ，
，
是 的切线，
，
；
（2）解： ， ，
，
∵AC是圆的直径，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，即 ，
．
（1）由垂径定理证得AC⊥BD，然后由切线的性质得AC⊥CF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行证得CF∥BD；
（2）先利用∠F的余弦函数可得，据此求出CF的长，再由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEB∽△ACF，然后通过相似三角形对应边成比例建立方程可求得BE的长度.
25．（1）6
（2）解：①2.5；
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象；
（3）上；1
（4）解：或或.
解：（1）∵， ，
∴，
∴；
故答案为：6；
（2）①当R=4时，，
故；
故答案为：2.5；
（3）当R=6时，，，
当R=3时，，，
当R=2时，，，
函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到；
故答案为：上；1；
（4）解：由函数与方程的关系可知，当时，的函数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴，
化简得：，
，
∴，
当时，的函数图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴，
化简得：，
，
∴，
当时，的图像恰好有两个交点；
∴或或.
（1）根据题意，即可得出，即可求解；
（2）①根据公式计算即可；②根据描点法画图即可；
（3）先求出对应的函数值，即可得出结论；
（4）根据函数与方程的关系，结合一元二次方程根的判别式分情况求解即可.
26．解：∵二次函数y=2x2 +bx+1的图象过点(2，3)，
∴3=8+2b+1，
∴b=- 3，
∴该二次函数的表达式为y=2x2-3x+ 1．
∵点P(m，m2+1)也在该二次函数的图象上，
∴m2+1=2m2- 3m+1，
解得m1=0，m2=3，
∴点P的坐标为(0，1)或(3，10)．
先根据题意将点(2，3)代入函数解析式即可得到b，进而得函数的表达式，再根据“点也在该二次函数的图象上”代入点P即可求出m，从而即可求解。
27．（1）解：如图1，连接，
由旋转知，，，
∴为等腰直角三角形，
∵点P是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（2）证明：如图2，
过点E作交的延长线于H，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（1）连接CP，先证出为等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再求出，最后求出即可；
（2）过点E作交的延长线于H，先证出，可得，，再证出，可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1）解：如图1，连接，
由旋转知，，，
∴为等腰直角三角形，
∵点P是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，
过点E作交的延长线于H，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（1）解：对于yx+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）.
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝-6，
∴A（-6，0），
∵点C与点A关于y轴对称.
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为yx+3；
（2）解：①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|m+3-（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积PQ BDm2，解得m＝±，
故点Q的坐标为（，3）或（，3）；
②点P的坐标为或.
解：（2）②如图，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°-（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6-x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6-x）2，
解得：x，
∴P（，），
如图，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，）.
（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到点A、B的坐标，根据点C与点A关于y轴对称可得点C的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（2）①设M（m，0），则P（m，m+3），Q（m，m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，表示出PQ、BD，根据三角形的面积公式可得m的值，据此可得点Q的坐标；
②当点M在y轴的左侧时，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠BCA，由已知条件可知∠BMP＝∠BAC，则∠BMP＝∠BCA，∠BMC+∠BCA＝90°，利用内角和定理可得∠MBC＝90°，设M（x，0），则P（x，x+3），表示出BM2，MC2，BC2，然后根据勾股定理求出x的值，据此可得点P的坐标；当点M在y轴的右侧时，同理求解即可.