四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024八年级下学期期中数学试题

四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·武侯期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·武侯期中）若x＜y，则下列式子不成立的是（　　）
A．x﹣1＜y﹣1 B．﹣2x＜﹣2y C．x＋3＜y＋3 D．
3．（2024八下·武侯期中）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·武侯期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向上平移4个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
5．（2024八下·武侯期中）下列四个选项中，说法不正确的是（　　）
A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
6．（2024八下·武侯期中）如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有，两个格点，在网格的格点上任意放置点（点，除外），恰能使为直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·武侯期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·武侯期中）如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·武侯期中）分解因式： 　 　．
10．（2024八下·武侯期中）一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
11．（2024八下·武侯期中）等边三角形两条中线所夹锐角为　 　．
12．（2024八下·武侯期中）若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=　 　.
13．（2024八下·武侯期中）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 　 　．
14．（2024八下·武侯期中）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
15．（2024八下·武侯期中）已知；
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
16．（2024八下·武侯期中）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题：
（1）将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出；
（2）在其他格点位置添加一个点P，使A，B，C，P四个点为顶点的四边形成为一个轴对称图形，且对称轴为x轴，请在图中画出该图形，此时点P的坐标为______；
（3）在x轴下方添加一个点Q，使A，B，C，Q四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点Q的坐标为______（直接写出）．
17．（2024八下·武侯期中）如图，已知垂直平分，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
18．（2024八下·武侯期中）平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
（1）求，的值；
（2）若直线与直线，分别交于，两点，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
（3）在(2)的条件下，的面积为，直线与轴交于点，点为直线上一点，以，，，为顶点的四边形面积为，当时，求点的坐标．
19．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为　 　．
20．（2024八下·武侯期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数a的值为　 　．
21．（2024八下·武侯期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接，过的中点E作，交于点F，交于点G，若，则　 　．
22．（2024八下·武侯期中）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为　 　．
23．（2024八下·武侯期中）如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为　 　，当取得最小值时，的长为　 　．
24．（2024八下·武侯期中）恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍．
（1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？
（2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？
25．（2024八下·武侯期中）在拓展课常上，共学小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为4，宽为2．
【实践探究】
（1）小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上，试探究的形状，并说明理由.
【解决问题】
（2）如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，若时，求的值.
【拓展研究】
（3）从图1开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若直线与线所成夹角为时，请直接写出的面积．
26．（2024八下·武侯期中）在平面直角坐标系中，有如下定义：若图形在一个矩形的内部（包含边界）．当矩形有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形是图形的“精致矩形”，如图1，矩形即是四边形的“精致矩形”．
（1）如图2，已知点，，则的“精致矩形”面积为_____；
（2）在（1）的条件下，直线与轴，轴分别交于，两点，在直线上存在一点，当的“精致矩形”为正方形时，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，，，在旋转过程中、当为直角三角形时，求点的坐标，并直接写出的精致矩形”面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由x＜y，
可得：x﹣1＜y﹣1，﹣2x＞﹣2y，x＋3＜y＋3，，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解题即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵小刚的位置从A点运动到了A'点，
∴，
∴，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得OA=A'O，根据等边对等角得，然后利用三角形内角和即可求解．
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知，，
∵
∴位于第一、二、三象限．
故答案为：A．
【分析】根据k>0和b>0的值判断一次函数的图象经过一、二、三象限即可解题．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
D．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定、三线合一逐项断解题即可．
6．【答案】D
【知识点】概率公式；直角三角形的概念
【解析】【解答】如图，
可以找到6个恰好能使为直角三角形的点，
∴概率为：
故答案为：D．
【分析】找出点能使为直角三角形所在的位置，然后利用概率公式解答即可．
7．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，
依据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵△是等边三角形，
∴，
∴，
∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据等边三角形，折叠的性质及垂直的定义，求出，再根据三角形外角的性质求出，然后利用折叠得出即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：．
【分析】先直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数和的图象的交点为，∴当时，函数的图象在函数的图象的上方，
∴关于的一元一次不等式的解为，
故答案为：.
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵在等边三角形中，、分别是中线，
∴、分别是角平分线，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据等边三角形的性质，得出、分别是角平分线，再利用角平分线的意义求出∠1与∠2，然后根据三角形外角的性质求出∠3．
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）， 外角和=360
所以，由题意可得180(n-2)=2×360
解得：n=6
【分析】多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和公式列出式子即可得到n的值。
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图知，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，先由作图步骤判断出AP、DP是角平分线，再由平行四边形的性质得出，根据勾股定理即可解答.
14．【答案】（1）解：
解①得
解②得
∴

（2）解：两边都乘以，得
整理得
∴
检验：当时，
∴是原分式方程的解
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可；
（2）在分式方程的两边都乘以化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解题即可．
（1）解①得
解②得
∴
（2）两边都乘以，得
整理得
∴
检验：当时，
∴是原分式方程的解
15．【答案】（1）解：
；

（2）解：∵a，2，3恰好是的三边长，∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先把括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简；
（2）先根据三角形三边关系确定a的取值范围，然后选取一个使原分式有意义的值代入解题即可．
（1）解：
；
（2）∵a，2，3恰好是的三边长，
∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
16．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，点P即为所求，，
故答案为：；
（3）解：如图，点Q即为所求，
故答案为：．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移得到点A、B、C的对应点的位置，然后依次连接即可；
（2）根据轴对称图形的性质作点A、B、C的对应点，然后依次连接即可；
（3）根据中心对称图形的性质作点A、B、C的对应点，然后依次连接即可．
（1）如图，即为所求，
（2）如图，点P即为所求，，
故答案为：；
（3）如图，点Q即为所求，
故答案为：．
17．【答案】（1）证明：，，
，
垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：设
∵四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
，
∴
∴
解得：，
∴，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，证得DF//AC，再利用SSS证明，根据全等三角形的判定和性质得出，接着根据“内错角相等，两直线平行”得出，从而可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证；
（2）设先证明四边形是菱形，根据菱形的性质分析，可用x表示出，再根据勾股定理，得到关于x的方程求解，求得x，就求得，再利用勾股定理求得DE，就可根据BD=2DE求得BD．
18．【答案】（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
（2）解：由（1）知直线，
令得，
，
在中，令得，
，
，
，
解得舍去或，
，；
设，
又，
由平行四边形对角线中点重合可得：
或或
解得：或或
的坐标为或或
（3）解：如图：
由（1），（2）知，，，
在中，令得，
，，
，
，
，
，
解得，
或；
的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出点B和C的坐标，即可得到，求出的值，然后设，根据平行四边形对角线互相平分即可得到的坐标；
（3）根据点A，B，C的坐标得到，即可得到，根据三角形的面积求出，解题即可．
（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
（2）由（1）知直线，
令得，
，
在中，令得，
，
，
，
解得舍去或，
，；
设，
又，
由平行四边形对角线中点重合可得：
或或
解得：或或
的坐标为或或
（3）如图：
由（1），（2）知，，，
在中，令得，
，，
，
，
，
，
解得，
或；
的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
20．【答案】1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴或3或9，
解得：或1或7，
∵，即，
∴，
解得：，
∴符合条件的整数a的值为：1，
故答案为：1．
【分析】先解含有字母参数的不等式组，得到关于a的不等式，求出a的取值范围，然后解分式方程，求出y，得到非负整数解的a的值，即可解题．
21．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点D是的中点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据同角的余角相等可得，即可得到，同理可得，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出的长即可．
22．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，
直线是两坐标轴夹角的角平分线，
点与点关于直线成轴对称，
，
，
将点代入，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，
则，，
四边形是平行四边形，
，
轴，，
在中，，即：，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
【分析】先求出∠AOC=45°，再在轴正半轴上作，连接交直线于点，延长交轴于点，即点与点关于直线成轴对称，得到的值最小为，然后求得点的坐标，设点的坐标为，表示点C，D，C'的坐标，最后在中，利用勾股定理求出m值即可．
23．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，D为边上中点，
∴．
∵线段绕点D逆时针旋转30°至，
∴．
将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，点F在射线上运动，
作于点，则此时的值最小．
作于点H，作于点K，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，即的最小值是．
作于N，
∴，
∴
∴，
∴，即此时的长为为．
【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，即可得到，进而得到，即可得到点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，即可得到是矩形，在和中求出，的值，即可得到的最小值；作于N，先求出，进而可求出E'F'的长解题即可．
24．【答案】（1）解：设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）解：该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，根据题意列关于x的分式方程解答即可；
（2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，根据总利润不低于6400元，列关于y的一元一次不等式求最小整数解即可．
（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），
该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
25．【答案】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下，
在中，
∴
∴，
又∵
∴是等腰直角三角形；
（2）∵
∴
又
∴
∴
取的中点，连接如图所示，
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∴
∴；
（3）如图所示，设交于点，过点作于点，
∵
又
∴
∴在上，
∴
同（2）可得
∴
∴平分
∴，
又∵
∴
∴四边形是平行四边形
∴是的中点，
在中，，
，
，
，
，
，
如图所示：当旋转角大于时，
过作于，
中，，
，
，
，
综上所述，为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明即可得到，，然后得到，即可得到结论；
（2）取的中点，得到是等边三角形，再利用等边对等和三角形内角和定理解题即可；
（3）设交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，求出AH长，再分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，计算△BFQ的面积．
26．【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴M、N在直线AB上，
∵，，
∴，
解得：.
∴.
当时，，当时，.
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵的“精致矩形”为正方形，
∴点P的纵坐标为4，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为.
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴△是等边三角形，
∴
∴
当时，如图，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在轴上，
∴，
∴，
过点作轴于点，连接，如图，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴的精致矩形”面积为；
当时，如图，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点，如图，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的“精致矩形”面积为，
综上所述，，的“精致矩形”面积为或，的“精致矩形”面积为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图所示，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形”
∵，，
∴，
∴
∴的“精致矩形”面积为，
故答案为：．
【分析】（1）先根据M、N两点的坐标，求得D点的坐标，再求得OC与OE，再求出的“精致矩形”面积；
（2）设直线的解析式为，将M、N两点坐标代入，得到关于k，b的方程组求解，求得直线的解析式，根据“精致矩形”的定义，得到关于x的方程求解，从而求得点的坐标；
（3）先得出，根据旋转的性质分，两种情况讨论，即可求解．
（1）解：如图所示，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形”
∵，，
∴
∴
∴的“精致矩形”面积为，
故答案为：．
（2）解：设直线的解析式为，将，，代入得，
解得：
∴
∵
当时，，当时，
∴，，
∵的“精致矩形”为正方形，
∴
∴
解得：
∴
（3）∵
当时，，当时，
∴，，
∴
如图所示，取的中点，连接
∴
∴
∴三角形是等边三角形，
∴
如图所示，当时，则共线，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴点在轴上，
∴
∴，
过点作轴于点，连接
∴
∴
∴，
∴
∴的精致矩形”面积为；
如图所示，当时，过点作轴于点，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的精致矩形”面积为，
综上所述，，的精致矩形”面积为或，的精致矩形”面积为．
四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·武侯期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．（2024八下·武侯期中）若x＜y，则下列式子不成立的是（　　）
A．x﹣1＜y﹣1 B．﹣2x＜﹣2y C．x＋3＜y＋3 D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由x＜y，
可得：x﹣1＜y﹣1，﹣2x＞﹣2y，x＋3＜y＋3，，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解题即可．
3．（2024八下·武侯期中）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵小刚的位置从A点运动到了A'点，
∴，
∴，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得OA=A'O，根据等边对等角得，然后利用三角形内角和即可求解．
4．（2024八下·武侯期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向上平移4个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知，，
∵
∴位于第一、二、三象限．
故答案为：A．
【分析】根据k>0和b>0的值判断一次函数的图象经过一、二、三象限即可解题．
5．（2024八下·武侯期中）下列四个选项中，说法不正确的是（　　）
A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
D．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定、三线合一逐项断解题即可．
6．（2024八下·武侯期中）如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有，两个格点，在网格的格点上任意放置点（点，除外），恰能使为直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；直角三角形的概念
【解析】【解答】如图，
可以找到6个恰好能使为直角三角形的点，
∴概率为：
故答案为：D．
【分析】找出点能使为直角三角形所在的位置，然后利用概率公式解答即可．
7．（2024八下·武侯期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，
依据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程.
8．（2024八下·武侯期中）如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵△是等边三角形，
∴，
∴，
∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据等边三角形，折叠的性质及垂直的定义，求出，再根据三角形外角的性质求出，然后利用折叠得出即可．
9．（2024八下·武侯期中）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：．
【分析】先直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
10．（2024八下·武侯期中）一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数和的图象的交点为，∴当时，函数的图象在函数的图象的上方，
∴关于的一元一次不等式的解为，
故答案为：.
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可.
11．（2024八下·武侯期中）等边三角形两条中线所夹锐角为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵在等边三角形中，、分别是中线，
∴、分别是角平分线，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据等边三角形的性质，得出、分别是角平分线，再利用角平分线的意义求出∠1与∠2，然后根据三角形外角的性质求出∠3．
12．（2024八下·武侯期中）若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=　 　.
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）， 外角和=360
所以，由题意可得180(n-2)=2×360
解得：n=6
【分析】多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和公式列出式子即可得到n的值。
13．（2024八下·武侯期中）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图知，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，先由作图步骤判断出AP、DP是角平分线，再由平行四边形的性质得出，根据勾股定理即可解答.
14．（2024八下·武侯期中）计算：
（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
解①得
解②得
∴

（2）解：两边都乘以，得
整理得
∴
检验：当时，
∴是原分式方程的解
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可；
（2）在分式方程的两边都乘以化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解题即可．
（1）解①得
解②得
∴
（2）两边都乘以，得
整理得
∴
检验：当时，
∴是原分式方程的解
15．（2024八下·武侯期中）已知；
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【答案】（1）解：
；

（2）解：∵a，2，3恰好是的三边长，∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先把括号里的分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简；
（2）先根据三角形三边关系确定a的取值范围，然后选取一个使原分式有意义的值代入解题即可．
（1）解：
；
（2）∵a，2，3恰好是的三边长，
∴，
∵，
∴，
当时，
原式．
16．（2024八下·武侯期中）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题：
（1）将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出；
（2）在其他格点位置添加一个点P，使A，B，C，P四个点为顶点的四边形成为一个轴对称图形，且对称轴为x轴，请在图中画出该图形，此时点P的坐标为______；
（3）在x轴下方添加一个点Q，使A，B，C，Q四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点Q的坐标为______（直接写出）．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，点P即为所求，，
故答案为：；
（3）解：如图，点Q即为所求，
故答案为：．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移得到点A、B、C的对应点的位置，然后依次连接即可；
（2）根据轴对称图形的性质作点A、B、C的对应点，然后依次连接即可；
（3）根据中心对称图形的性质作点A、B、C的对应点，然后依次连接即可．
（1）如图，即为所求，
（2）如图，点P即为所求，，
故答案为：；
（3）如图，点Q即为所求，
故答案为：．
17．（2024八下·武侯期中）如图，已知垂直平分，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：设
∵四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
，
∴
∴
解得：，
∴，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，证得DF//AC，再利用SSS证明，根据全等三角形的判定和性质得出，接着根据“内错角相等，两直线平行”得出，从而可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证；
（2）设先证明四边形是菱形，根据菱形的性质分析，可用x表示出，再根据勾股定理，得到关于x的方程求解，求得x，就求得，再利用勾股定理求得DE，就可根据BD=2DE求得BD．
18．（2024八下·武侯期中）平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
（1）求，的值；
（2）若直线与直线，分别交于，两点，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
（3）在(2)的条件下，的面积为，直线与轴交于点，点为直线上一点，以，，，为顶点的四边形面积为，当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
（2）解：由（1）知直线，
令得，
，
在中，令得，
，
，
，
解得舍去或，
，；
设，
又，
由平行四边形对角线中点重合可得：
或或
解得：或或
的坐标为或或
（3）解：如图：
由（1），（2）知，，，
在中，令得，
，，
，
，
，
，
解得，
或；
的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出点B和C的坐标，即可得到，求出的值，然后设，根据平行四边形对角线互相平分即可得到的坐标；
（3）根据点A，B，C的坐标得到，即可得到，根据三角形的面积求出，解题即可．
（1）解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
（2）由（1）知直线，
令得，
，
在中，令得，
，
，
，
解得舍去或，
，；
设，
又，
由平行四边形对角线中点重合可得：
或或
解得：或或
的坐标为或或
（3）如图：
由（1），（2）知，，，
在中，令得，
，，
，
，
，
，
解得，
或；
的坐标为或．
19．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
20．（2024八下·武侯期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数a的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴或3或9，
解得：或1或7，
∵，即，
∴，
解得：，
∴符合条件的整数a的值为：1，
故答案为：1．
【分析】先解含有字母参数的不等式组，得到关于a的不等式，求出a的取值范围，然后解分式方程，求出y，得到非负整数解的a的值，即可解题．
21．（2024八下·武侯期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接，过的中点E作，交于点F，交于点G，若，则　 　．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点D是的中点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据同角的余角相等可得，即可得到，同理可得，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出的长即可．
22．（2024八下·武侯期中）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，
直线是两坐标轴夹角的角平分线，
点与点关于直线成轴对称，
，
，
将点代入，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，
则，，
四边形是平行四边形，
，
轴，，
在中，，即：，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
【分析】先求出∠AOC=45°，再在轴正半轴上作，连接交直线于点，延长交轴于点，即点与点关于直线成轴对称，得到的值最小为，然后求得点的坐标，设点的坐标为，表示点C，D，C'的坐标，最后在中，利用勾股定理求出m值即可．
23．（2024八下·武侯期中）如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为　 　，当取得最小值时，的长为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，D为边上中点，
∴．
∵线段绕点D逆时针旋转30°至，
∴．
将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，点F在射线上运动，
作于点，则此时的值最小．
作于点H，作于点K，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，即的最小值是．
作于N，
∴，
∴
∴，
∴，即此时的长为为．
【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，即可得到，进而得到，即可得到点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，即可得到是矩形，在和中求出，的值，即可得到的最小值；作于N，先求出，进而可求出E'F'的长解题即可．
24．（2024八下·武侯期中）恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍．
（1）该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？
（2）该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？
【答案】（1）解：设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）解：该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，根据题意列关于x的分式方程解答即可；
（2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，根据总利润不低于6400元，列关于y的一元一次不等式求最小整数解即可．
（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元；
（2）该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件），
该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）．
设每件“龙年装饰画”的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为60．
答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元．
25．（2024八下·武侯期中）在拓展课常上，共学小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为4，宽为2．
【实践探究】
（1）小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图的形状，点与点重合，边与边重合，边，在同一直线上，试探究的形状，并说明理由.
【解决问题】
（2）如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，若时，求的值.
【拓展研究】
（3）从图1开始，小亮将长方形绕点顺时针转动一周，若直线与线所成夹角为时，请直接写出的面积．
【答案】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下，
在中，
∴
∴，
又∵
∴是等腰直角三角形；
（2）∵
∴
又
∴
∴
取的中点，连接如图所示，
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∴
∴；
（3）如图所示，设交于点，过点作于点，
∵
又
∴
∴在上，
∴
同（2）可得
∴
∴平分
∴，
又∵
∴
∴四边形是平行四边形
∴是的中点，
在中，，
，
，
，
，
，
如图所示：当旋转角大于时，
过作于，
中，，
，
，
，
综上所述，为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明即可得到，，然后得到，即可得到结论；
（2）取的中点，得到是等边三角形，再利用等边对等和三角形内角和定理解题即可；
（3）设交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，求出AH长，再分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，计算△BFQ的面积．
26．（2024八下·武侯期中）在平面直角坐标系中，有如下定义：若图形在一个矩形的内部（包含边界）．当矩形有一条边平行于坐标轴且面积最小时，则称矩形是图形的“精致矩形”，如图1，矩形即是四边形的“精致矩形”．
（1）如图2，已知点，，则的“精致矩形”面积为_____；
（2）在（1）的条件下，直线与轴，轴分别交于，两点，在直线上存在一点，当的“精致矩形”为正方形时，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，，，在旋转过程中、当为直角三角形时，求点的坐标，并直接写出的精致矩形”面积．
【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴M、N在直线AB上，
∵，，
∴，
解得：.
∴.
当时，，当时，.
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵的“精致矩形”为正方形，
∴点P的纵坐标为4，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为.
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴△是等边三角形，
∴
∴
当时，如图，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在轴上，
∴，
∴，
过点作轴于点，连接，如图，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴的精致矩形”面积为；
当时，如图，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点，如图，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的“精致矩形”面积为，
综上所述，，的“精致矩形”面积为或，的“精致矩形”面积为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图所示，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形”
∵，，
∴，
∴
∴的“精致矩形”面积为，
故答案为：．
【分析】（1）先根据M、N两点的坐标，求得D点的坐标，再求得OC与OE，再求出的“精致矩形”面积；
（2）设直线的解析式为，将M、N两点坐标代入，得到关于k，b的方程组求解，求得直线的解析式，根据“精致矩形”的定义，得到关于x的方程求解，从而求得点的坐标；
（3）先得出，根据旋转的性质分，两种情况讨论，即可求解．
（1）解：如图所示，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，交于点，则四边形是的“精致矩形”
∵，，
∴
∴
∴的“精致矩形”面积为，
故答案为：．
（2）解：设直线的解析式为，将，，代入得，
解得：
∴
∵
当时，，当时，
∴，，
∵的“精致矩形”为正方形，
∴
∴
解得：
∴
（3）∵
当时，，当时，
∴，，
∴
如图所示，取的中点，连接
∴
∴
∴三角形是等边三角形，
∴
如图所示，当时，则共线，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴点在轴上，
∴
∴，
过点作轴于点，连接
∴
∴
∴，
∴
∴的精致矩形”面积为；
如图所示，当时，过点作轴于点，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的精致矩形”面积为，
综上所述，，的精致矩形”面积为或，的精致矩形”面积为．