北师大七下期中专题08 解答压轴训练（含解析）

专题08 解答压轴训练
1．多项式乘法的学习中，等式可以用平面图形（图）的面积来说明．
【初步探究】
（）请使用（图）的种规格的正方形，设计一个平面图形方案说明等式是正确的；
【知识拓展】
（）为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系，在某次数学活动中，准备（图）所示的三种规格的正方形、长方形卡片若干张．小明从中选取张，拼成一个边长为的正方形，请你写出与其面积相应的等式；
【延伸应用】
（）请利用（）中得到的等式解答以下问题：若实数，满足，， 求的值．
2．阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，∴ ，．
∵ ．
∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知，求的度数．
深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示）
3．【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图1中，有．
【初步探究】（1）如图2，设镜子与的夹角．当______时，小圳发现入射光线与反射光线恰好平行，
【深入探究】（2）如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得是一个锐角，从F点发出一条光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为，用含的式子表示．
【拓展应用】（3）如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得，若也是一个钝角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线平行时，求出的度数．
4．如图，已知中，，，分别过点、向过点的直线作垂线，垂足分别为、，
(1)如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系
(2)如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；
(3)在（2）的条件下，如图，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，四边形的面积是，求的面积．
5．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式：
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
6．“千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足．
(1)填空：　　　，　　　．
(2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数．
7．【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：．
【应用拓展】
（2）当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F．
①如图2，求证：；
②当时，请直接写出的值．
8．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线∥直线，直线分别交直线、直线于点H、G，
求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“如图2，点N在射线上，点M在射线上，点Q在射线上，点P在射线上，连结，且，探究直线与直线之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接，使平分，，若给出与一定的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，若，求∠PMH的度数并说明理由．”
9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
(2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
10．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)______；
(2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______．
(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由．
11．【基础探究】
（1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数；
（2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ；
（3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ；
【问题迁移】
（4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ；
【拓展深化】
如图，在中，D、E是、上的点，设，．
（5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ；
12．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
（1）如图①，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是___________；与、之间的数量关系是___________．
【知识运用】利用上面的结论解决下列问题：
（2）如图②，，点是和的平分线的交点，，则的度数是___________；
（3）如图③，，平分，平分，，若比大，求的度数___________．

13．两个三角形中，存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型对于寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，是的高，与相交于点F，
(1)根据模型可以得到第三组角____________；
(2)如图1所示，若的面积是12，．则______，______；的面积是______．
(3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积．
14．如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
(1)直线与直线是否平行，说明你的理由；
(2)如图，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
15．【问题初探】
如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积．
参考答案
1．（）图形见解析
（）
（）
【分析】（）依题意画出图形即可；
（）根据正方形与长方形的面积公式即可得出结论；
（）由可得，然后利用()的公式求解即可；
本题考查了完全平方式的几何意义及应用，运用数形结合思想是解题的关键.
【详解】解：（）如图所示，即为设计的平面图形方案；
（）由图形可得，；
（）∵，
∴，
由（）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（1）；；（2）；（3）或
【分析】（1）根据平行线的性质，得到．结合平角的定义，得到．等量代换解答即可．
（2）延长，交的延长线于点G，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可．
（3）分点B在点A的左侧和右侧，两种情况，利用平行线的性质，三角形外角性质，平角定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，分类思想，角的平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：过点A作，
∴，．
∵．
∴．
故答案为：；．
（2）如图，延长，交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴
．
（3）如图，当点B在点A的左边时，
延长，交的延长线于点M，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．
如图，当点B在点A的右边时，
延长，交于点N，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．
综上所述，的度数为或．
3．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）根据，得出，再根据，得出，列方程即可解答；
（2）根据，得出，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）过点作，得出，根据三角形内角和以及平行线的性质得出，即可解答；
【详解】（1）由题意得，，
，
，
当时，，
∴，
∴；
（2）由题意得，，
，
，
．
（3）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
4．(1)
(2)，理由见解析
(3)的面积为
【分析】（1）求出，推出，，即可得出答案；
（2）求出，推出，，即可得出答案；
（3）由（2）知≌，可得，，根据，可得，由即可得出答案，
本题考查了，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是：正确寻找全等三角形全等的条件．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）解：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：，
（3）解：由知，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：的面积为．
5．知识生成：；知识迁移：；（1）；（2）
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
知识生成：由题意利用面积相等推导公式：；
知识迁移：由题意利用体积相等推导；
（1）根据题意应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）由题意先根据非负数的性质得：，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】知识生成：；
故答案为：；
知识迁移：
方法一：正方体棱长为，
∴体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；
故答案为：；
（1）由，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵；
∴．
6．(1)，
(2)秒，秒
(3)，
【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可；
（3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得 ；
当时，如图，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：．
理由：设灯B射线转动时间为秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，
此时，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
7．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形性质，正确作出辅助线直角三角形是解答本题的关键
（1）根据垂线性质得到，进而得到，利用证明，即可得出结论；
（2）①过点E作交的延长线于点N，利用证明得到，进一步证明即可得出结论；②分两种情况利用，以及即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，
于点D，于点E，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）①如图，过点E作交的延长线于点N，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
②如图2所示，，
由①可知，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
；
如下图，作与点N，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
综上所述：．
8．（1）见解析
（2）见解析
（3），理由见解析
【分析】（1）根据等角代换即可证明；
（2）延长，交于点K，由题意得，又，可得，又，结合三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）分别作，，再由平行公理的推论得，又由结合平分求得，再由已知，借助方程的思想，再通过角之间的转换，由即可求解．
【详解】解：（1）如图1，

∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）如图2，

延长，交于点K，
∵，
∴．
又，
∴．
又∵，
，
又，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如图3，

过M作，过K作，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴可设．
又，
∴．
∴平分．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．
9．(1)，；
(2)①证明见解析；②4
【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解；
（2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出；
②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键．
10．(1)
(2)或
(3)不会发生改变，
【分析】本题考查平行线的判定和性质，作辅助线构造平行是解题的关键．
（1）运用平行线的性质直接解题即可；
（2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可；
（3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为135；
（2）解：设射线与射线所在直线的交点为点，
旋转时间为秒时，，，
即，
①如图，当时，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，

②如上图，当时，则，
由①可知，即，
解得，
综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为，
（3）的值不变，理由为：
解：如图，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
11．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行求解即可；
（2）设，由（1）可知：，再根据，即可得出答案；
（3）设，由（1）可知：，，根据角平分线的定义，进行求解即可；
（4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可；
（5）延长与的延长线交于点，求出，由（4）可知：，然后求出结果即可．
【详解】解：（1）过点作，如图1所示：
，
，
，
，
即，
，
；
故答案为：．
（2）设，如图2所示：
的平分线与的平分线交于点，
，
，由（1）可知：，
，
，
，
由三角形的内角和定理得：，
，
，
；
故答案为：．
（3）设，如图3所示：
、分别平分、，
，，，，
，由（1）可知：，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
（4），，
，
、分别平分、，
，
，
，
；
（5）延长与的延长线交于点，如图5所示：
，
，
，
，
、分别平分、，
由（4）可知：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行公理的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12．（1），；（2）；（3）
【分析】对于（1），根据平行线的性质判断即可；
对于（2），根据（1）的结论解答即可；
对于（3），先设，可知，根据，可表示
进而得出，再根据角平分线的定义表示，即可根据表示出，最后根据比大15°列出方程求出答案即可．
【详解】（1）根据题意可知，
∴，，
∴.
根据题意可知，
∴，，
∴.
故答案为：，；
（2）因为，且，
所以，
所以.
因为点M是和的平分线的交点，
所以，
所以.
故答案为：115°；
（3）设．
∵平分，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵比大15°，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线性质的应用，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
13．(1)
(2)4；2；6
(3)64
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等．
（1）根据等角的余角相等即可得出结果；
（2）根据三角形面积公式即可求出，再证明，推出，求出，由即可解答；
（3）在上截取，连接，先证明，证明，推出，根据已知求出，求出，即可解答．
【详解】（1）解：根据模型可以得到第三组角，理由如下：
，是的高，
，
，，
，
；
故答案为：；
（2）解：是的高，
，
又的面积是12，，
，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：4，2，6；
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
，是高，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
，
，
．
14．(1)，理由见解析；
(2)①②或，，证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出；
（2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数；
②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系．
【详解】（1）解：，理由如下：
平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
②猜想：或，理由如下：
当点在点的右侧时，如下图：
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
当点在点的左侧时，如下图：
，
，平分，平分，
，，
，
，
，
，
综上可知，或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键．
15．（1），；（2），理由见解析；（3）
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出，，然后推导出，进而得出，即可得解；
（2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到；
（3）过作交延长线于，可证得，可得，，进而得到，再由求出和的长即可．
【详解】解：（1）；，证明如下，
延长交于点，如图1所示，
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，
，，，
，
，，
，
．
．
，
，
（2），，理由如下：
，
，
，，
，
，，
延长与交于点，如图2，
，
，
，
，
，
；
（3）过作交延长线于，过作交于，如图3，
，
，
，
，，，
，
，，
，
到直线的距离为7，
，
，
，
，
，即，
解得，，
．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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