北师大八下期中专题01 三角形（含解析）

专题01 三角形
一、三角形
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15
2．如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中，若剪刀张开的角为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（ ）

A．线段、的交点 B．、角平分线的交点
C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点
4．如图，在中，，，小田同学利用尺规按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线，交边于点D．则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，，若，则的度数为 °．
6．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，F为的中点，求和的长．
7．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
10．如图，于于F，若，

(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
11．如图，在中，，，是高，，则的长度为 ．

12．如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，．
(1)用尺规作图法作边上的高，垂足为D；
(2)若平分，，求的长．
14．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有 ．
15．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别相交于两侧的M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．如图，与相交于点，，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
17．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E,若DE=3cm,则AC= ( )
A．9cm B．6cm C．12cm D．3cm
18．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=15，AC=9，求BE的长．
19．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
20．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
21．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
22．如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ．

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
24．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处
C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
26．如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ）
A． B． C． D．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 ．
28．如图，在已知的中，按以下步骤尺规作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N；② 作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
29．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　）
A．10 B．16 C．8 D．5
30．如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）

A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
二、命题与证明
31．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ）
（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）对顶角相等；
（3）在三角形中，相等的角所对的边也相等；
（4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
32．命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B． C． D．且
三、作图
33．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
34．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）

A． B．
C． D．
参考答案
题号 1 2 3 4 7 8 9 12 15 17
答案 B D B A C B A D B A
题号 20 21 24 25 26 28 29 30 31 32
答案 C D C A C B D A C C
题号 33 34
答案 B D
1．B
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．D
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求解．本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D．
【详解】解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等；
故选：B
【点睛】本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解尺规作图作垂直平分线的步骤成为解题的关键．
由作图可得垂直平分，即；然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接
由作法得垂直平分，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．20
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是根据等边对等角得到，，利用外角的性质推出，再次利用外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
6．(1)见解析
(2)12，24
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键．
（1）根据，得，再利用进行角之间的转换，得出即可得出结论；
（2）先证，然后根据勾股定理计算的长；作于点H，证明，得到，由三线合一定理即可得到．
【详解】（1）证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
（2）解：F为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
如图所示，作于点H，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
7．C
【分析】由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
【详解】解：平分，，
∴
∵
∴
，，
，
，
，
，
故选：C．
8．B
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，
根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解．
【详解】解：∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．(1)见详解
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．
【分析】本题考查含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质推出，，得到，进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．D
【分析】本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，是的垂直平分线，
，故选项A正确，不符合题意；
B、由作图可知，是的垂直平分线，
，
，，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C、由作图可知，平分，
，
故选项C正确，不符合题意；
D、，，
；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
13．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查作图 基本作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
（1）根据三角形的高的定义作出图形；
（2）过点C作于点H．证明，根据勾股定理列式计算，可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
；
（2）解：过点C作于点H，
∵平分
∴，
∵，
∴．
14．②④⑤
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解： 不能确定为直角三角形，故不符合题意；
，，
，
为直角三角形，故符合题意；
，
设，
，
，
解得：，
，
不是直角三角形，故不符合题意；
，
设，则，，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故符合题意；
，
设，则，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故符合题意；
说法正确，
故答案为：．
15．B
【分析】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据，，可得，根据作图过程可得，是的垂直平分线得，进而可求的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
据作图过程可知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
16．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
17．A
【分析】根据∠A=30°,可推出∠DBE=∠CBD=30°,利用全等求出CD=3cm,再根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边一半的性质求出AD=6cm,最后算出AC.
【详解】∵∠A=30°,∠C=90°,BD平分∠ABC,
∴∠DBE=∠CBD=30°,
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠C=90°
∵DB=DB
∴Rt△CBD≌Rt△EBD(AAS),
∴CD=DE=3cm,
在Rt△AED中,∠A=30°,DE=3cm,
AD=2DE=6cm.
∴AC=AD+DC=3cm+6cm=9cm.
故选A.
【点睛】本题考查直角三角形中线段的计算,关键在于根据利用直角三角形的特殊性质求出边长.
18．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接CD，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到BD=CD、DE=DF，证明，从而证得；
（2）证明，得到，从而可以得到，求出BE的长．
【详解】解：（1）连接CD，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，解得．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
19．或
【分析】分这个内角是顶角和底角两种情况，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是，
当这个内角是底角时，则顶角的度数是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．
20．C
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE=PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【点睛】此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．
21．D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解： ，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
22．4
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．
【详解】解：连接，作于点，
，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
23．（1）60°；（2）4
【分析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
24．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处，
故选：．
25．A
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解.
【详解】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
26．C
【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，DE⊥AB，
∴DE=DC=6cm．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等．
27．．
【分析】设CE＝x，由题意可得BE＝AE＝AC+CE＝3+x，然后再在Rt△ACE中运用勾股定理求得x，进而求得BE．
【详解】解：设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△ACE中，
∵BE ＝BC +CE ，
∴（3+x） ＝4 +x ，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
故填．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理解直角三角形等知识点，掌握垂直平分线的性质并掌握运用勾股定理列方程的方法成为解答本题的关键．
28．B
【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据作图可知垂直平分线段，则，然后利用等边对等角和三角形外角的性质求出即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
29．D
【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由题意知，，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
30．A
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：

则，
由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：

则，
，
由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．
故选：A．
31．C
【分析】先写出逆命题，再判断真假，熟练掌握逆命题的写法，正确判断是解题的关键．
【详解】（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是：到到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确；
（2）对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对等角，错误；
（3）在三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是：在三角形中相等的边所对的角相等，正确；
（4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是：角平分线上的点到角的两边距离相等，正确．
故选：C．
32．C
【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．
【详解】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故选C．
【点睛】此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决此题的关键．
33．B
【分析】由作图痕迹可知AD⊥BC，根据勾股定理即可求出AD的值，利用∠B＝45°确定△ABD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB长即可．
【详解】解：由作法得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和，等腰直角三角形，发现AD⊥BC是解题的关键．
34．D
【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，
∴，，
故选项A、C正确，
∴，
∵，，
∴，
故选项B正确，
由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确．
故选：D．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()