一元二次方程专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

一元二次方程专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（ ）
A．9或12 B．9 C．10或12 D．12
2．一元二次方程配方后化为（ ）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
6．深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于实数a，b，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（ ）
①方程的解为或；
②关于x的方程有三个解，则；
③当时，y随x增大而增大；
④当时，函数有最大值0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
二、填空题
9．已知是一元二次方程的两根，则的值是 ．
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
12．某赛季篮球职业联赛，采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为21场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
13．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为 ．
14．如图是一张长的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为，则根据题意，可列方程为 ．
三、解答题
15．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围．
17．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用．
例如：求多项式的最大值．
解：．
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为4．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求多项式的最大值．
(2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由．
(3)求多项式的最小值．
18．已知抛物线（为常数，且）与直线相交于两点，且点在轴上．
(1)若两点的坐标分别为，．
①求直线的函数表达式；
②设，求的最大值．
(2)若直线与轴，轴所围成的三角形面积为，抛物线的顶点在直线上，且，求的值．
19．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
20．如图，中，，，，，，是关于的一元二次方程的两个根，且．
(1)请直接利用根与系数的关系写出：_____，_____；（分别用含的式子表示）
(2)求a，b的值；
(3)、两点分别从、出发，点以每秒2个单位的速度沿着向终点运动，点以每秒1个单位的速度沿着向终点运动，（有一个点到达终点时两点同时停止运动），求经过多长时间后？
《一元二次方程专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A A C B C
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系；先解一元二次方程，求得两边分别为2与5，分腰为2与腰为5两种情况考虑，结合三角形三边关系即可求解．
【详解】解：解得：；
由题意，当腰为2时，则底边为5，但，不符合三角形三边关系，不符合题意；
当腰为5时，则底边为2，，符合三角形三边关系，
所以周长为；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选B．
3．B
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
求出各选项中的判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：A、，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，则方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、，则方程没有实数根，不符合题意；
D、，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解．
【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，
根据题意，可列方程为：；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025，
∴关于的一元二次方程有一个根为2025，
即，
解得：，
∴方程必有一个根为2024．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．
根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，用复利增长公式列方程即可．
【详解】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了新定义运算、二次函数的图象与性质，解本题的关键在理解新定义运算法则，并熟练掌握二次函数的图象与性质．根据新定义运算法则，列出一元二次方程，解出即可得出符合题意的解，即可判断结论①；根据新定义运算法则，得出二次函数，然后根据函数解析式得出二次函数图象，即可判断结论②；根据新定义运算法则，结合二次函数的性质，即可判断结论③④，综合即可得出答案．
【详解】解：在方程中，
当时，即，则，
解得：或，
当时，即，则，
解得：或（都不符合题意，舍去），
∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确；
当时，即，则，即，
当时，即，则，即，
如图，当时，方程有三个解，故结论②错误；

函数中，
当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确；
当时，函数，函数没有最大值，故结论④错误，
综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故选C．
9．3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据根与系数的关系可得，，再代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：．
10．/
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
根据图1可以知道图形是一个正方形，边长为，图2是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，而，代入即可得到关于的方程，解方程即可求出．
【详解】解：依题意得，
而，
，
解得：，
而不能为负，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．熟练掌握根与系数的关系是关键．
【详解】解：根据根与系数的关系得：，，
所以，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛21场，可列出方程．
【详解】解：设参赛队伍有x支，根据题意得：
．
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，得到关于的二次方程是解题的关键．设这个二次函数的“优和点”，坐标为，代入二次函数，得到，令，根据题意可知与轴只有一个公共点，再分类讨论，①与轴只有一个交点，且在轴的正半轴上，利用和，求得的范围；②与轴有两个交点，且只有一个交点在轴的正半轴上，利用和，求得的范围即可．
【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点代入可得：
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与轴只有一个公共点，
第一种情况是与轴只有一个交点，且在轴的正半轴上，
，且，
解得且，
；
第二种情况是与轴有两个交点，且只有一个交点在轴的正半轴上，
对称轴在轴左侧，且交于轴的负半轴，
且，
解得，
综上所述，或．
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出长方体中四个长方形的长为，宽为，两个小正方形的边长均为，再利用长方体的表面积公式列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：在组成铁盒的长方体中，四个长方形的长为，宽为，两个小正方形的边长均为，
∵长方体铁盒的表面积为，
∴可列方程为，
故答案为：．
15．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
即：，
解得：，；
（2）解：，
，
，
解得：，；
（3）解：，
，
，
解得：，；
（4）解：，
，
，
，
，
解得：，．
16．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围．
【详解】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知，，，，，
解方程得，
，．
由题意可知，，
．
17．(1)
(2)，理由见详解
(3)
【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键．
（1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解；
（2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解；
（3）运用配方法分别求出最值即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值，最大值是；
（2）解：，理由如下，
，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为．
18．(1)①；②．
(2)
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）①直接运用待定系数法求解即可；②根据已知条件可得，然后代入得到w与a的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可；
（2）设直线的函数表达式为，则直线与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为；再根据直线与轴，轴所围成的三角形面积为可得，再结合抛物线可得；再求得抛物线的顶点坐标，然后分、两种情况分别将顶点坐标代入直线L的解析式并结合解一元二次方程即可解答．
【详解】（1）解：①设直线的函数表达式为，
则，解得：，
∴直线的函数表达式为；
②∵抛物线（为常数，且）与直线相交于两点，且点在轴上，两点的坐标分别为，．
∴，
∴，
∴，即，
∴
，
，
∴当时，有最大值．
（2）解：设直线的函数表达式为，
∴直线与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
∵直线与轴，轴所围成的三角形面积为，
∴，即，
∵抛物线（为常数，且）与直线相交于两点，
∴，
∴，即，
∵抛物线的顶点坐标为在直线L上，
∴当时，，即整理得：，
设，则，即，
当时，，则，解得：；
当时，，由，此方程无解；
∴当时，，即整理得：，
设，则，即，
当时，，则，由，此方程无解；
当时，，由，此方程无解．
综上，c的值为．
19．(1)此时x的值为2
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为，
，
解得或，
经检验，时，，不符合题意，舍去，
，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为13m，
，
根据题意得：，
，
当时，y取最大值，最大值为48，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
20．(1)，；
(2)，；
(3)经过秒或2秒时，．
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的运用，利用根与系数的关系求得直角三角形的边是解决问题的关键．
（1）利用根与系数的关系即可得解；
（2）利用根与系数的关系，结合勾股定理可先求出的值，再求得、的值即可；
（3）设经过秒后，求得，，利用勾股定理建立方程即可得解．
【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两个根，
，
；
故答案为：；；
（2）解：在中，
，
变形得：，
，，
，
解得，，（负数不符合题意，故舍去），
原方程可化为，
，
，；
（3）解：设运动时间为，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
经过秒或2秒时，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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