期中练习卷（含解析）-2024-2025数学八年级下册北师大版

期中练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图案中，是轴对称的图形但不是中心对称的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，于点D，平分交于点E．若则的长为（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
5．如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C、测得，．若这艘船继续向正北方向航行，则上午（　　）该船与灯塔C的距离最短．
A．9时 B．10时 C．11时 D．12时
6．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③若，则；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有，两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为 ．
11．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ．
12．如图，若点在边长为等边三角形的边上移动，则的最小值是 ．
13．如图，在中，．作，点A在内，点D在上，．若D为的中点，且，则 （用含的代数式表示）．
14．已知关于x的方程的解为负数．
（1）a的取值范围为 ．
（2）若，，则的取值范围为 ．
15．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到对应点，则点的坐标为 ．
16．八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ．
17．如图，直线与轴、轴分别交于A，两点，以为边在轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ．
18．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，则的度数为 ．
三、解答题
19．解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
20．如图，中，，长为10，点是上的一点，，．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
21．如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：．
22．把三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点为三角形内一点，平移点到的位置．
(1)根据点的平移规律，将三角形平移画出平移后的三角形，并分别写出点A，，的对应点，，的坐标；
(2)填空：与的位置关系是 ；与的数量关系是 ；
(3)计算三角形的面积．
23．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共100根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”．
(1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由；
(2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值；
(3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集．
25．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．
风筝骨架模型图 数据说明
制作时，骨架可根据实际情况等比例放大

(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：；
(2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．
26．在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接．
(1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______．
(2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时，
①再探究线段与的数量关系并证明；
②若，求线段的长；
(3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长．
《期中练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D D D C C A B B
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大大小小找不到”得出关于m的不等式，解之即可．
【详解】解：，
解得：，
∵不等式无解，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了点的平移，关于y轴对称的点的特点，首先根据点向右平移，横坐标增加3，纵坐标不变，得出平移的点的坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可.
【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点，即，
∴点关于y轴对称的点的坐标是．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查角平分线的性质．由面积公式求出边上的高，再根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角的两端距离相等，得到即可．
【详解】解：如图，作于F，
∵，
解得：；
∵于点D，平分交于点E．，
∴；
故答案为：D．
5．C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，首先根据题意求出的长，然后根据等边对等角得到，过点C作于点P，得到线段的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵一条船上午8时从海岛出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，
∴海里，
∵，，
∴，
∴海里，
如图，过点C作于点P．

∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．
又∵，
∴．
在中，，
∴（海里），
∴再航行20海里，小船与灯塔的距离最短，即再航行1小时该船与灯塔C的距离最短，
∴上午11时该船与灯塔C的距离最短．
故选：C．
6．C
【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义可判定①；根据三角形中线平分三角形面积可判定②；根据三角形的三线合一可判定③；作的角平分线，可证，得到，同理可证，得到，由此可判定④．
【详解】解：在中，，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，
∴，
在中，，故①正确；
当是的中线时，，设点到的距离（高）为，
此时，，则，
∵题目中缺少条件是的中线，
∴的面积不一定相等，故②错误；
当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
根据三线合一得到是中线，
∴，故③正确；
如图所示，作的角平分线交于点，
由①正确可得，，，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：C ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
7．A
【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，解一元一次不等式．根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可解答．
【详解】解：由数轴可知，
解得：，
∴的值可以是，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，
先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集．
【详解】解：当时，，
解得．
当时，两个函数值相等，
∴当时，．
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．
∴，
∴
故选：B
10．/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能的位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由②得，
关于的不等式组有且仅有3个整数解，
有且仅有3个整数解，
在数轴上表示出的可能位置，如图所示：
的取值范围为，
故答案为：．
11．3或13
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解．
【详解】解：分以下三种情况：
①当，
解得，
，，
三角形的三边分别为8、8、13，，
∴此时能组成三角形；
∴底边长为13；
②，
解得，
，
三角形的三边分别为13、13、3，，
∴此时能组成三角形，底边为3；
③，
解得，舍去
综上所述，该三角形的底边等于3或13．
故答案为：3或13
12．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．作，由等边三角形的性质，得到，结合，根据等腰三角形三线合一的性质，得到的长度，在中，应用勾股定理，求出的长，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：过点作，交于点，
等边三角形，
，
，
，
在中，．
，点在边上移动，
，
当点与点重合时，取得最小值，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，进而根据三角形的内角和定理求出．
【详解】如图，连接．
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质．
①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可，
②变形，把第一问的结果代入，即可．
【详解】解①：解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；
②
∴，
，
故答案为：，．
15．
【分析】本题考查了点平移的规律，根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；列式计算即可求解．
【详解】解：点向左平移个单位长度，横坐标变为；
点向下平移个单位长度后，纵坐标变为；
故点的坐标为．
故答案为：．
16．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可．
【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道，
根据题意，．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作轴于点，利用一次函数的性质求出，再利用等边三角形的性质求出，令求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
令，则，
，
，
等边，轴，
，，，
，
，
令，则，
解得：，
，
．
故答案为：．
18．/33度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数．
【详解】解：绕点B逆时针旋转，得到，
，，，
．
，
，
，
．
故答案为：
19．；数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
．
21．见解析
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定．
【详解】证明：，
，即，
，
，
与都为直角三角形，
在和中，
，
．
22．(1)图见解析，，，
(2)，
(3)
【分析】此题主要考查了平移变换的性质以及三角形面积求法，平行线的定义，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
（1）由，，可知点的平移规律为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，由此即可作图，得，，的坐标；
（2）根据平移的性质即可作答；
（3）利用所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：由图可知，，，，，
则点的平移规律为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
由此平移规律可作平移后的三角形，如图所示：
可得：，，；
（2）由平移的性质连接各组对应点的线段平行且相等可知：，，
故答案为：，；
（3）．
23．(1)一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元
(2)当购买A型跳绳75只，B型跳绳25只时，最省钱
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的数量关系是解题关键．
（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元列方程组求解即可；
（2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，根据总费用等于两种跳绳的费用列出函数解析式，再根据A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）解：设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：，
∵，
∴W随m的增大而减小，
又∵，
解得：，
而m为正整数，
∴当时，，
此时，
答：当购买A型跳绳75只，B型跳绳25只时，最省钱．
24．(1)可以，见解析
(2)或1
(3)或或
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号．
（1）由，即的解集为即可得出答案；
（2）分、、三种情况分别求解即可；
（3）分、、三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．
【详解】（1）解：，1，可以构成“不等式”，
∵，即的解集为，
∴，1，可以构成“不等式”；
（2）解：①若，即，
则，即且，
解得（舍）；
②若，即，
则，即且，
此时；
③若，即，则，
即且；
综上，；
即或1；
（3）解：①若，即，则，
即且，化简得，
代入得，
即，则，
由，
得：，
即，
∴；
由，得：，
∴，
此时不等式组的解集为；
②若，即，
则，，
化简得，代入，
得：，则，
由，
得：，即，
∴，
由，得：，
∴，
此时不等式组的解集为；
③若，即，
则，即，且，
化简得，
代入得，
解得，则，
由，得：，
即，
∴，
由，得：，
∴，
此时不等式组的解集为；
综上，或或．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答．
【详解】（1）证明：，
点A在的垂直平分线上，
，
点C在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
（2）解：在上截取，连接，
，，
，
同理可得，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
是的外角，
，
即，
，
．
26．(1)①等式性质1，②
(2)①，证明见解析；②
(3)或
【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得；
（2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得；
（3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（ 等式性质1 ），
∴（ ），
故答案为：等式性质1，；
（2）解：①．
证明：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
，
∴；
（3）解：当时，
由（1）（2）知，，
当点D在右侧时，，
∴；
当点D在左侧时，，
∴．
故线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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