第四章因式分解同步练习卷（含解析）

第四章因式分解同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．若的三边长a，b，c满足，则是（　　）
A．等边三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法：
①若，那么这个三角形是等腰三角形；
②若，那么这个三角形是等边三角形；
③若，那么这个三角形是直角三角形．
以上说法中正确的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
7．如果a，b为实数，满足，那么的值是 ．
8．已知，则 ．
9．分解因式： ．
10．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ．
11．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ．
12．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
13．计算的值为 ．
14．学习完《因式分解》，张明和李放剪出如图①所示的个长方形，然后又拼成了如图②所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解： ．
三、解答题
15．把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．已知，求的值．
17．小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式．
．
这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式；
18．【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
19．【阅读材料】
教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：
①分解因式：
．
②求多项式的最小值：
，
，
当时，有最小值，最小值是．
【解决问题】
(1)按照上述方法分解因式：；
(2)多项式的最小值为4，请求出的值；
(3)若实数，满足，请求多项式的最值．
20．先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状．
(3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值．
《第四章因式分解同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D B C C
1．B
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是解题的关键．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、， 故不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案．
【详解】解：∵，
∴；
故选：D
4．B
【分析】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
分别利用平方差公式分解因式进行判断即可解答．
【详解】解：A、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意；
B、，两个项均为负数，不可以用平方差公式分解因式，故此选项错误，符合题意；
C、，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意；
D、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义．利用因式分解得到，则，得到或，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，即或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定；
①等式左边进行因式分解得，即可判断；
②等式左边进行因式分解得，即可判断；
③等式左边进行因式分解得，即可判断；
能熟练进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：①由题意得：，
，
，
或，
或，
这个三角形是等腰三角形；
故此项正确；
②，
，
，
，，，
，，，
，
这个三角形是等边三角形；
故此项正确；
③由题意得：，
，
或，
或，
这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；
故此项不正确；
故选：C．
7．
【分析】本题考查算术平方根及平方的非负数性质及完全平方公式，熟练掌握非负数性质是解题关键．利用算术平方根及平方的非负数性质得出、的值，代入即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：
8．
【分析】本题考查因式分解．将代数式因式分解后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10．2023
【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得．
【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为，
∴①，②，
由①②得：，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：2023．
11．5
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵多项式进行因式分解得到，
∴，
∴，
故答案为：5．
12．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
则．
∵，
∴，
可得．
∵，
∴，
∴，
即．
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的正方形个长为、宽为的长方形面积个长为、宽为的长方形面积个长为、宽为的长方形面积，列式即可．
【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的正方形个长为、宽为的长方形面积个长为、宽为的长方形面积个长为、宽为的长方形面积，
即：，
故答案为：．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用提取公因式法直接求解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果；
（4）用两次提取公因式法直接求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）解：．
16．
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，等式的性质，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键．先利用完全平方公式变形为，再利用得，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
17．
【分析】本题考查了多项式的因式分解，因式分解的完全平方公式和平方差公式，关键是通过配方使二次三项式为完全平方公式．二次三项式中先加上16，使它与的和成为一个完全平方式，再减去16，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．
【详解】解：，
，
，
．
18．验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误
证明：证明见解析
【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论；
证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证．
【详解】解：验证：
，
是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确；
，
不是“4倍数”，故淇淇的说法错误；
证明：
，
是整数，
是整数，
这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练利用完全平方公式因式分解和计算是解题的关键，
（1）利用题中的“配方法”，构造完全平方公式，即可分解因式；
（2）利用“配方法”将原式变成，由于，故，从而得到，进而得到，即可求出值；
（3）根据（2）的方法，利用“配方法”将原式变成，通过移项得，由于，从而得到，即可得到的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）原式
，
∵
∴
∴
∵原多项式最小值为4．
，
，
（3）原式可变形为：
∴，
．
∵
∴
∴
∴
取最大值为．
20．(1)
(2)是等腰三角形或直角三角形
(3)，最大值为
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得或，即可求解；
（3）先对式子进行因式分解，得到时，取得最大值
【详解】（1）
（2）解：∵，
，
∴
∴或，
解得或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
（3）
时，即，原式有最大值．
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