第四章三角形同步练习卷（含解析）

第四章三角形同步练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点C在的边上，用尺规作图：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D，交于点E；
②以点C为圆心，以的长为半径画弧，交于点F；
③以点F为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P；
④作射线
下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
4．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（ ）
A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②．
5．如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，的面积为8，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（ ）
A．4 B．3.5 C．3 D．4.5
8．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．
10．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为
11．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ．
12．如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ．
13．图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ．
14．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为 ．
三、解答题
15．利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图．
(1)过点A作射线的垂线，垂足为点C；
(2)过点A作射线的垂线，交射线于点D．
16．如图，已知为的两条高，点在上，已知．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
17．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为，
(1)求的值；
(2)求该等腰三角形的周长．
18．如图所示：已知，平分，平分，求证：．
19．如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系；
(3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）．
20．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知
如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）
（2）求证：．
（3）试说明：．
拓展应用
（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
《第四章三角形同步练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B A D A B
1．B
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意；
．不能作出的高，故该选项不符合题意；
．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】根据题意知，由全等三角形的判定定理SSS可以推知，结合该全等三角形的性质解题．本题考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定方法，根据作图得线段的长是解本题的关键．
【详解】解：依题意知，在和中，
，
则，
，
，
故选项A、B、D结论正确．
但是不能推知成立，故C的说法是错误．
故选：C
3．D
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等，
根据“”可证第③个三角形和全等，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；
利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解；
【详解】解：如图，过C作交于点，
，
，
，
，
根据垂线段最短，可得，
线段的长度不可能是；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题．
【详解】解：，
与相对应，
，
与相对应，
，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，延长交于E，利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【详解】解：解：如图，延长交于E，
与的平分线垂直，垂足为，
，，
在与中，
，
，
，，
和等底同高，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
在和中，
，
，
，
则．
故选：B．
9．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可．
【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知，在中，，为边上高，且，
∴；
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知，在中，，为边上高，且，
∴，
∴．
综上所述：等腰三角形的顶角度数为或．
故答案为：或．
10．
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
11．/75度
【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质．由直角三角形的两个锐角互余求出，再根据平角的定义求出，最后根据平行线的性质可得．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可．
【详解】解：设运动的时间为x秒，
由题意可得：，，，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作于，可证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的应用，连接，根据为和的中点，且即可判定，即可求得，即可解题．
【详解】解：连接，设是和的中点，
为和的中点，
，
，
，
∴，
故，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查画垂线，全等三角形的判定和性质：
（1）直接利用垂线的作法得出答案；
（2）取点右3下4的格点E，连接交于点D即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，即为所求；
由图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
（1）根据“”证明即可；
（2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：为的高，
．
，
，
在和中
．
（2）解：，
．
由（1），知 ，
．
．
17．(1)
(2)等腰三角形的周长为15
【分析】本题主要考查了整式加减法中的无关型问题，三角形三边的关系，正确的将多项式进行整理化简是解题的关键．
（1）化简这个多项式，因为代数式的值与无关，所以含的项的系数等于0，列出方程组求出的值；
（2）根据的值进行分析，求出该等腰三角形的周长．
【详解】（1）解：
，
∵代数式的值与无关，
∴，
解得：．
（2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，6，此时，构不成三角形，不符合题意；
当6是等腰三角形的腰时，三边为6，6，3，周长．
∴该等腰三角形的周长为15．
18．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同旁内角互补可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，于是结论得证．
【详解】证明：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
．
19．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查三角板与平行线求角度，涉及平行线的性质、直角三角形性质、平角定义等知识，数形结合，由平行线的判定与性质准确表示出所求角度是解决问题的关键．
（1）由两直线平行同位角相等得到，再由平角为列式求出即可得到答案；
（2）过点作，如图所示，由平行线的判定与性质，结合直角三角形两锐角互余即可得到；
（3）由两直线平行同旁内角互补得到，数形结合，表示出，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，且，，
，
；
（2）解：，
理由如下：
过点作，如图所示：
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，，
，
，
，
．
20．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意易得，，，然后可得，于是得解；
（2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论；
（3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论；
（4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在中，为中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：由（1）可知：，
，
，
，
，
；
（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，
，，
；
（4）解：，，，
，
在和中，
，
，
，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
，，
，
，
，
与的面积之和为．
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