河南省开封市宇华实验高中2024-2025高一（下）第一次联考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年河南省开封市宇华实验高中高一（下）第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功.其中是向量的有( )
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
2.如果 ， 是两个单位向量，下列四个结论中正确的是( )
A. = B. = 1 C. 2 ≠
2
D. | |2 = | |2
3.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 1 = (0,0)， 2 = (1, 2) B. 1 = ( 1,2)， 2 = (5,7)
C. 1 = (3,5)， 2 = (6,10) D. 1 = (2, 3)， = (
1
2 2 ,
3
4 )
4.已知向量 = ( 2, )， = (1,2)，| + | = | |，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 12 2 D. 1
5.已知向量 = (1,2)， = (2, 3).若向量 满足( + )// ， ⊥ ( + )，则 =( )
A. ( 7 7 7 79 , 3 ) B. ( 3 , 9 ) C. (
7 7 7 7
3 , 9 ) D. ( 9 , 3 )
6.如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 = ， = ，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 1 C. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 D. 2 + 2

7.在三角形 中， 、 、 表示角度， 、 、 表示边长已知 = 5， = 4 2， = 45°，则 =( )
A. 1 4 2 2 42 B. 5 C. 2 D. 2 或5
8.已知 ， ， 在△ 所在平面内，且| | = | | = | |, + + = 0，且 = =
，则点 ， ， 依次是△ 的( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. + = 0 B. + = C. = D. 0 = 0
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10.与向量 = (3,4)共线的单位向量 =( )
A. ( 4 3 3 45 , 5 ) B. ( 5 , 5 ) C. (
4
5 ,
3 3 4
5 ) D. ( 5 , 5 )
11.设 , 是两个非零向量，若 ⊥ ( )，则下列结论正确的是( )
A. = | |2 B. | | = | 2 |
C. 在 方向上的投影向量为 D. cos , = | |
| |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.下列说法中，正确的序号是______．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形 是平行四边形，则 = ；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
13.已知向量 = (1,2)， = ( 3, )，若 ⊥ ，则| + 2 | =______．
14.在△ 中，若 2 = 3 .则∠ = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = (1,2)， = ( 3,1)．
(Ⅰ)求 2 ；
(Ⅱ)设 , 的夹角为 ，求 的值；
(Ⅲ)若向量 + 与 互相垂直，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中， = 1， = 2，∠ = 60°， ， 相交于点 ， 为 中点.设向量 = ，
= ．
(1)用 ， 表示 ；
(2) 5 3建立适当的坐标系，使得点 的坐标为 ( 2 , 2 )，求点 的坐标．
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17.(本小题 15 分)
已知△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足sin2 + sin2 sin2 = 3sin sin ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2，求 3 + 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在△ 3中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + 2 2 =
2．
(1)求 的值；
(2)若 = 2 ， = 3，求 的值．
19.(本小题 17 分)
在气象台 正西方向 300 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为 40 / 距台风中心
250 以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？
如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到 10 )(参考数据： 2 ≈ 1.4， 7 ≈ 2.6)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.①③
13.5 2
14. 6
15.解：(Ⅰ) 2 = (1，2) 2( 3，1) = (1 + 6，2 2) = (7，0)．
(Ⅱ)cos =
= 1×( 3)+2×1 2
| | |
= ．
| 1+( 3)2× 22+1 10
(Ⅲ)因为向量 + 与 互相垂直，
所以( + ) ( ) = 0，即 2 2 2 = 0
因为 2 = 5， 2 = 10，
所以 5 10 2 = 0，解得 =± 22 ．
16.解：(1)由四边形 是平行四边形， ， 相交于点 ，
1 1
所以 = 2 = 2 (
+ ) = 1 2 ( + )，
因为 为 中点，∴ = 1 ( + ) = 1 [ 12 2 2 ( +
) + ] = 34 +
1 4 ；
(2)如图，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系，
由 = 1， = 2，∠ = 60°，
可求得点 的坐标为 ( 5 , 3 ，2 2 )
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所以 (2,0)， ( 1 , 3 ，2 2 ) (
5 , 3 ，4 4 )
根据中点坐标公式，可求得点 的坐标为 ( 7 3 3 ．8 , 8 )
17.解：(1) ∵ sin2 + sin2 sin2 = 3sin sin ，
由正弦定理可得 2 + 2 2 = 3 ，
2 2 2
所以 cos = + 3 32 = 2 = 2 ，
∵ ∈ (0, ) 5 ，∴ = 6．
(2) ∵ = 2， = 5 6，设三角形△ 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 2 = sin = 4，
∴ 3 + = 2 ( 3 + )

= 2 [ 3sin + sin( 6 )]
1 3
= 4 3sin + 2 cos 2 sin
= 4sin( + 6 )，
∵ ∈ (0, 6 )，∴ + 6 ∈ ( 6 , 3 )，
∴ sin( + 6 ) ∈ (
1 , 32 2 )，
∴ 3 + ∈ (2,2 3)．
18.解：(1)在△ 中， 2 + 2 2 = 32 ，
2 2 2 3
由余弦定理 = + 2 32 = 2 = 4；
(2)由(1) 知，0 < < 2，
∴ = 1 cos2 = 74 ，
∵ = 2 ，
∴ = 2 = 2 = 2 × 74 ×
3 = 3 74 8 ，
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又∵ = 3, = ，
3×
7
∴ = 4 = 3 7 = 2．
8
19.解：以气象台为坐标原点，正东方向为 轴正方向，建立直角坐标系，
则现在台风中心 1的坐标为( 300,0)，
由题意可知， 小时后， 的坐标为( 300 + 40 45°, 40 45°)，即( 300 + 20 2 , 20 2 )，
∵以台风为圆心，以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，
∴ 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响，
令| | ≤ 250，即( 300 + 20 2 )2 + (20 2 )2 ≤ 2502，化简整理可得，16 2 120 2 + 275 ≤ 0，解
得15 2 5 7 ≤ ≤ 15 2+5 7，4 4
解得 1.99 ≤ ≤ 8.61，
故大约 2 小时后，气象台 所在地将遭受台风影响，大约持续 6 个半小时．
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