云南省玉溪市峨山县第一中学2023-2024高二下学期期末考试数学试卷(含详解)

峨山县第一中学2023—2024学年高二下学期期末考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A. B. C. D.
3.若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（ ）
A.，， B.，1， C.，1， D.，1，
4.椭圆的焦点坐标是（ ）
A.， B.， C.， D.，
5.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.直线与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C.3 D.
8.正方体的棱长为，点在上且，为的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，.则（ ）
A. B.
C.时，的最小值为13 D.最大时，
10.设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A.1 B.3 C.5 D.4
11.已知数列满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A.数列可能为常数列
B.数列可能为等比数列
C.若，则
D.若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知双曲线（）的焦距为6，则实数的值为______.
13.（2023·四川省绵阳市南山中学实验学校期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为______.
14.将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数（）有极小值.
（1）试判断，的符号，求的极小值点；
（2）设的极小值为，求证：.
16.（2023·江苏省泰州中学期中）已知椭圆：（）的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的的标准方程；
（2）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围.
17.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计
男生 20 10 30
女生 10 20 30
合计 30 30 60
下面的临界值表供参考：
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中.）
（1）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率.
18.如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）连结，相交于点，求平面与平面夹角的正弦值.
19.已知椭圆：（），右焦点为且离心率为，直线：，椭圆的左右顶点分别为、，为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为，与椭圆的另一个交点为.
（1）直线和直线的斜率分别记为、，求证：为定值；
（2）求证：直线过定点.
峨山县第一中学2023—2024学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案
一、单选题
1.【答案】B
【解析】由，设，，得，即点在直线上，由点在圆上运动，则的最小值为.
2.【答案】C
【解析】由题意，选项A，B表示的双曲线的焦点在轴上，故排除A，B选项；
C选项表示的双曲线的渐近线方程为，D选项表示的双曲线的渐近线方程为.
3.【答案】A
【解析】
∴，
由空间向量基本定理，得解得故选A.
4.【答案】B
【解析】根据方程可得，，且焦点在轴，
又，所以，所以焦点坐标为，.故选B.
5.【答案】D
【解析】因为函数的图象上存在与直线的垂直的切线，
所以函数的图象上存在斜率为2的切线，
故有解.
所以，有解，
构造函数，的值域为，
则实数的取值范围即为函数在上的值域.
所以.
6.【答案】B
【解析】易知直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.
7.【答案】B
【解析】向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：B.
8.【答案】A
【解析】如图，
在正方体中，
设，，，
则，.
由条件知，
，
∴
，
∴.
二、多选题
9.【答案】AC
【解析】对于A，由，则，
又因为，所以，故A正确；
对于B，结合选项A知，，，
又，所以，解得，故B错误；
对于C，结合选项A知，
又，所以时，的最小值为13，故C正确；
对于D，结合选项A和B知，当时，，
当时，，所以当最大时，，故D错误.
故选：AC.
10.【答案】BD
【解析】设，∵，，
∴，，
由可得，
又∵点在椭圆上，即，
∴，要使得成立的点恰好是4个，
则，解得.
故选：BD.
11.【答案】ABD
【解析】A.若数列为常数列时则有，
故，解得或（舍），
即时数列为常数列，故A正确；
B.由得（），故
，
当时，此时，不是等比数列，
当时，有，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确；
C.若，，所以，故C错误；
D.若，，
故数列是首项为7，公比为的等比数列，
，显然数列单调递减，，
又因为当时，，
当时，，故的最大值为，故F正确.
故选：ABD.
三、填空题
12.【答案】或6
【解析】当时，方程化为标准方程形式为.
∵，∴，∴.
当时，方程化为.
∵，∴.
综上可知或6.
13.【答案】
【解析】因为直线：与直线：互相垂直，
所以，解得，
联立，解得直线和的交点坐标为，
故答案为：
14.【答案】
【解析】在“第个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列.因为前99组中数的个数共有，且第1个数为，故第100组中的第1个数是.
四、解答题
15.【答案】（1）解由题意得，，.
∵函数（）有极小值，
∴，，的极小值点为.
（2）证明由（1）知，，
则
令，，设，
则.
令，得（负值舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.
∵，∴，∴.
16.【答案】解：（1）由椭圆：（）的离心率为，左顶点为，
所以，解得，，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，：，
因为直线与椭圆交于，两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，所以设直线：，，
联立方程得，
所以，
，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，，
∴
，令，
∴，
令，∴在上单调递减，
所以的取值范围为.
17.【答案】解：（1）由公式，
所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关.
（2）设所抽样本中有个男生，则，得人，
所以样本中有4个男生，记为，，，个女生，记为，，
从中选出3人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，恰有两名男生一名女生的事件数有12种，
所以恰有两名男生一名女生的概率为.
18.【答案】（1）证明：在正四棱锥中，
连接，交于点，连接.
因为四棱锥为正四棱锥，
所以平面，四边形为正方形，
所以，，
因为，平面，所以，，
所以，，两两垂直，所以以为原点，
以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
因为，，所以在中，
由，得，得，
所以，
则，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以，，
所以，，所以.
所以.
（2）解：在，，分别为，的中点，点为，的交点，
所以为的重心，则，
所以，，
设平面的法向量为，则
令，则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面与平面夹角为，
则
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
19.【答案】解：（1）由题意，得，解得
所以椭圆：，，，
设，则，即，
所以，
故为定值，且为.
（2）方法1：设，则，，，
所以，
设直线：，，，，
联立，消去，得，
此时，解得，
根据韦达定理，得，，
所以，
整理得，
所以，
因为，则，解得，
所以直线：过定点.
方法2：设，则，，，
直线：，显然与椭圆必相交，
联立，消去，得，
所以，解得，，
同理，，
①直线的斜率存在时，，
所以：，
令，；
②当的斜率不存在时，，解得，；
综上所述，直线过定点.