江西省抚州市资溪一中2024-2025高二（下）月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年江西省抚州市资溪一中高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }的前 4 项依次为 3， 5， 7，3，则{ }的一个通项公式为( )
A. = 2 1 B. = 2 + 1 C. = 2 + 3 D. = 4 1
2 .已知直线 1：2 + 1 = 0， 2： 2 + 2 = 0，若 1// 2，则 =( )
A. 1 12 B. 2 C. 8 D. 8
3.“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数
据 (单位： )服从正态分布 (200, 2)，且 ( ≥ 220) = 0.1，现从该地区高中男生中随机抽取 3 人，并记
在(180,220)的人数为 ，则( )
A. (180 < < 220) = 0.9 B. ( ≥ 1) = 0.488
C. ( ) = 2.4 D. ( ) = 0.16
4 { 1.已知数列 }满足 +1 = 3 ， 1 = 81，则{ }的前 5 项的乘积为( )
A. 35 B. 39 C. 310 D. 315
5.从 1，2，…，10 中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为( )
A. 1 B. 1 1 13 12 C. 4 D. 6
6.若直线 的一个方向向量为 1 = ( 1,0,2)，平面 的一个法向量为 2 = (1,2,2)，则直线 与平面 所成角的
余弦值为( )
A. 2 55 B.
5
5 C.
5 2
3 D. 3
7.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前 3 个月繁殖数量 (单位：百只)的数据，通过相关理论进行
分析，知可用回归模型 = 1+ ( ∈ )对 与 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第 7 个月该物种
的繁殖数量为( )
第 个月 1 2 3
繁殖数量 1.4 2.2 2.4
A. 3百只 B. 3.5百只 C. 4百只 D. 4.5百只
8.设甲袋有 3 个红球、2 个白球和 5 个黑球，乙袋有 3 个红球、3 个白球和 4 个黑球，先从甲袋中随机取
出一球放入乙袋，以 1、 2和 3分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取
出一球，以 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则( )
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A. B. ( | ) = 21与 相互独立 2 11 C. ( ) =
3
10 D. (
1
3| ) = 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是( )


A.线性回归方程 = + 至少经过点( 1, 1)，( 2, 2)，( 3, 3)，…，( , )中的一个点
B.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数| |的值越接近于 1


C.若设直线回归方程为 = 2 1，则当变量 增加 1 个单位时， 平均增加 2 个单位

D.对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实数
的值是 4．
10.已知 ， ， ， 是空间直角坐标系 中的四点， 是空间中任意一点，则( )
A.若 ( 4, 3,2)与 ( , , )关于平面 对称，则 + + = 3
B.若 = + ，则 ， ， ， 共面
C.若 = 1 6
+ 4 3
16
，则 ， ， ， 共面
D.若 (0,0,2)， (1,2,0)， (2, , )三点共线，则 + = 2
11.已知数列{ }是等差数列，公差 > 0，前 项和为 ，且 6 = 12，则( )
A. = 9 时， =1 最小 B. = 9 时，

=1 ( +1)最小
C. =1 ( + +1)最小时， = 8 或 9 D.

=1 ( +1 +2)最小时， = 7 或 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某公园有 4 条同心圆环步道，其长度构成公比为 2 的等比数列，若最长步道与最短步道之差为 840 ，
则最长步道为______ .
13 .已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 19 = 3，则
10
9
= ______．
5
14 .若数列{ }满足 = |cos 3 |，在 ， +1中插入 个 2，按照原有顺序构成数列{ }，则数列{ }的前
480 项和为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的
日平均阅读时长(单位：时)，将全部样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，
(16,18]九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
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(1)从该地区的高一学生中随机抽取 1 人，估计其日平均阅读时长在(8,12]内的概率；
(2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在(6,8]，(8,10]，
(10,12]三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，记日平均
阅读时长在(8,10]内的学生人数为 ，求 的分布列和期望；
(3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取 21 名学生，用 ( )表示这 21 名学生中
恰有 名学生日平均阅读时长在(8,12]内的概率，其中 = 0，1，2， ，21，当 ( )最大时，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知正项数列{ }的前 项和为 ，且满足 ( 2 ) = 3 ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若 = ( 1) ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 1 =
1
2 , +1 = (
1 + 12 +
1
2 2 ) ．
(1) 证明：数列{ 2 }是等比数列；
(2) { 求数列 }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }为等差数列， 5 = 9， 3 + 6 + 9 = 33．
(1)求数列{ }的通项公式．
(2)若 + = 19，求数列{| |}的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕.在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的
荣耀与拼搏.中国队以 32 金 27 银 26 铜，总计 85 枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家.这
一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章.
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冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队
员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成 2 × 2 列联表，并判断根据小概率值 = 0.025 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上
场有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋、中锋、
后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.9，0.5．
( )当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
( )当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.960
13.2719
14.1215
15.解：(1)由频率分布直方图得 2(0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + + 0.1 + 0.05 + 0.04 + 0.01) = 1，
解得 = 0.15，
所以区间(8,12]对应的频率为(0.15 + 0.1) × 2 = 0.5；
(2) 1 3由题可知，需从日平均阅读时长在(6,8]，(8,10]，(10,12]内的学生中分别抽取1+3+2 × 6 = 1 人，1+3+2 ×
6 = 3 2人，1+3+2 × 6 = 2 人，
则 的所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) =
3 1 1 2
则 3 = 3 3 9
3 20
， ( = 1) =
3
= ，
6 6 20
2 1 3
( = 2) = 3 3 = 9， ( = 3) = 3 = 1，
36 20
3
6 20
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 9 9 1
20 20 20 20
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1 9 9 1 3
所以 ( ) = 0 × 20 + 1 × 20 + 2 × 20+ 3 × 20 = 2；
(3)由(1)可知从该地区的高一学生中随机抽取 1 人，估计其日平均阅读时长在(8,12]内的概率为 0.5，
( ) = ( 1则 21 2 )
(1 1 )21 = ( 1 )212 21 2 ，
当 ≤ 10 时， 10 1121递增，且 21 = 21，
故当 = 10 或 11 时， ( )最大．
16.
17.
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18.解：数列{ }为等差数列， 5 = 9， 3 + 6 + 9 = 33．
(1)设等差数列{ }的公差为 ，
因为 3 + 6 + 9 = 3 6 = 33，所以 6 = 11．
又因为 5 = 9，则 6 5 = = 2，
所以 = 5 + 2( 5) = 2 1．
(2)由(1)知， = 19 = 20 2 ．
当 ≤ 10 时，| | = = 20 2 ，
= ( 1+ ) = (38 2 ) 2 2 2 = 19 ；
当 ≥ 11 时，| | = = 2 20，
= 10 + ( 10)(2 × 11 20) +
( 10)( 11)
2 × 2 =
2 19 + 180．
2
综上， 19 , ≤ 10 = 2 ． 19 + 180, ≥ 11
19.解：(1)根据题意，可得 2 × 2 的列联表：
甲球员是否上场球队的胜负情况合计
胜 负
上场 38 7 45
未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设 0：球队胜负与甲球员是否上场无关，
50×(38×3 2×7)2 50
根据列联表中的数据，经计算得到 2 = 40×10×5×45 = 9 ≈ 5.556 > 5.024，
故根据小概率值 = 0.025 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此
推断犯错误的概率不大于 0.025；
(2)甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为 0.7，0.9，
0.5，
(ⅰ)设事件 ：“甲球员上场打边锋”，事件 ：“甲球员上场打中锋”，
事件 ：“甲球员上场打后卫”，事件 ：“球队赢球”，
则 ( ) = 0.4， ( ) = 0.5， ( ) = 0.1，
( | ) = 0.7， ( | ) = 0.9， ( | ) = 0.5，
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
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( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.4 × 0.7 + 0.5 × 0.9 + 0.1 × 0.5 = 0.78：
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率 0.78；
(ⅱ)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
( | ) = ( ) ( | ) 0.45 15 ( ) = 0.78 = 26．
15
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率26．
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