安徽省A10联盟2024-2025高二（下）段考数学试卷（3月份）（C卷）（图片版含答案）

2024-2025学年安徽省 A10联盟高二（下）3月段考
数学试卷（C卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 2,1), = (2, 1,1)，若( ) ⊥ ，则 =( )
A. 72 B. 4 C.
9
2 D. 5
2
2 2
.若椭圆 ：2 + 5 = 1 的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线 的顶点和焦点，则双曲线 的标准方程为
( )
2 2 2 2 2 2 2 2A. 2
= 1 B. = 1 C. = 1 D. 3 3 2 5 2 3

2 = 1
3 .设等比数列{ }的前 项和为 ，且 3 + 4恰为 5和 6的等差中项，则 8 =( )4
A. 4 B. 5 C. 16 D. 17
4.“点 ( , )在圆 ： 2 + 2 = 4 外”是“直线 + = 1 与圆 相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 { ( +1) .在数列 }中， 1 = 1， +1 = cos 2 ，记 为数列{ }的前 项和，则 10 =( )
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
6.已知点 的坐标为(1,1)，动点 满足| | = 2 2， 为坐标原点，则| |的最大值为( )
A. 4 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 2
2 2
7.已知 ， 是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上两点， 1， 2分别为 的左、右焦点， 2 = 0， =
1( ≠ 0)，5| 2| = 12| |，则 的离心率为( )
A. 3 B. 15 C. 45 5 5 D.
17
5
8.在数列{ }中， 1 = 1， > 0，且 2 2 +1 +1 ( + 1) = 0，则 20的值为( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.公差为 的等差数列{ }，其前 项和为 ， 11 > 0， 12 < 0，下列说法正确的有( )
A. < 0 B. 7 > 0 C. { }中 6最大 D. | 4| < | 9|
10.已知数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
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A.若 2 = ，则 、 、 成等比数列
B.若{ } 为等差数列，则{ }为等差数列
C.若{ }为等比数列，则{ }为等差数列
D.若 1 = 1， 2 = 2，3 +1 = + 2 +2( ∈ )，则{ +1 }为等比数列
11.已知 为坐标原点，抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线 过点
(4,0)且与 交于 ， 两点，则( )
A.若点 的坐标为(2,2)，则| | + | |的最小值为 3
B.以线段 为直径的圆与直线 相离
C.点 到直线 + 2 = 0 的最小距离为 2
D. △ 可能为钝角三角形
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ∈ ，设直线 1： 2 = 0， 2： 4 4 = 0，若 1// 2，则 = ______．
13.已知点(2, )( > 0)在抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上，且到 的焦点的距离为 3 ，则实数 = ______．
14.已知各项均不为零的数列{ }，其前 项和是 ，且 = +1( = 1,2, …).若{ }为递增数列， 1 = ，
则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)等比数列{ }中， 1 = 1， 5 = 4 3，求数列{ }的通项公式；
(2)等差数列{ }中，公差 > 0，且满足 2 3 = 45， 1 + 4 = 14，求数列{ }的通项公式．
16.(本小题 15 分)
在圆 2 + 2 = 8 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当点 在圆上运动时，记线段 的中
点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程．
(2)直线 ： = + 与 交于 ， 两点(点 ， 不重合)．
①求 的取值范围；
②若 = 1，求| |．
17.(本小题 15 分)
如图，在正四棱锥 中， = 2 = 2， 为侧棱 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
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(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 1 = 2， 2 = 4， +2 = 4( +1 ).
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 =
1
2
，记数列{ }的前 项和为 ，求证： < 1；
2 +1
(3) 2 1令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
已知过点 (3, 2)的双曲线 的渐近线方程为 ± 3 = 0.如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐标轴都不
垂直的直线 交 的右支于 ， 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若双曲线 上的点 ( 0, 0)到其两条渐近线的距离分别为 1， 2，求 1 2的值；
(3) 3已知点 ( 2 , 0)，求证：∠ = ∠ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.4 55
14.(0,1)
15.解：(1)设等比数列{ }的公比为 ( ≠ 0)，因为 1 = 1， 5 = 4 3，
所以 4 2 21 = 4 1 ，所以 = 4，所以 = 2 或 = 2，
所以 1 1 = 1 = 2 或 = 11 = ( 2) 1．
(2)在等差数列{ }中， 1 + 4 = 2 + 3 = 14，又 2 3 = 45， > 0，
所以 2 = 5， 3 = 9，
所以 = 4， = 5 + 4( 2) = 4 3．
16.解：(1)设 ( , )，则 ( , 2 )，又 在圆 2 + 2 = 8 上，
2 2
所以 2 + 4 2 = 8，所以 8 + 2 = 1，
2 2
所以 的方程为 8 + 2 = 1；
2 2
(2) + 4 = 8①联立 2 = + ，可得 5 + 8 + 4
2 8 = 0，
因为直线 ： = + 与 交于 ， 两点(点 ， 不重合)，
所以 = (8 )2 20(4 2 8) > 0，解得 10 < < 10，
所以 的取值范围为( 10, 10)；
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②当 = 1 时，5 2 + 8 4 = 0，解得 1 = 2, 2 =
2
5，
故| | = 1 + 1| 1 2| = 2 ×
12 12 2
5 = 5 ．
17.解：(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为 是正四棱锥，所以 ⊥平面 ，
且 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 为正方形，所以 ⊥ ，
所以以 ， ， 方向为 ， ， 轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为 = 2 = 2，所以 = = 2， = ( 2)2 + ( 2)2 = 2，
所以 = 1， = 22 12 = 3，
所以 (0, 1,0), (1,0,0), (0,1,0), ( 1,0,0), (0,0, 3), ( 12 , 0,
3
2 )，
所以 = (0,2,0), = ( 1,0, 3)，
= 0 + 0 + 0 = 0，
所以 ⊥ ．
(2)设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= ( 1 , 1, 3 ), 2 2
= (1,1,0)，
⊥ 则 ，所以 = 0
2 = 0
，即 1 + + 3
，
⊥ = 0 2 2 = 0
令 = 3，可得 = ( 3, 0,1)，

所以点 到平面 | | 3的距离为 | ．| = 2
(3)设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= ( 1,1,0), = ( 1,0, 3)，
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则 ⊥ ，所以 = 0 + = 0 ，即 ， ⊥ = 0 + 3 = 0
令 = 3，可得 = (3,3, 3)，
设平面 与平面 夹角为 ，则由图可知 为锐角，
所以 = |cos , | = | | 4 3 2 7| ．| | | = 2× 21 = 7
18.解：(1)因为 +2 = 4( +1 )，
所以 +2 2 +1 = 2( +1 2 )，
又因为 1 = 2， 2 = 4，
则 2 2 1 = 0，
所以 +1 2 = 0 恒成立，
所以{ }为 2 为公比的等比数列，且 1 = 2， 2 = 4 也满足，
所以 = 2 ；
(2) 1 1 1 1 1证明：因为 = = = = ，2 2 +1 22 22 +1 ( +1) +1
= + + + = 1 1 + 1 1所以 1 2 3 1 2 2 3 +
1
3
1
4+ +
1 1 1
+1 = 1 +1，
1
又因为 +1 > 0，
所以 = 1
1
+1 < 1；
(3)由 = 2
2 1
，可得 = 2 ，
所以数列{ }的前 项和 = 1 + 2 + 3 + + =
1 + 3 2 22 +
5 2 1
23 + + 2 ①，
1 = 1 + 3 + 5 + + 2 3 + 2 1则2 22 23 24 2 2 +1 ②，
1 1 2 2 2 2 2 1
则② ①可得2 = 2 + 22 + 23 + 24 + + 2 2 +1，
1 21 ×
1
所以2 =
1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 +3
2 + 1 1 2 +1
= 2 2 1 2 +1 = 2 2 +1 (4 + 2 1) = 2 2 +1，
2
即 = 3
2 +3
2 ．
19.解：(1)因为双曲线 的渐近线方程为 ± 3 = 0，
所以设双曲线方程为 2 3 2 = ( ≠ 0)，
又双曲线过点 (3, 2)，
则 = 9 3 × 2 = 3，所以双曲线的方程为 2 3 2 = 3，
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2
即 23 = 1．
2
(2)因为 ( , ) 0 0 在曲线 23 = 1 上，
2
则 03
2
0 = 1 2 20 3 0 = 3，
渐近线方程： ± 3 = 0，
| + 3 | | 3 | | 2 3 2| 3
所以 1 = 0 0 0 0 0 02 1+3 1+3 = 4 = 4．
(3)证明：由(1)可知 (2,0)， 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 = ( 2)，
= ( 2)
联立 2 2 2 2 2 3 2 = 3，消去 得(1 3 ) + 12 12 3 = 0，
1 3 2 ≠ 0
( , ) ( , ) > 0 3 3设 1 1 ， 2 2 ，由题意得 1 + 2 > 0
∈ ( ∞, 3 ) ∪ ( 3 , + ∞)，
1 2 > 0
12
2
1 + 2 =
则 1 3
2
2 ，
1 2 =
12 3
1 3 2
( 2) ( 2)
所以 + = 1 + 2 1 2 3 3
= 3 + 3
1 2 2 2 1 2 2 2
[2 1 2
7
2( 1 + 2) + 6]=
1
3
2 2 ( 1 + 2) +
9
4
[2( 12 2 3)+7 2 2
= 2
×12 +6(1 3 )]
= 0，
12 2 3+3×12 22 +
9
4(1 3
2)
所以 = ，∠ = ∠ 得证．
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