天津市第四十五中学2024-2025高二（下）第一次质检数学试卷（3月份）（图片版含答案）

2024-2025 学年天津四十五中高二（下）第一次质检数学试卷（3 月份）
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 6 分，共 54 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 2 = 20，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.下列函数的求导正确的是( )
A. ( 2)′ = 2 B. ( )′ =
C. ( + 3)′ = + 13 D. (
2) = 2′
3.函数 ( )的定义域为开区间( , )，导函数 ′( )在( , )内的图像如图所示，则函数 ( )在区间( , )内有
极大值点( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.函数 ( )在 = 4 处的切线方程为 = 3 + 5，则 (4) + ′(4) =( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
5.已知函数 ( ) = (2 ) 在(0,2)上为减函数，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,2 ) B. [ , + ∞) C. (1, + ∞) D. [1, + ∞)
6.永沙高级中学学生会有 8 位学生春游，其中高一学生 2 名、高二学生 3 名、高三学生 3 名.现将他们排成
一列，要求 2 名高一学生相邻、3 名高二学生相邻，3 名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数
有( )
A. 288 种 B. 144 种 C. 72 种 D. 36 种
7.成都七中举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加了 50 米短跑比赛，现将四位同学安排在
1，2，3，4 这 4 个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在 1 道，乙不在 2 道的不同安排方法有( )
种
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8.已知函数 ( ) = 13
3 + 3 2 + 的导函数为 ′( ).若 ( ) = 1 14 ，对任意 1 ∈ [ 2 , 1]，存在 2 ∈ [
1
2 , 2]，使
′( 1) ≤ ( 2)成立，则实数 ( )
第 1页，共 7页
A. 13 B. 11 C. 11 D. 13有最大值 2 有最小值 4 有最大值 4 有最小值 2
9.已知定义在 上的函数 ( )的导数为 ′( )， (1) = ，且对任意的 满足 ′( ) ( ) < ，则不等式
( ) > 的解集是( )
A. ( ∞,1) B. ( ∞,0) C. (0, + ∞) D. (1, + ∞)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分。
10.五名旅客在三家旅店投宿的方法有______种.
11.函数 ( ) = 2 + 1 的单调递减区间为______．
12 1.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 ( ) = 2 ′(1) + ，则 (1) = ______．
13.将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法数为______．
14.若关于 的方程 + 1 = ln 有解，则实数 的取值范围是__________．
15.已知函数 ( ) = 3 3 ，若对于区间[ 3,2]上任意的 1， 2都有| ( 1) ( 2)| ≤ ，则实数 的最小值
是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + 在 = 2 处取得极小值 5．
(1)求实数 ， 的值；
(2)当 ∈ [0,3]时，求函数 ( )的最小值．
17.(本小题 15 分)
在 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中选择若干个数．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字且不大于 3450 的四位数？
18.(本小题 15 分)
设函数 ．
(1)若 ( )在 = 0 处取得极值，求实数 的值；
(2)若 ( )在[3, + ∞)上为减函数，求实数 的取值范围．
19.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + ( ∈ )， ′( )为 ( )的导函数．
(Ⅰ)当 = 6 时，
第 2页，共 7页
(ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(ⅱ)求函数 ( ) = ( ) ′( ) + 9 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 ≥ 3 ′( )+ ′( ) ( ) ( )时，求证：对任意的 ， 1 2 1 21 2 ∈ [1, + ∞)，且 1 > 2，有 2 > ．1 2
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.243
11.(0,2)
12.3
13.480
14.( ∞, 1 2 ]
15.20
16.解：(1)由 ( ) = 2 3 2 + 12 + ，得 ′( ) = 6 2 2 + 12，
因为 ( )在 = 2 处取极小值 5，所以 (2) = 24 4 + 12 = 0，解得 = 9，
此时 ′( ) = 6 2 18 + 12 = 6( 1)( 2)，
所以 ( )在(1,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 2 时取极小值，符合题意，
所以 = 9， ( ) = 2 3 9 2 + 12 + ．
又 (2) = 4 + = 5，所以 = 1，
所以 = 9， = 1．
(2) ( ) = 2 3 9 2 + 12 + 1，所以 ′( ) = 6( 1)( 2)，
( )和 ′( )随着 的变化情况如下表所示．
0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
′( ) + 0 0 +
( ) 1 ↑ 极大值 6 ↓ 极小值 5 ↑ 10
第 4页，共 7页
所以 ∈ [0,3]时， ( ) = (0) = 1．
17.
2
18.解：(1) ′( ) = 3 +(6 ) + ，
∵ ( )在 = 0 处取得极值，∴ ′(0) = 0，解得 = 0，
2 2
当 = 0 时， ( ) = 3 ′( ) = 3 +6 ， ，符合题设；
(2)由 ( )在[3, + ∞)上为减函数，
∴ ′( ) ≤ 0 在[3, + ∞)上恒成立，
≥ 3
2+6
可得 1 在[3, + ∞)上恒成立．
2 2
令 ( ) = 3 +6 3[( 1) +1] 1 ，
′( ) = ( 1)2 < 0，
∴ ( )在[3, + ∞)上单调递减，
∴ ≥ (3) = 92．
因此 9的取值范围为：[ 2 , + ∞)．
第 5页，共 7页
19.解：( )( )当 = 6 时， ( ) = 3 + 6 ，
故 ′( ) = 3 2 + 6 ，
∴ ′(1) = 9，
∵ (1) = 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 1 = 9( 1)，即 9 8 = 0．
( ) ( ) = ( ) 9 3′( ) + =
3 + 6 3 2 + ， > 0，
4 3
∴ ( ) = 3 2 6 + 6 3 = 3 6 +6 3 = 3( 1)
3( +1)
′ 2 2 2 ，
令 ′( ) = 0，解得 = 1，
当 0 < < 1， ′( ) < 0，
当 > 1， ′( ) > 0，
∴函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
= 1 是极小值点，极小值为 (1) = 1，无极大值．
证明：(Ⅱ)由 ( ) = 3 + ，则 ′( ) = 3 2 + ，
对任意的 1， 2 ∈ [1, + ∞)

，且 11 > 2，令 = ， > 1，2
则( 1 2)[ ′( 1) + ′( 2)] 2[ ( 1) ( 2)] = ( 1 2)(3 2
2
1 + + 3 2 + ) 2(
3 31 2 +
1
1 2
)，
2
= 31 32 3 21 2
1
2 + 3 1 2 + (
2
) 2
1
2 1
，
2
= 3( 3 22 3 + 3 1) + (
1
2 )，①
令 ( ) = 1 2 ， > 1，
1 2 1
当 > 1 时， ′( ) = 1 + 2 2 = (1 ) > 0，
∴ ( )在(1, + ∞)单调递增，
∴当 > 1， ( ) > (1) = 0 1，即 2 > 0，
∵ 2 ≥ 1， 3 3 2 + 3 1 = ( 1)3 > 0， ≥ 3，
∴ 32( 3 3 2 + 3 1) + (
1
2 ) >
3 3 2 + 3 1 3( 1 3 2 3 2 ) = 3 + 6 + 1，
②，
由(Ⅰ)( )可知当 > 1 时， ( ) > (1)，
第 6页，共 7页
即 3 3 2 + 6 + 3 > 1，③，
由①②③可得( 1 2)[ ′( 1) + ′( 2)] 2[ ( 1) ( 2)] > 0，
∴当 ≥ 3 时，对任意的 1， 2 ∈ [1, + ∞)，且
′( 1)+ ′( 2) ( 1) ( 2)
1 > 2，有 2 > ．1 2
第 7页，共 7页