安徽省安庆市怀宁县新安中学2024-2025高二（下）3月阶段检测数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年安徽省怀宁县新安中学高二下学期 3 月阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.1080 不同的正因数个数为( )
A. 32 B. 36 C. 48 D. 50
2.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为( )
A. 36 B. 72 C. 78 D. 120
3.数学中“凸数”是一个位数不低于 3 的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没
有重复数字且大于 564 的三位数中“凸数”的个数为( )
A. 147 B. 112 C. 65 D. 50
4.如图，用 6 种不同的颜色把图中 ， ， ， 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂
法共有( )
A. 400 种 B. 460 种 C. 480 种 D. 496 种
5.图中的矩形的个数为( )
A. 12 B. 30 C. 60 D. 120
6.已知函数 是定义域为 的奇函数， ′ 是 的导函数， 1 = 0，当 < 0 时， ′ + 3 > 0，
则不等式 < 0 的解集为( )
A. ∞, 1 ∪ 0,1 B. 1,0 ∪ 0,1
C. ∞, 1 ∪ 1, + ∞ D. 1,0 ∪ 1, + ∞
7 > 0 ln .设实数 ，若对任意的 ∈ [2, + ∞)，不等式 2 2 ≥ 0 恒成立，则实数 的最小值为( )
A. ln24 B. 1 C.
1 1
2 D.
8.已知函数 = ln ，若 = 0 在 ∈ 0, 有实数解，则实数 的取值范围是( )
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A. 0, + ∞ B. 1 , + ∞ C. 1, + ∞ D. , + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选题)有 4 位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C.每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24 种
D.每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
10.若 ≥ ln + 2 对一切 ∈ 0, + ∞ 恒成立，则 的值可能为( )
A. 1 B.
1
2 C. 1 D.
11.灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出
+1
很多不等关系，如由 = ln 在点 1,0 处的切线 = 1 写出不等式 ln ≤ 1，进而用 ∈
替换
1 1得到一系列不等式，叠加后有 ln + 1 < 1 + 2 + 3 + +
1
这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法
推导，下面的不等式正确的有( )
A. ln + 1 ln > 1 +1， ≥ 2, ∈

B. 12 +
1
3 + +
1
< ln
3
C. 1 + 1 2 1 +
2
2 1 +

4
2 <
1 2 2 3 +1D. 2 + 3 +
1
+1 <
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 2, ( ) = ln ,，其中 ≠ 0，若曲线 = ( )和曲线 = ( )的公切线有两条，则 的
取值范围为 ．
13.已知 > 0, 2 2ln + 4 ≥ 2ln 恒成立，则正数 的取值范围为 ．
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14.将 3 个 1，3 个 2，3 个 3 共 9 个数分别填入如图 3 × 3 方格中，使得每行、每列的和都是 3 的倍数的
不同填法种数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从包含甲、乙 2 人的 7 人中选 4 人参加 4 × 100 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？(结
果用数字作答，否则无分)
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = 3 ln ．
(1)当 = 2 时，求 的单调区间；
(2)若对任意 > 1 都有 > 0，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
sin
已知函数 ( ) = 3 , ∈ 0, 2
(1)当 = 8 时，讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( ) < sin2 恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ln + 1 +1， ∈ ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2) ≥ 0，求 的值；
(3)对于任意的 ∈ 1，求证： =1 +1 < ln + 1 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 1， ∈ 0, + ∞ ， = sin ∈ ．
(1)若 ( )的极值点为 1，求实数 的值；
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(2)在(1)的前提下，若对 1 ∈ 0, + ∞ ，总存在 2 ∈ (0,

2 )，使得 1 < 2 成立，求实数 的取值范围；

(3) 1 2 证明不等式 sin + sin + + sin < 1 (其中 是自然对数的底数)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0 < < 2
13. 0,2
14.24
15.解：(1)第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从 3 个位置安排一个位置有 1 23 2，
第二步：从剩下 5 人中，需两人排在两个位置，有 25，
所有共有： 1 2 23 2 5 = 120；
(2)第一步，先从剩下 5 人中选 2 人排序，有 25，
第二步，甲乙两人从 3 个空中选 2 个空排序，有 23，
所以共有： 2 25 3 = 120；
(3)从 5 人中选 2 人加上甲乙 4 人的全排列有： 2 45 4，
其中甲跑第一棒的有： 2 3 2 35 3，乙跑第四棒的有： 5 3，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有： 25，
所以共有： 2 4 2 2 3 25 4 5 3 + 5 = 140．
16.解：(1)当 = 2 时， = 3 2ln ， 的定义域为 0, + ∞ ．
2 3 3 2 1 3 2+3 +2
因为 ′ = 3 2 1 = = ，
所以当 ∈ 0,1 时， ′ < 0， 单调递减；
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当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ > 0， 单调递增．
所以 的减区间为 0,1 ，增区间为 1, + ∞ ．
(2) = 3
3
因为 ′ ，
设 = 3 3 ， > 1，则 ′ = 9 2 1 > 0，所以 在 1, + ∞ 上单调递增．
当 ≤ 2 时， > 1 = 2 ≥ 0，即 ′ > 0，所以 在 1, + ∞ 上单调递增．
所以 > 1 = 0 恒成立，故 ≤ 2 满足题意．
当 > 2 时， 1 = 2 < 0，又 = 3 3 2 > 2 2 1 > 0，
因为 在 1, + ∞ 上单调递增，所以 0 ∈ 1, , 0 = 0，
所以当 ∈ 1, 0 时， < 0，即 ′ < 0．
所以 在 1, 0 上单调递减，此时 < 1 = 0，故 > 2 不合题意．
综上所述，实数 的取值范围是 2, + ∞ ．
3 2
17.解：(1) ′( ) = cos +3sin sin 6
2 + 3 2 3 2 2
= 4 = 4
令 2 = ，则 ∈ (0,1)
2
则 ′( ) = ( ) = 3 2 = +2 3 2 2
2
= 8, ′( ) = ( ) = 8 +2 3 = (2 1)(4 +3)当 2 2
当 ∈ 0, 12 ，即 ∈

4 ,
′
2 , ( ) < 0．
当 ∈ 12 , 1 ，即 ∈ 0,

4 ,
′( ) > 0．
所以 ( ) 0, 在 4 上单调递增，在 4 , 2 上单调递减
(2)设 ( ) = ( ) sin2
2
′( ) = ′( ) 2cos2 = ( ) 2 2 2 1 = +2 3 2 2(2 1) = + 2 4 +
2 3 2设 ( ) =
+ 2 4 + 2 3 2
2 6 4 3 2 + 6 2( 1)(2 2 +2 + 3)
′( ) = 4 2 + 3 = = > 0 3 3
所以 ( ) < (1) = 3．
1 若 ∈ ( ∞,3], ′( ) = ( ) < 3 ≤ 0
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即 ( )在 0, 2 上单调递减，所以 ( ) < (0) = 0．
所以当 ∈ ( ∞,3], ( ) < sin2 ，符合题意．
2 若 ∈ (3, + ∞)
2 3 1 1 2 1
当 → 0, 2 = 3 3 + 3 → ∞，所以 ( ) → ∞．
(1) = 3 > 0．
所以 0 ∈ (0,1)

，使得 0 = 0，即 0 ∈ 0, 2 ，使得 ′ 0 = 0．
当 ∈ 0, 1 , ( ) > 0，即当 ∈ 0, 0 , ′( ) > 0, ( )单调递增．
所以当 ∈ 0, 0 , ( ) > (0) = 0，不合题意．
综上， 的取值范围为( ∞,3]．
18.解：(1)由题设 = 1 +1 ′ +1 ( +1)2 = ( +1)2且 > 1，
当 ≤ 0 时， ′ > 0，即 在( 1, + ∞)上单调递增；
当 > 0 时，令 ′ = 0，则 = 1，
若 1 < < 1，则 ′ < 0，即 在( 1, 1)上单调递减，
若 > 1，则 ′ > 0，即 在( 1, + ∞)上单调递增；
(2)由 0 = 0 且 的定义域为( 1, + ∞)，
由(1)知 ≤ 0， 在( 1, + ∞)上单调递增，即( 1,0)上有 < 0，不符合；
所以 > 0，结合此时 的性质，只需 1 = ln + 1 ≥ 0，
令 ( ) = ln + 1，故 ′( ) = 1 1 = 1 ，
当 0 < < 1 时 ′( ) > 0，即 ( )在(0,1)上单调递增，
当 > 1 时 ′( ) < 0，即 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ln + 1 ≤ 0，
所以，只需 = 1，满足 ≥ 0．
(3)由(2)知，在 > 0 上 = ln + 1 +1 > 0，则 ln + 1 > +1，
令 = 1 , ∈
，则 ln 1 + 1 = ln( + 1) ln >
1
+1，
所以 ln2 ln1 + ln3 ln2 + + ln( + 1) ln = ln( + 1) > 1 =1 +1 ，得证．
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19. 1 1解：(1)因为 ( )的极值点为 1，且 ′( ) = ，所以 ′(1) = 1 = 0
所以 = 1，经检验符合题意，
因此可得 = 1．
(2)对 1 ∈ (0, + ∞)

，总存在 2 ∈ (0, 2 )使得 ( 1) < ( 2)成立，
等价于存在 2 ∈ (0,

2 )使得 ( )max < ( 2)成立，
1
由(1) ′( ) = 1 =
1
，若 ∈ (0,1)， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，若 ∈ (1, + ∞)， ′( ) < 0，
函数 ( )单调递减，所以 ( )max = 1 = 0，
所以存在 2 ∈ (0,

2 )，使得 ( 2) > 0，
( ) = sin ( ∈ )， ′( ) = cos ∈ (0, ，当 2 )时 cos ∈ (0,1)，

①当 ≥ 1 时，若 ∈ (0, 2 )， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减， ( ) < (0) = 0，不符合题意；
②当 0 < < 1 时， 0 ∈ (0,

2 )，使得 ′( 0) = 0，
∈ (0, 0)时， ′( ) > 0，函数单调递增； ∈ ( ,

0 2 )时， ′( ) < 0，函数单调递减，
即 ( )max = ( 0) > (0) = 0，则 2 ∈ (0,

2 )，使得 ( 2) > 0，符合题意；
③当 ≤ 0 时，若 ∈ (0, 2 )， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增， ( ) > (0) = 0，

则 2 ∈ (0, 2 )，使得 ( 2) > 0，符合题意；
综上可知，所求实数 的取值范围是( ∞,1)
(3)由(2)可得当 = 1 时， = sin , ′ = cos 1 ≤ 0, ∈ (0,1]，单调递减，所以 <
0 = 0，sin < ，

令 = ( ≤ , , ∈ )， ∈ (0,1]，有 sin

< ；
再由(2)可得 ( )max = 1 = 0, ≤ 0，即 ln ≤ 1 ln

，则 ≤ 1 = ，
ln

即 ≤ ln
≤ ∴ ，也即 ， ≤ ，
1 > 0，
1 1 1 ( ) + ( 2 ) + + ( ) ≤ 1 + 2 + + = = 1 1 < 1．
1 2 1 2
则 sin + sin + + sin < + + + < 1，

所以 sin 1 + sin
2
+ + sin

< 1．
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