宁夏银川一中2024-2025高二（下）第一次月考数学试卷（图片版含答案）

2024-2025 学年宁夏银川一中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，两门都不及格的占 3%，已知一学生
数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A. 0.2 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.6
2.函数 = + 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.(1 2 )5的展开式中系数最大的项是( )
A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项
4.某班准备从甲、乙、丙、丁 4 位同学中挑选 3 人，分别担任 2025 年元旦晚会的主持人、记分员和秩序
员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法
有( )种．
A. 18 B. 24 C. 27 D. 64
5.柜子里有 3 双不同的鞋，分别用 1， 2， 1， 2， 1， 2表示 6 只鞋.如果从中随机地取出 2 只，记事件 =“取
出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件 发生的概率 ( ) =( )
A. 12 B.
4 2 1
5 C. 5 D. 5
6.函数 ( ) = + 1，若存在 ∈ (0, + ∞)，使 ( ) ≥ 0 有解，则 的取值范围为( )
A. ( ∞,1] B. ( ∞,2] C. [1, + ∞) D. [2, + ∞)
7.0.9910的第一位小数为 1，第二位小数为 2，第三位小数为 3，则 1， 2， 3分别为( )
A. 9，0，4 B. 9，4，0 C. 9，2，0 D. 9，0，2
8 .函数 ( ) = sin( 4 )在 ∈ [0, ]上有且仅有 2 个极小值点，且最多有 5 个零点，则正整数 的最大值
为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九
章算法》一书中就有出现，比欧洲早 393 年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，
其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和.则下列命题中正确的是
( )
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A.第 行所有数之和为：2
B.第 7 行中从左到右第 5 个数与第 6 个数的比为 5：2
C. 2 + 2 + 2 2 22 3 4 + 5 + … + 12 = 286
D.由“除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为： = 1 +1 +
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、
“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选 2 门课程学习，共有 15 种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有 240 种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有 72 种排法
D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 504 种排法
11.已知函数 ( ) = 2( ∈ )，则下列结论正确的是( )
2
A.若 ( )有 2 个零点，则 = 4
B. = 1当 2时， ( )是增函数
C.当 = 1 时， ( ) ≥ 0 恒成立
D. = 1 1当 2时，若 0是 ( )的零点，则 1 < 0 < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知银川一中高二年级男女生人数之比为 11：9，3 月 18 日视力检测统计结果为男生近视率为 0.7，女
生近视率为 0.5，则高二年级学生的近视率为______．
13.某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码
确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有______种可能. (用数字作答)
14.从点 (2, )可向曲线 = 3引三条不同切线，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字．
(1)六位奇数；
(2)比 400000 大的正整数．
16.(本小题 15 分)
(2 + 1已知 ) 展开式前三项的二项式系数和为 22．
(1)求 的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题 15 分)
某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发
现该商品每日的销售量 ( )(单位：千克)与销售价格 (单位：元/ 千克)近似满足关系式 ( ) = 3 + (
6)2，其中，3 < < 6， ， 为常数，已知销售价格为 4.5 元/千克时，每日可售出 22 千克，销售价格为 5
元/千克时，每日可售出 11 千克．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若该商品的成本为 3 元/千克，请你确定销售价格 的值，使得商家每日获利最大．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + + 2， ∈ ．
(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处切线方程为 = + 1，求实数 的值；
(2) = ( ) ∈ ( 1+ 2 ) ≤ ( 1)+ ( 2)设函数 在区间 上有定义，若对任意的 1， 2 ，都有 2 2 ，则称函数 =
( )为区间 上的下凸函数.利用上述定义证明：函数 = ( )为定义域上的下凸函数；
(3)若对任意的 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 0，求实数 的最小值．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ( 1)3 ， ∈ ，其中 ， ∈ ．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )存在极值点 0，且 ( 1) = ( 0)，其中 1 ≠ 0，求证： 1 + 2 0 = 3；
(3)设 > 0，函数 ( ) = | ( )| 1，求证： ( )在区间[0,2]上的最大值不小于4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 61100
13.36
14.( 6,2)
15.288；
240．
16. ( 1)解：(1)二项式定理展开：前三项二项式系数为： 0 + 1 + 2 = 1 + + 2 = 22，
解得： = 6 或 = 7(舍去)．
即 的值为 6．
(2) 1
3
由通项公式 6 +1 = 6(2 ) ( ) =

626
6 2，
6 3 令 2 = 0，
可得： = 4．
12
∴展开式中的常数项为 4+1 = 4 6 4
6
62 2 = 60；
(3) ∵ 是偶数，展开式共有 7 项．则第四项最大，
9 3
∴展开式中二项式系数最大的项为 = 326 3 6 3+1 6 2 = 160 2．
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+ (4.5 6)2 = 22
17.解：(1)由题意可得， 4.5 3 2 ，
5 3+ (5 6) = 11
= 6
解得 = 8，
∴ ( ) = 6 3 + 8( 6)
2(3 < < 6)；
(2)设水果店每日销售这种水果所获得的利润为 ( )，
则 ( ) = ( 3) ( ) = ( 3)[ 6 2 3 + 8( 6) ] = 6 + 8( 3)( 6)
2 = 8 3 120 2 + 576 858，其
中 3 < < 6，
∴ ′( ) = 24 2 240 + 576 = 24( 4)( 6)，
令 ′( ) = 0 得， = 4 或 6，
当 ∈ (3,4)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 ∈ (4,6)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴当 = 4 时， ( )在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值，
即 = 4 时，函数 ( )取得最大值 (4) = 38，
∴当销售价格为 4 元/千克时，商家每日获利最大．
18.解：(1) ∵ ′( ) = 1 + ，曲线 = ( )在点(1, (1))处切线方程为 = + 1，
∴ ′(1) = 1 + = 1，解得 = 2．
(2)证明：函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，设 1， 2 ∈ (0, + ∞)，

则 ( ) + ( ) 2 ( 1+ 21 2 2 )
= 1+ 2 1+ 21 + 1 + 2 2 + 2 + 2 2( ln 2 + 2 + 2)
= + 2 1+ 21 2 2 = ln(
1+ 2
2 )
2 ln( 1 2)
= ln ( 1+ 2)
2
4 ，1 2
∵ 1， 2 ∈ (0, + ∞)，
∴ ( + )2 = 2 21 2 1 + 2 + 2 1 2 ≥ 4 1 2 > 0，
2
∴ ( 1+ 2)4 ≥ 1(当且仅当 1 = 2时取等号)，1 2
∴ ln ( 1+ 2)
2
4 ≥ 1 = 0(当且仅当 1 = 2时取等号)，1 2
∴ ( ) + ( ) 2 ( 1+ 21 2 2 ) ≥ 0，
( 即 1+ 2 ) ≤ ( 1)+ ( 2)2 2 ，
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∴ ( )是定义域内的下凸函数．
(3)法 1：由 ( ) = + + 2 ≥ 0 且 > 0，
≥ +2得 +1 对任意 > 0 恒成立，
1
+2 + 1
设 ( ) = +1 ，∴ ′( ) =

( +1)2 ，
令 ( ) = + 1 1 1 1 +1 ，则 ′( ) = 2 = 2 < 0，
∴函数 ( ) = + 1 1 在(0, + ∞)上是减函数，且 (1) = 0．
∴当 ≥ 1 时， ( ) ≤ 0；当 0 < < 1 时， ( ) > 0．
当 ∈ (0,1)， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) = ( )极大值 = (1) = 1，
∴ ≥ 1，
即 的最小值为 1．
法 2：∵ ′( ) = 1 + = 1 ，
当 ≤ 0 时，∵ > 0，∴ ′( ) < 0，即 ( )为减函数，
又 (1) = 2 2 < 0 与 ( ) ≥ 0 矛盾，
∴ ≤ 0 不满足题意；
当 > 0 时，令 ( ) = 1 1′ = 0，解得 = ∈ (0, + ∞)，
∴ 1当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 1 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
∴ ( ) 1 = ( ) = + 1．
设 ( ) = + 1( > 0), ′( ) = 1 + 1 > 0，∴ ( )在(0, + ∞)是增函数，
又 (1) = 1 + 1 1 = 0，
∴当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0；
当 0 < < 1 时， ( ) < 0．
∵ ( ) ≥ 0 恒成立，∴ ≥ 1．
综上可得 ≥ 1，即 的最小值为 1．
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19.解：(1)函数 ( ) = ( 1)3 的导数为
′( ) = 3( 1)2 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )在 上递增；
> 0 3 3 3 3 当 时，令 ′ = 0，解得 = 1 + 3 ,或 = 1 3 ，当 > 1 + 3 或 < 1 3 时， ′( ) > 0，
当 1 3 3 3 < < 1 + 3 时， ′( ) < 0，
( ) ( ∞,1 3 ) (1 + 3 , + ∞) (1 3 , 1 + 3 可得 的增区间为 3 ， 3 ，减区间为 3 3 )；
(2)证明：因为 ( )存在极值点，则由(1)知 > 0，且 0≠1,
′( 0) = 0，可得 3( 0 1)2 = ，
由 ( 0) = ( 0 1)3 3 20( 0 1) = ( 0 1)2( 2 0 1) ，
(3 2 0) = (2 2 0)3 3(3 2 20)( 0 1)
= ( 0 1)2(8 8 0 9 + 6 0) = ( 0 1)2( 2 0 1) ，
即为 (3 2 0) = ( 0) = ( 1)，
又 ( )存在极值点，则 > 0，且 3 2 0≠ 0,
又结合(1)中结论可知 3 2 0 = 1，即为 1 + 2 0 = 3；
(3)证明：要证 ( ) 1在区间[0,2]上的最大值不小于4，
1
即证在[0,2]上存在 1， 2，使得 ( 1) ( 2) ≥ 2．
当 ≥ 3 时， ( )在[0,2]递减， (2) = 1 2 ， (0) = 1 ，
(0) (2) = 2 2 ≥ 4 > 12，成立；
当 0 < < 3 时， (1 3) = (
)3 (1 3 3) = 3 3 + 3
= 2 3 3 ，
3 (1 + 3) = ( 3) (1 + 3) = 3 3 3
= 2 3 3 ，
(2) = 1 2 ， (0) = 1 ，
(2) (0) = 2 2 ，
由(2)知存在 1 ∈ ，使得 ( 1) = (1

3)

，其中 1 ≠ 1 3，且 1 = 3 2(1

3)，
存在 2 ∈ ，使得 ( 2) = (1 +

3)，其中 2 ≠ 1 +

3，且 2 = 3 2(1 +

3)，
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3
若 2 ≥ 0 即 3 2(1 + 3) ≥ 0 亦即 0 < ≤ 4时， ( )在[0,2]的最大值和最小值分别为 (2)和 (0)，则
(2) (0) = 2 2 ≥ 12成立；

若 2 < 0 即 3 2(1 + 3) < 0
3
亦即 > 4时， ( )在[0,2]

的最大值和最小值分别为 (1 3)和 (1 + 3)，
则 (1 3) (1 +
) = 4 > 13 3 3 2成立．
1
综上可得， ( )在区间[0,2]上的最大值不小于4．
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