重庆市西南大学附中2025年高考数学二诊试卷（图片版含答案）

2025 年重庆市西南大学附中高考数学二诊试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 2 ≤ 0}， = { | = ln( 1)}，则 ∩ =( )
A. (1,2] B. (0,2] C. (2, + ∞) D. [2, + ∞)
2.已知向量 = (1,2)， = ( , 1)， = (2, 5)，若( + ) ⊥ ，则 =( )
A. 5 B. 32 2 C.
3 5
2 D. 2
3.已知 3 + 是关于 的方程 2 + = 0 的一个根， ∈ ， ∈ ，则 + =( )
A. 4 B. 4 C. 16 D. 16
4.已知 cos( 6 ) =
4
5，则 cos(2 + 3 ) =( )
A. 18 B. 7 C. 7 D. 1825 25 25 25
5.已知圆 ： 2 + 2 4 2 4 = 0，直线 ： + 3 = 0，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 6 D. 2 2
6.某学校拟派 2 名语文老师、3 名数学老师和 3 名体育老师共 8 人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两
个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有( )
A. 72 种 B. 36 种 C. 24 种 D. 18 种
7.如图，在三角形 中，已知 = 2， = 3 3, ∠ = 6， ， 边上的两条中线 ， 相交于点
，则 cos∠ =( )
A. 7 B. 2 7 C. 5 7 D. 10 77 7 49 49
8 .已知函数 ( ) = 2 2 .若数列{ }的前 项和为 ，且满足 = ( +1)， 2 = 21，则 1的最大值为( )
A. 23 B. 12 C. 20 D. 452
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.一组数 5，7，9，11，3，13，15 的第 60 百分位数是 11
B.若随机变量 ， 满足 = 3 2， ( ) = 3，则 ( ) = 9
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C.一组数据( , )(1 ≤ ≤ 15, ∈ )的线性回归方程为 = 3 + 2，若 = 2，则 = 8
D.某学校要从 12 名候选人(其中 7 名男生，5 名女生)中，随机选取 5 名候选人组成学生会，记选取的男生
人数为 ，则 服从超几何分布
10.已知 ， 均为正数，且 + 4 = ，则下列选项正确的有( )
A. ≥ 16 B. 4 + ≥ 25
C. 1 1 4+ 1 ≥ 1 D. + ≥ 10
11.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = = 1 = 2，点 ， 分别是 1 1， 1 的中点，
则下列说法正确的是( )
A.异面直线 1与 1 所成的角为 45°
B. 1 ⊥ 1
C.若点 是 4 5 2 171 1的中点，则平面 截直三棱柱所得截面的周长为 3 + 2 + 3
D.点 是底面三角形 3 2内一动点(含边界)，若二面角 1 的余弦值为 3 ，则动点 的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若( + 1)5的展开式中 3的系数是 80，则实数 的值是______．
13.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( ) = (2 )，当 ∈ [0,1)时， ( ) = 2 ，函数 ( ) =
1( 1 ≤ ≤ 3)，则 ( )与 ( )的图象所有交点的横坐标之和为______．
14.项数为 的数列{ }满足 ∈ {0,1}( = 1，2，…， )，当且仅当 1 = +1时 = 0(其中 = 1，2，…，
，规定： 0 = ， +1 = 1)，称{ }为“好数列”.在项数为 6 且 ∈ {0,1}( = 1，2，…，6)的所有{ }
中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了 400 名学生的成绩样本，并将他们的数学
和语文成绩整理如表：
单位：人
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语文成绩
数学成绩
不优秀 优秀
不优秀 180 90
优秀 50 80
(1)依据 = 0.05 的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
(2)以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取 5 人，设其中恰有 位学生的语文成绩
优秀，求随机变量 的分布列以及数学期望．
附：
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2
2
( )
= ( + )( + )( + )( + )
16.(本小题 15 分)
△ 2在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 + = 0， = 4 .
(1)求 ；
(2)若△ 1的面积为4， 是 上的点，且∠ =
3
4 ，求 的长．
17.(本小题 15 分)
如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形，平面 ⊥平面 ， // ， / /
， ⊥ ， ⊥ ， = = 2 = 2 = 2，且 > 1．
(1)已知点 为 上一点，且 = 1，证明： / /平面 ；
(2)若平面 8与平面 所成锐二面角的余弦值为9，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中，点 到定点 (4,0)的距离与点 到直线 ： = 1 的距离之比为 2，点 的轨迹为曲线 ．
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(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 (1, )， ≠ 0， ， 为曲线 的左、右顶点.若直线 ， 与曲线 的右支分别交于点 ， ．
(ⅰ)求实数 2的取值范围；
(ⅱ) |
|| |
求
| ||
的最大值．
|
19.(本小题 17 分)
定义：若函数 ( )图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 = ( )在 和 处的切线重合，则称 ， 为曲
线 = ( )的“双重切点”，直线 为曲线 = ( )的“双重切线”．
(1)直线 = 2 是否为曲线 ( ) = 3 + 1 的“双重切线”，请说明理由；
2
(2)已知函数 ( ) = , ≤ 0,求曲线 = ( )的“双重切线”的方程；
, > 0,
(3)已知函数 ( ) = ，直线 为曲线 = ( )的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 1，
… 152 ， ，若 1 > 2 > ( = 3,4,5, …, )，证明： 1 < ．2 8
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参考答案
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10.
11.
12.2
13.5
14. 116
15.解：(1)零假设 0为：学生的数学成绩与语文无关，
2 = 400(180×80 90×50)
2 145200
由题 270×130×230×170 = 5083 = 28.566 > 3.841，
所以依据 = 0.05 的独立性检验，推断零假设 0不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推
断犯错误的概率不大于 5%；
(2) 90 1由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为180+90 = 3，
1
随机变量 的取值有 0，1，2，3，4，5，由已知 ～ (5, 3 )，
则 ( = 0) = 0 2 5 1 0 325( 3 ) ( 3 ) = 243，
( = 1) = 1( 2 )4( 1 )1 = 805 3 3 243，
( = 2) = 2( 2 )3( 1 )2 = 805 3 3 243，
( = 3) = 3( 2 )2( 1 )3 405 3 3 = 243，
( = 4) = 45(
2 1 1 4 10
3 ) ( 3 ) = 243，
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( = 5) = 5( 25 3 )
0( 1 )53 =
1
243，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
132 80 80 40 10 243
243 243 243 243 243
所以 ( ) = 5 × 1 53 = 3．
16.
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17.
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18.解：(1)设 ( , )，
由题意知 ( 4)2 + 2 = 2| 1|，
2 2
化简得曲线 的方程为： ；4 12 = 1
(2)( )由题意， ( 2,0)， (1, )， ≠ 0，
可设直线 3方程为 = 2，其中 = ，
= 2
由 2 23 2 2 = 12 (3 1) 12 = 0 =
12
3 2 1，
因为 在右支上，
12 36 2
所以 > 0 3 9
> 0 27 > 0 0 < < 27 1 ，
2 2
1
设直线 方程为 = + 2， = 1 ，
= + 2 2 2 12 由 3 2 2 = 12 (3 1) + 12 = 0 = 3 2 1，
因为 在右支上，
< 0 12 < 0 12 2所以 3 1 3
< 0 > 3，
2
1
2
1
综上，实数 2的取值范围是(3,27)；

( ) ( ) | ||
|
由 可得：
|
= | | | |，
|| | 0
12 3 12 ( 1
= 36
) 12
又 3 9
=
1 27 2
， = 3 1
= 3 2，
2 2
1
| || | 27 2 3 2
所以| ||
= |
| 36
| | 12 | = | 2+9
9+ 2 |，
27 2 3 2
令 2 + 9 = ，12 < < 36，
| || | = (36 )( 12) 48 36×12
2
则
| ||
=
| 2 2
= 432 48 1 1 2 + 1 = 432( 2 9 ) 1
= 432( 1 1 2 1 1 18 ) + 3 ≤ 3，
当且仅当 = 18， =± 3 时等号成立，
| || | 1
即
|
的最大值是 ．
|| | 3
19. 1解：(1) ( ) = 3 + 的定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
求导得 ′( ) = 3 2 1 2，直线 = 2 的斜率为 2，
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令 ′( ) = 3 2 1 2 = 2，解得 =± 1，
不妨设切点 ( 1, 2)， (1,2)，
则点 处的切线方程为 + 2 = 2( + 1)，即 = 2 ，
点 处的切线方程为 2 = 2( 1)，即 = 2 ，
所以直线 = 2 1是曲线 ( ) = 3 + 的“双重切线”．
2 , ≤ 0
(2) , ≤ 0函数 ( ) = ，求导得 ′( ) = 1
, > 0 , > 0
，
显然函数 = 在( ∞,0) 1上单调递增，函数 = 在(0, + ∞)上单调递减，
设切点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则存在 1 < 0 < 2，使得 ′( 1) = ′( 2)，
2
则在点 处的切线方程为 ( 1 ) = 1 ( 1)，
1
在点 处的切线方程为 2 = ( 2)，2
1 = 1 2
因此 2 ，消去 2可得 1 1 1 + 1 + 1 = 0，
1 1 1
2
= 2 1
( ) = + 2 + 1( < 0)，
求导得 ′( ) = (1 + ) + 1 = + 1 > 0，
则函数 ( )在( ∞,0)上单调递增，又 ( 1) = 0，
函数 ( )的零点为 1，因此 1 = 1， 2 = ，

所以曲线 = ( )的“双重切线”的方程为 = ；
(3)设 1对应的切点为( 1, 1)，( 1, 1)， 1 < 1，
2对应的切点为( 2, 2)，( 2, 2)， 2 < 2，
由( )′ = ，得 1 = 1 = 1， 2 = 2 = 2，

由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑 1 + 1 = 2 ， 2 + 2 = 4 ，其中 1， 2 ∈ ( 2 , 0)，
由 1 > 2及余弦函数在( 2 , 0)上递增知， 2 < 2 < 1 < 0，
= 1 1 = sin(2 1) 2 则 1 1 11 1 1 (2 1)
= 2 2 = ，1 1 1
= 2 2 = sin(4 2) 2 2 2 22 2 2 (4 )
= 4 2 = 2 2 2 2
，
2

因此 1 =
1 2 2
，又 1 = =
1 2
1
2 2 1
， 2 = 2 = ，
1 2 2
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则 1 = ( 1 ) 1 1 1 + = 0，同理 2 2 + 2 = 0，
( ) = + ( < < 0) ( ) = 1
2
令 2 ，求导得 ′ cos2 1 =
sin 2
cos2 = tan > 0．
则 ( ) ( 3 在 2 , 0)上单调递增，显然 ( 3 ) > 0，且 ( ) < + 2，
函数 = + 3 2在( 2 , 0)上的值域为( ∞,
3
2 )，

即函数 ( )在( 2 , 0)上存在零点，则有 2 < 1 <

3，
由 2 2 + 2 = 0

，同理可得 2 < <

2 3，而 2 < 1，
因此 2 < 2 < 1 <

3，于是 2 < 1 < 0

，即有 0 < 1 < 1．2

1 = 1 2 2 < 2
2 + 15 15
所以 2 2 1 2 2 1
<
1 +
=
3 8
，即 <2 8
．
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