2026全国版高考数学一轮基础知识练--8.3　双曲线

2026全国版高考数学一轮
8.3　双曲线
高考新风向·创新考法思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅱ,19,17分,难)知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0五年高考
考点1　双曲线的定义和标准方程
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线=1的离心率为2,且过点(,),则双曲线的方程为(　　)
A.2x2-y2=1　　　　B.x2-=1
C.5x2-3y2=1　　　　D.=1
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|= (　　)
A.
3.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
4.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　D.2
5.(2024天津,8,5分,中)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
考点2　双曲线的几何性质
1.(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= (　　)
A.
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 (　　)
A.(1,1)　　　　B.(-1,2)
C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)
6.(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.
7.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+x,则m=　　　　.
8.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　.
9.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.
10.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　　　　,　　　　.
11.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　.
12.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:　　　　.
13.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,,,则C的离心率为　　　　.
三年模拟
基础强化练
1.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于 (　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.4
2.(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左、右两支分别交于A,B两点,若tan∠F1BF2=,则双曲线的离心率为 (　　)
A.　　　　
C.
3.(2025届湖北武汉江汉开学考,7)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△ABF1的周长为10a,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.
C.
4.(2024山东泰安二模,8)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF的周长最小时,该三角形的面积为(　　)
A.36
5.(多选)(2025届湖南郴州一模,10)已知曲线C:x2cos θ+y2sin θ=1,θ∈(0,π),则下列说法正确的是 (　　)
A.若cos θ=0,则曲线C表示两条直线
B.若cos θ>0,则曲线C是椭圆
C.若cos θ<0,则曲线C是双曲线
D.若cos θ=-sin θ,则曲线C的离心率为
6.(2025届北京中关村中学月考,14)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一动点,则双曲线的渐近线为　　　　,的最小值为　　　　.
7.(2025届江苏南通名校联盟联考,12)已知F1,F2是双曲线E:=1的两个焦点,点M在E上,如果,则△MF1F2的面积为　　　　.
8.(2025届湖南长沙六校联考,13)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F1的直线l交E的左支于A,B两点.|OB|=|OF1|(O为坐标原点),记点O到直线l的距离为d,则=　　　　.
能力拔高练
1.(2025届浙江省名校协作体开学考,7)已知A,B是椭圆=1的公共顶点,M是双曲线上一点,直线MA,MB分别交椭圆于C,D两点,若直线CD过椭圆的焦点F,则线段CD的长度为 (　　)
A.
2.(2024浙江杭州二中模拟,7)已知双曲线=1(a,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点,且||,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x
C.y=±x
3.(2024浙江杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中三模,8)已知双曲线=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A.(,+∞)　　　　B.(,+∞)
C.(2,+∞)　　　　D.
4.(多选)(2025届浙江新阵地联盟联考,10)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=上的动点,下列说法正确的是 (　　)
A.三角形AF1F2的周长是12
B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线,且双曲线E的焦距为8,则双曲线E的方程为x2-y2=8
C.若|QF1|+|QF2|=8,则Q的位置不唯一
D.若P是双曲线左支上一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值是5+
5.(多选)(2024重庆一中模拟,10)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的两个焦点分别为F1,F2,过F2作斜率为的直线,与双曲线相交于点P,若|PF1|=|F1F2|,则双曲线的离心率可能是 (　　)
A.+2
6.(多选)(2025届湖南长沙雅礼中学月考,11)直线y=kx与双曲线=1交于P,Q两点,点P位于第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为N,点F为双曲线的左焦点,则 (　　)
A.若|PQ|=2,则PF⊥QF
B.若PF⊥QF,则△PQF的面积为4
C.>2
D.|PF|-|PN|的最小值为4
7.(2025届江苏南京六校联合体学情调研,14)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为2,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,若△F1PF2的面积为4,则a=　　　　.
创新风向练
(创新知识交汇)(2024北京十一学校三模,15)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异.”“势”即是几何体的高,“幂”是截面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在x轴上,离心率为,且过点(2,2),则双曲线的渐近线方程为　　　　.若直线y=0与y=6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为　　　　.
8.3　双曲线
高考新风向·创新考法思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅱ,19,17分,难)知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0解析　(1)如图1所示,由已知直线P1Q1的方程为y-4=(x-5),即y=,
又点P1(5,4)在双曲线x2-y2=m上,∴m=52-42=9,联立消去y得x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3,由P1(5,4),知Q1(-3,0),
由已知Q1关于y轴的对称点为P2,则P2(3,0),故x2=3,y2=0.
(2)证法一:由已知Pn(xn,yn)在双曲线上,如图2所示,设Pn-1(xn-1,yn-1)(n=2,3,…),则=9,由已知得直线Pn-1Qn-1的方程为y-yn-1=k(x-xn-1),
联立消去y得(1-k2)x2-2k(yn-1-kxn-1)x-(yn-1-kxn-1)2-9=0,(※)
设Qn-1(x0,y0),∵xn-1是方程(※)的一个根,∴由根与系数的关系得x0+xn-1=,
∴x0=,
∴y0=k(x0-xn-1)+yn-1=,
即Qn-1,
则Pn,
∴xn-yn=
=,
∴(n=2,3,…)(0∴数列{xn-yn}是公比为的等比数列.
证法二:由已知Pn(xn,yn),则Pn关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),
又Pn-1(xn-1,yn-1)且Pn-1Qn-1是斜率为k的直线,
∴=k,又Pn-1,Qn-1两点都在双曲线上,
∴
①-②可得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),
∴=-k,
即
④-③得(xn-yn)-(xn-1-yn-1)=k[(xn-yn)+(xn-1-yn-1)],
∴(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),
∴,
∴数列{xn-yn}是公比为的等比数列.
(3)证法一:如图3,设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),∴=(xn-xn+1,yn-yn+1),=(xn+2-xn+1,yn+2-yn+1).
∴|·sin∠PnPn+1Pn+2
=
=
=|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|,
又∵xn-yn=(x1-y1)(n=1,2,3,…),且(xn,yn)在双曲线x2-y2=9上,∴=9.
∴xn+yn=,
令=p,由01,且
∴xn=(pn-1+9p1-n),yn=(9p1-n-pn-1),
∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn)
=[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n-1),
又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn)
=[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n-1),
∴|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=[(p-1)2-(1-p)2·p-2],
∴Sn=[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=(p-1)2(常数),故{Sn}为常数列,从而Sn=Sn+1.
证法二:要证Sn+1=Sn,即证,
即证PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)
设=p,同证法一得xn-yn=pn-1,
xn=(pn-1+9p1-n),yn=(9p1-n-pn-1),
则
=1-
=1-.
=1-
=1-.
故,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2,原式得证.
五年高考
考点1　双曲线的定义和标准方程
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线=1的离心率为2,且过点(,),则双曲线的方程为(　　)
A.2x2-y2=1　　　　B.x2-=1
C.5x2-3y2=1　　　　D.=1
答案　B　
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|= (　　)
A.
答案　D　
3.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　D　
4.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　D.2
答案　B　
5.(2024天津,8,5分,中)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　A　
考点2　双曲线的几何性质
1.(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.
答案　C　
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= (　　)
A.
答案　D　
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
答案　A　
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
答案　B　
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 (　　)
A.(1,1)　　　　B.(-1,2)
C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)
答案　D　
6.(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.
答案　
7.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+x,则m=　　　　.
答案　-3
8.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　.
答案　=1
9.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.
答案　
10.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　　　　,　　　　.
答案　y=x;y=-x
11.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　.
答案　4
12.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:　　　　.
答案　2(答案不唯一,在(1,]范围内取值均可)
13.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,,,则C的离心率为　　　　.
答案　
三年模拟
基础强化练
1.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于 (　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.4
答案　D　
2.(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左、右两支分别交于A,B两点,若tan∠F1BF2=,则双曲线的离心率为 (　　)
A.　　　　
C.
答案　A　
3.(2025届湖北武汉江汉开学考,7)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△ABF1的周长为10a,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.
C.
答案　D　
4.(2024山东泰安二模,8)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF的周长最小时,该三角形的面积为(　　)
A.36
答案　D　
5.(多选)(2025届湖南郴州一模,10)已知曲线C:x2cos θ+y2sin θ=1,θ∈(0,π),则下列说法正确的是 (　　)
A.若cos θ=0,则曲线C表示两条直线
B.若cos θ>0,则曲线C是椭圆
C.若cos θ<0,则曲线C是双曲线
D.若cos θ=-sin θ,则曲线C的离心率为
答案　ACD　
6.(2025届北京中关村中学月考,14)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一动点,则双曲线的渐近线为　　　　,的最小值为　　　　.
答案　y=±x;-2
7.(2025届江苏南通名校联盟联考,12)已知F1,F2是双曲线E:=1的两个焦点,点M在E上,如果,则△MF1F2的面积为　　　　.
答案　16
8.(2025届湖南长沙六校联考,13)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F1的直线l交E的左支于A,B两点.|OB|=|OF1|(O为坐标原点),记点O到直线l的距离为d,则=　　　　.
答案　
能力拔高练
1.(2025届浙江省名校协作体开学考,7)已知A,B是椭圆=1的公共顶点,M是双曲线上一点,直线MA,MB分别交椭圆于C,D两点,若直线CD过椭圆的焦点F,则线段CD的长度为 (　　)
A.
答案　B　
2.(2024浙江杭州二中模拟,7)已知双曲线=1(a,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点,且||,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x
C.y=±x
答案　C　
3.(2024浙江杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中三模,8)已知双曲线=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A.(,+∞)　　　　B.(,+∞)
C.(2,+∞)　　　　D.
答案　A　
4.(多选)(2025届浙江新阵地联盟联考,10)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=上的动点,下列说法正确的是 (　　)
A.三角形AF1F2的周长是12
B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线,且双曲线E的焦距为8,则双曲线E的方程为x2-y2=8
C.若|QF1|+|QF2|=8,则Q的位置不唯一
D.若P是双曲线左支上一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值是5+
答案　ACD　
5.(多选)(2024重庆一中模拟,10)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的两个焦点分别为F1,F2,过F2作斜率为的直线,与双曲线相交于点P,若|PF1|=|F1F2|,则双曲线的离心率可能是 (　　)
A.+2
答案　AD　
6.(多选)(2025届湖南长沙雅礼中学月考,11)直线y=kx与双曲线=1交于P,Q两点,点P位于第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为N,点F为双曲线的左焦点,则 (　　)
A.若|PQ|=2,则PF⊥QF
B.若PF⊥QF,则△PQF的面积为4
C.>2
D.|PF|-|PN|的最小值为4
答案　AD　
7.(2025届江苏南京六校联合体学情调研,14)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为2,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,若△F1PF2的面积为4,则a=　　　　.
答案　2
创新风向练
(创新知识交汇)(2024北京十一学校三模,15)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异.”“势”即是几何体的高,“幂”是截面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在x轴上,离心率为,且过点(2,2),则双曲线的渐近线方程为　　　　.若直线y=0与y=6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为　　　　.
答案　y=±2x;6π
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