第十七章 勾股定理 单元全优突破卷（原卷版 解析版）

勾股定理 单元全优突破卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，10，12 D．6，7，8
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．72 B．52 C．80 D．76
4．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD，AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）
A．2 B．2 C．2+ D．2+
5．如图所示，求黑色部分(长方形)的面积为（　　）
A．24 B．30 C．48 D．18
6．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
7．如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG
8．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm， 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点相对，要爬行的最短路程（ 取3）是（　　）
A．20cm B．14cm C．10cm D．无法确定
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（　　）
A． B． C．10 D．8
10．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若三角形的两边长为6和8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为　 　．
12．抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当是等腰直角三角形时，点D的坐标为　 　；
（2）当是直角三角形时，a的值为　 　．
13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)设长方形门的宽 尺，可列方程为　 　．
14．若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC的面积为　 　．
15．如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是　 　．
16． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了　 　米.（假设绳子是直的)
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长．
（3）若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________．
18．如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
19．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝6，求四边形ABCD的面积．
20．
（1）如图1，在中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求AB的长.
（2）如图2，在中，，，求BC的长.
21．已知等腰 ， ， ， ，求 边上的高 的长.
22．已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形，
（1）在图1中，当m时，的周长为______；
（2）在图2中，当m时，的周长为_______；
（3）在图3中，当时，求的周长．
23．如图，在中，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点；以点为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点，连结CD.
（1）若∠A=28°，的度数.
（2）若，求AD的长.
24．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
25．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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勾股定理 单元全优突破卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，．若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，10，12 D．6，7，8
【答案】B
3．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．72 B．52 C．80 D．76
【答案】D
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169
所以x=13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选：D．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
4．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD，AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）
A．2 B．2 C．2+ D．2+
【答案】B
【解析】【解答】∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°，
∴∠EFB=∠CFD=30°，
∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，
∴BE=EF=CF=CD，
∴四边形AEFC的周长=AB+AC，
∵∠A=90°，AE=AC=1，
∴AB=AD= ，
∴四边形AEFC的周长=2 ．
故答案为：B．
【分析】由∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出BC=DE=2；再根据勾股定理得出AB=AD=；由三角形内角和为180°得出∠AED=∠ACB=60°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和得出∠EFB=∠CFD=30°；根据等角对等边得出BE=EF=CF=CD；从而得出四边形AEFC的周长.
5．如图所示，求黑色部分(长方形)的面积为（　　）
A．24 B．30 C．48 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理，直角三角形的斜边==10
∴矩形的面积=10×3=30
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理计算得到直角三角形斜边的长，再计算矩形的面积即可。
6．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BE=EC，BD=CD=5，
∴BC=10，
∵AB=8，AC=6，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，设AE=x，则BE=EC=8﹣x，
在Rt△AEC中，则有x2=（8﹣x）2+62，
解得x= ，
∴AE= ，
故答案为：A．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BE=EC，BD=CD=5，故BC=10，根据勾股定理的逆定理得出∠A=90°，设AE=x，则BE=EC=8﹣x，然后利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案。
7．如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG
【答案】D
8．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm， 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点相对，要爬行的最短路程（ 取3）是（　　）
A．20cm B．14cm C．10cm D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC= (cm)，矩形的宽AC=8 cm，
在直角三角形ABC中，AC=8 cm，BC=6 cm，
根据勾股定理得：AB= (cm).
所以蚂蚁要爬行的最短距离为10cm.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间，线段最短.先将图形展开，再根据勾股定理可知.
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（　　）
A． B． C．10 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连结AE，
设AC交EF于O，
依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，
所以，△OAF≌△OCE（ASA），
所以，EC＝AF＝5，
因为EF为线段AC的中垂线，
所以，EA＝EC＝5，
又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，
所以，AC＝
【分析】
连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，然后根据ASA证明△AOF≌△COE进而得出AF=CE=5，等量代换得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理即可求出AC．
10．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若三角形的两边长为6和8，要使其成为直角三角形，则第三边的长为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：①第三边为斜边时，
第三边长==10；
②当第三边为直角边时，斜边为8，
第三边长为=
=
故答案为：10或.
【分析】分两种情况：第三边为斜边时；第三边为直角边时，根据勾股定理即可求解。
12．抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当是等腰直角三角形时，点D的坐标为　 　；
（2）当是直角三角形时，a的值为　 　．
【答案】；
13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)设长方形门的宽 尺，可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意，利用勾股定理得：x2+（x+6.8）2=102，
故答案为：x2+（x+6.8）2=102．
【分析】利用勾股定理求出x2+（x+6.8）2=102，即可作答。
14．若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC的面积为　 　．
【答案】30
15．如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是　 　．
【答案】
16． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了　 　米.（假设绳子是直的)
【答案】9
【解析】【解答】解：由题意得到：
∴
∴
∴船向岸边移动了9米，
故答案为：9.
【分析】由题意得到：利用勾股定理求出AB、AD的长度，进而可得到BD的长度，进而即可求解.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长．
（3）若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________．
【答案】（1）
（2）边长为，面积为
（3）
18．如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
【答案】（1）的长为；
（2）t的值为4或8或；
（3）当t为1或7时，能使．
19．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝6，求四边形ABCD的面积．
【答案】4+4．
20．
（1）如图1，在中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求AB的长.
（2）如图2，在中，，，求BC的长.
【答案】（1）解：在Rt中，，
；
（2）解：作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠ACD=∠BAC-∠D=30°；
∴，
∴BD=AD+AB=2+2=4，
在Rt△ADC中，∠D=90°，AC=4，AD=2，
∴CD2=AC2-AD2=42-22=12，
在Rt△BCD中，.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理可算出AB的长；
（2）作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，由三角形外角性质可得∠ACD=30°，由含30°角直角三角形的性质可得，进而根据线段的和差算出BD=4，最后在Rt△ACD中，根据勾股定理算出CD2，在Rt△BCD中，用勾股定理算出BC即可.
21．已知等腰 ， ， ， ，求 边上的高 的长.
【答案】解： 如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC=5，BC= ，
∴BE=CE= ，
∴AE= = ，
∴BD=AE×BC÷AC=3.
【解析】【分析】 过点A作AE⊥BC，垂足为E， 根据等腰三角形的三线合一得出BE的长，再利用勾股定理求出AE的长度，最后利用三角形面积公式求解.
22．已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形，
（1）在图1中，当m时，的周长为______；
（2）在图2中，当m时，的周长为_______；
（3）在图3中，当时，求的周长．
【答案】（1）32m
（2）m
（3）m
23．如图，在中，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点；以点为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点，连结CD.
（1）若∠A=28°，的度数.
（2）若，求AD的长.
【答案】（1）解：，
.
，
，
；
（2）解：，
∴由勾股定理得，，
，
.
【解析】【分析】（1）首先由三角形的内角和定理算出∠B=62°，再根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCD=59°，最后根据角的和差，由∠ACD=90°-∠BCD计算可得答案；
（2）首先在△ABC中，由勾股定理算出AB的长，进而根据AD=AB-BD，而BD=BC，代入计算可得答案.
24．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
【答案】（1）解：与相等；
理由如下：
，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：结论：
理由如下：
如图：连接，
，
，
即
在和中
，
，，
，，，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图：过点O作于点E，
，，
，
，
，
如图：当点F在的延长线上时，
，，
，
，
；
如图：当点F在线段上时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
综上，的长为或．
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AC=BD，即可求出答案.
（2）连接，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点O作于点E，根据勾股定理可得CD，再根据三角形面积可得OE，分情况讨论：当点F在的延长线上时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案；当点F在线段上时，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
【答案】解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【解析】【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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