江西省抚州市临川三中实验部2024-2025高三下3月月考数学试卷（含答案）

江西省抚州市临川三中实验部 2024-2025学年高三下3月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3+4
1.设 为虚数单位，则| | =( )
2
2 11 √ 5
A. 5 B. √ 5 C. + D.
5 5 5
2.已知集合 = { | 3 ≤ ≤ 7}， = { | 2 5 6 > 0}，则 ∩ =( )
A. ( 1,6) B. ( 3, 1) ∪ (6,7) C. [ 3, 1) ∪ (6,7] D. [ 3,7]
3.在(1 + ) (1 + )2 (1 + )3 (1 + )9的展开式中， 2的系数等于( )
A. 280 B. 300 C. 210 D. 120
4.已知三角形 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 = 4， = 6，△ 的面积 满足( + )2 =
(4√ 3 + 8) + 2，点 为△ 的外心，满足 = + ，则下列结论不正确的是( )
2√ 21 2√ 3
A. = 6 B. = 10 C. | | = D. = 2
3 3
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，
且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( )
3 3 3 3
A. B. C. D.
16 13 8 4
6.已知圆 ： 2 + 2 + 6 + 4 + 9 = 0，点 是直线 ：3 + 4 3 = 0上的点，则( )
A. 圆 上有两个点到直线 的距离为2
B. 圆 上不存在点到直线 的距离为2
C. 从 点向圆 引切线，切线长的最小值为2√ 3
D. 从 点向圆 引切线，切线长的最小值是2√ 5
7.已知实数 ， 满足 1 = ln(4 )， = 3，其中 是自然对数的底数，则 + =( )
A. 2 B. C. 3 D. 4
8.已知奇函数 ( )在 上是增函数， ( ) = ( ).若 = ( log 5.1)， = (20.82 )， = (3)，则 ， ，
的大小关系为( )．
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， ， 表示三个随机事件，判断下列选项正确的是( )
A. 已知 ( ) > 0， ( ) > 0， ( | ) = ( )是事件 与事件 相互独立的充要条件

B. 已知 ( ) > 0， ( ) > 0，则 ( ) = ( ) + ( )
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C. 已知 ( ) > 0， ( ) > 0， ( ∪ ) = ( ) + ( )是事件 与事件 互斥的充要条件
D. 已知 ( ) > 0，则 ( ) = ( ) ( | ) ( | )
10.已知等差数列{ }的前 项和 =
2
15 + ，则( )
A. 1 = 15 B. { }是递增数列
1 1 1 11
C. 数列{| |}的前9项和为58 D. + + + = 9 10 10 11 19 20 48
11.函数 ( ) = 2 + 2 ( ∈ )，则( )
A. ( )的最小正周期是2
3√ 3 3√ 3
B. ( )的值域是[ , ]
2 2

C. ( )的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 =
6

D. ( )的零点是 + , ∈
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.在( )5的展开式中，含 项的系数为______．

13.在长方体 1 1 1 1中，已知异面直线 1 与 ， 1 与 所成角的大小分别为60°和45°，则直
线 1 和平面 1 所成的角的余弦值为______．
14.足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如 组中有4支队
伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有 ( ≥ 2)支球队的小组中进行的所有比赛场次为 场，
1 1 1 1
则 + + + + = ______．
2 3 4 25
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = 2 ， ∈ (0, ]，其中 为自然对数的底数．
(1)若 = 1为 ( )的极值点，求 ( )的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数 ，使得 ( )的最大值为 3？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
16.(本小题15分)
+
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = ．

(Ⅰ)求 ；

(Ⅱ)若点 在线段 上，且 = 2 = ，求 ．

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17.(本小题15分)
如图，三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ，且 = ， = 2， = 1．
(Ⅰ)当三棱锥 的体积最大时，
①求证： ⊥ ；
②求其外接球的表面积；
(Ⅱ)设 为 的中点，记平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值．
18.(本小题17分)
通过研究，已知对任意非零平面向量 = ( , )，把 绕其起点 沿逆时针方向旋转 角得到向量 =
( , + )，叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 ．

(1)已知平面内点 ( √ 3, 2√ 3)，点 (√ 3, 2√ 3)，把点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，求点 的坐标；
3
√ 3 1 2 2
(2)已知曲线 是函数 = + 的图象，它是某双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)绕原点 逆时针旋转 后得3 3
到的，求 的离心率；
2 2
(3)已知曲线 ： 2 + 2

= 1是由某椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)绕原点 逆时针旋转 后所得到的斜椭圆， 4
2 2
过点 (√ ,√ )作与两坐标轴都不平行的直线 1交曲线 于点 、 ，过原点 作直线 3 3 2与直线 1垂直，直线 2
√ 2 1
交曲线 于点 、 ，判断 + 2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． | | | |
19.(本小题17分)
已知 为不小于3的整数，数列{ }和{ }为两个不同的数列.若{ }和{ }满足 = + ， = + ， = 1，
2， ，且∑ =1 = ∑

=1 ，则称{ }和{ }关于 相伴．
2
(1)若 = cos ，写出一组 1， 2， 3，使得{ }和{ }关于3相伴； 3
(2)是否存在{ }和{ }关于 相伴，且关于 + 1相伴？并说明理由；
(3)证明：若{ }和{ }关于 相伴，则存在正整数 ，使得对任意 ∈ ，∑
+
= = ∑
+
= ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 40
√ 3
13.【答案】
3
48
14.【答案】
25
15.【答案】 ( )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1, ]； ( )的极大值为 1；
2
存在， = ．
2
+
16.【答案】解：(Ⅰ)因为 = ，

+
所以由正弦定理可得 = ，即 2 + 2 2 = ；

2
2
+ 2 1
根据余弦定理得： = = = ，
2 2 2

因为0 < < ，所以 = ．
3
(Ⅱ)设 = ，则 = = 2 ， = 3 ；
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = 2 + (2 )2 2 2 cos∠ ；
化简得：4 2 = 5 2 2．
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = (2 )2 + (2 )2 2 2 2 cos( ∠ )；
化简得： 2 = 8 2 + 8 2 ．
联立化简得： 2 = 18 2 2 2①.
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2
+ 2 9 2 1
在△ 中，由余弦定理可得：cos = = ；
3 2 2
化简得： 2 + 2 = 9 2②.
1
将②代入①得： = ．
2
17.【答案】解：(Ⅰ)①证明：∵三角形 的面积为定值，且 ⊥ ，
∴当三棱锥 的体积最大时， ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ；
②由①知，当三棱锥 的体积最大时， ⊥平面 ， ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ 为 的中点，
∴ 到 ， ， ， 的距离相等，
即 为三棱锥 的外接球的球心．
设外接球半径为 ，则 1 √ 5 = = ，
2 2
∴三棱锥 的外接球的表面积为4 2 = 5 ；
(Ⅱ)以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
1
∴ (2,0,0), (0,1,0), (0,0,0), (1, , 0)，
2
设 为 的中点， ⊥ ， (1,0,0)，
∴可设 (1, , )，由 = 1，得 2 + 2 = 1，
又∵ = (1, , ), = (2,0,0)，
设平面 的法向量 1 = ( 1, 1, 1)，
⊥ 1 1 = 0 1 + 1 + 1 = 0则{ ，则{ ，即{ ，
⊥ = 0 2 1 = 01 1
令 1 = ，则 1 = ， 1 = 0，
可得平面 的法向量 1 = (0, , )，
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又∵
1
= (1, , 0)，
2
设平面 的法向量 2 = ( 2, 2, 2)，
⊥ 2 2 = 0
2 + 2 + 2 = 0
则{ ，则{ ，即{ 1 ，
⊥ = 0 2 + 2 = 02 2 2
令 2 = ，则 2 = 2 ， 2 = 2 1，
可得平面 的法向量 2 = ( , 2 , 2 1)，
|2 2+2 2 |
则 = |cos < 1 , 2 > | = √ 2+ 2 √ 5 2+1 4 +4 2
|2 | 4 4 + 2
= = √ ，
√ 5 2+1 4 +4 2 6 4 2
设 4 4 +
2
( ) = ( 1 < < 1)，
6 4 2
4(2 1)( 2)
则 ′( ) = 2 2 ， (6 4 )
1
易知 ∈ ( 1, ), ′( ) < 0, ( )单调递减：
2
1
∈ ( , 1), ′( ) > 0, ( )单调递增，
2
1 3
∴当 = 时， ( )
2
= ，
5
∴ 的最小值为 3 √ 15√ = ．
5 5
18.【答案】解：(1)已知点 ( √ 3, 2√ 3)，点 (√ 3, 2√ 3)，则 = (2√ 3, 4√ 3)，
所以

= (2√ 3cos + 4√ 3sin , 2√ 3sin 4√ 3cos ) = (6 + √ 3, 3 2√ 3)．
3 3 3 3
设 ( 0, 0)，则 = ( 0 + √ 3, 0 2√ 3) = (6 + √ 3, 3 2√ 3)，
所以 0 = 6， 0 = 3，即点 的坐标为(6,3)．
(2)设曲线 上任意一点 ( , )，旋转前对应的点 ′( ′, ′)．
1 √ 3
= ′cos ′sin = ′ ′
由题意可知{ 3 3 2 2 ，
√ 3 1
= ′sin + ′cos = ′ + ′
3 3 2 2
将其代入 √ 3 1 √ 3 = + ，即 = 2 + 1中，
3 3
可得 1 √ 3 √ 3 1 √ 3 1 √ 3( ′ ′)( ′ + ′) = ( ′ ′)2 + 1，
2 2 2 2 3 2 2
2 2
化简得√ 3 2 √ 3
′ ′
′ ′2 = 1，即 = 12 3 2√ 3 ． 6 2 √
3
所以 2 = 2√ 3， 2
2√ 3
= ，所以 2
8√ 3
= 2 + 2 = ．
3 3
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8√ 3
所以曲线 的离心率为 √ 3 2√ 3 = = = ．
2√ 3 3
1
(3)设直线 ： 2 21 √ = ( √ )， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则直线 2： = ．
3 3
2 2
√ = ( √ )
将直线 1与斜椭圆方程联立得{ 3 3 ，
2 + 2 = 1
√ 2 2
消去 整理得( 2 + 1) 2 + ( 2 2 + 3 1) + (1 )2 1 = 0，
√ 3 3
2 2 1
√ 2 2 3 +1 2
所以 2 1 + 2 = ，2 1
2，
√ 3 +1 2
= ×
3 2 +1
所以| | = √ (1 + 2)| | = √ (1 + 21 2 )[( 1 +
2
2) 4 1 2]
2 2 1 2
√ 2 √ 2 2 3 +1 2
2 √ 2(1+ )
= (1 + )[( 2 2 ．
√ 3 2
) 4 × × 2 ] = 2
+1 3 +1 +1
1 1 1
将直线 2： = 代入斜椭圆 ：
2 + 2 = 1得(1 + 2 + )
2 = 1，

2 2
+1
所以 2 = ，所以 2 ， 2 | | = 2
+ +1 + +1
2 2
√ 2 1 +1 + +1
所以 + =
| | 2 2
+ 2 = 2．
| | 1+ 1+
19.【答案】解：(1)由题意：若{ }和{ }满足 = + ， = + ， = 1，2， ，
且∑ =1 = ∑ =1 ，则称{ }和{ }关于 相伴．
2 1 1
由 = cos ，则 1 = 4 = ， 2 = 5 = ， 3 2 2
3 =
3
6 = 1，则∑ =1 = 0，
要使{ }和{ }关于3相伴，则∑
3
=1 = 0，
则 1 = 1， 2 = 0， 3 = 1(答案不唯一)．
(2)由题意：若{ }和{ }满足 = + ， = + ， = 1，2， ，
且∑ =1 = ∑

=1 ，则称{ }和{ }关于 相伴．
不存在，理由如下：
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假设存在{ }和{ }关于 相伴，且关于 + 1相伴，
则 = + ， = + ， = + +1， = + +1， = 1，2， ，
且∑ = ∑ ，∑ +1 +1 =1 =1 =1 = ∑ =1 ．
故 = ， = ， = ∑ +1 ∑ = ∑ +1 1 +1 1 +1 +1 =1 =1 =1 ∑ =1 = +1， 1 = 1．
又 1 = 1+ +1 = +2 = 2， 1 = 1+ +1 = +2 = 2， 1 = 1+ +1 = +2 = 2，故 2 = 2．
同理有 = ， = 1，2， ，这与{ }和{ }为两个不同的数列矛盾，所以假设不成立．
故不存在{ }和{ }关于 相伴，且关于 + 1相伴．
(3)证明：设 = ， = 1，2， ，集合 = {0,1, , 1}．
记 1 + 2 + + = { 1, 1 + 2, , 1 + 2 + + }， = 1，2， ， ，
则 1 + 2 + + + ( +1 + +2 + + ) ≥ 1 + 2 + + ， = + 1， + 2， ， ，
故 +1 + +2 + + ≥ 0．
所以当 = + 1时，对任意 ∈ { , + 1, , }，∑ = ∑ = = ∑ = ≥ 0，
即∑ = ≤ ∑

= ， = ， + 1， ， ，
又 +1 + +2 + + + ( +1 + +2 + + ) = +1 + +2 + + + ( 1 + 2 + + )
≥ +1 + +2 + + + ( 1 + 2 + + ) = ∑ =1 = ∑ =1( ) = 0，
= + 1， + 2， ， + ，
故对上述的 ，存在 = + 1，使得对任意 ∈ ，∑ + ≤ ∑ + = = ．
对任意 ∈ ，设 = + ，其中 ， ∈ ，且 < ，
因为 = + ， = + ， = 1，2， ，且∑

=1 = ∑ =1 ，
故对任意 ∈ ,∑ + = ∑ + ∑ + ≤ ∑ + + = =1 = =1 + ∑ = = ∑ = ．
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