辽宁省大连二十四中2024-2025高三（上）期末数学试卷（含答案）

辽宁省大连二十四中 2024-2025 学年高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分
位数为( )
A. 13 B. 13.5 C. 15 D. 15.5
1 1
2.给定集合 = { | = log3 , ≥ 2}，集合 = { | = , ≥ 2}，集合 = { | = ( ) , ≥ 2}，则下列说5
法正确的是( )
A. B. C. D.

3.给定圆 及圆内一点 ，设 ， 是圆 上的两个动点，满足∠ = ，则线段 的中点的轨迹是( )
2
A. 一个圆 B. 一个椭圆 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分
4.已知四面体 的三组对棱的长分别相等，依次为3，4， ，则 的取值范围是( )
A. (√ 5,√ 7) B. (√ 7, 5) C. (√ 5, 3) D. (4,7)
2
5.设 ， ， 为实数， ， ≠ 0，方程 2 + + = 0的两个虚根 ， 满足 1为实数，则 1 + 21 2 的值为( ) 2 2 1
1+√ 5 1 √ 5
A. 1 B. 1 C. D.
2 2
6.已知函数 ( ) = √ 3 ( > 0)的部分图象如图， = ( )的对称轴方程
5
为 = + ( ∈ )，则 (0) =( )
12 2
3
A. 3 B. 2 C. D. 1
2

7.如图，在△ 中， = 2， = 6，∠ 的内角平分线交 于点 ，过 作 ⊥ 于点 ，则 的
|
2
|
值是( )
3
A. 3 B. 2 C. D. 1
2
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2
8.已知 ， 是椭圆 ： + 2 = 1短轴的两个端点，点 为坐标原点，点 是椭圆 上不同于 ， 的动点，
3
若直线 ， 分别与直线 = 4交于点 ， ，则△ 面积的最小值为( )
A. 24√ 3 B. 12√ 3 C. 6√ 5 D. 12√ 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设△ 的内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， 和 分别为△ 的面积和外接圆半径．若 = 2，
= 3，则选项中能使△ 有两解的是( )
A. = 30° B. = 30° C. = 3 D. = 2
10.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升水时，水面恰好
经过正四棱锥的顶点 ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点 ，则下列命题中正确的是( )
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半
B. 若往容器内再注 升水，则容器恰好能装满
C. 将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
11.已知函数 ( ) = ( ∈ )有两个零点，分别记为 ， ( 2 < )；对于0 < < ，存在 使
( ) ( ) = ( )( )，则( )
A. ( )在(1,+∞)上单调递增
B. > (其中 = 2.71828…是自然对数的底数)
C. +1 < +1
D. 2 < +
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 1 + ，则 ( ) = ______．
1

13.已知 , ∈ (0, )，sin(2 + ) = 2 ，则 的最大值为______．
2
14.若实数 ， 和等比数列{ }满足{ 1, 2, 3} = { 5, 6, 7}，则 + 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
甲、乙两人进行射击比赛，每回射击胜者得1分，且每回射击中甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ( + = 1)，
比赛进行到有一人比另一人多2分时结束，多2分者最终获胜．
(1)试求甲、乙最终获胜的概率；
(2)比赛是否有可能无限地一直进行下去？
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16.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， // ， = 4， = 2， = 2， = = 3，平面 ⊥平面 ，
⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
2√ 5
(2)若点 是线段 的中点， 是直线 上的一点， 是直线 上的一点，是否存在点 ， 使得 = ？
9
请说明理由．
17.(本小题12分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，cos2 + cos2 = 1 + cos2 且 = 1，
(1)求 ；
1 1 1
(2)若 < ，求 + 的取值范围；
2
(3)若⊙ 为△ 的外接圆，若 、 分别切⊙ 于点 、 ，求 的最小值．
18.(本小题12分)
在直角坐标系 中，抛物线 ： 2 = 4 ，点 是直线 2 = 0上任意一点，过点 作 的两条切线，切
点分别为 、 ，取线段 的中点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证：直线 过定点，且求出定点的坐标；
| |
(2)求 的值；
| |
(3)当 在直线上运动时，求△ 的面积的最小值，并求出此时 的坐标．
19.(本小题12分)
设 ( )是等比数列1， ，
2，…， 的各项和，其中 > 0， ∈ ， ≥ 2．
1 1 1
(Ⅰ)证明：函数 ( ) = ( ) 2在( , 1)内有且仅有一个零点(记为
+1
2
)，且 = + ； 2 2
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ( )，比较 ( )和 ( )
的大小，并加以证明．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1 1
12.【答案】 + 1
2 2(1 ) 2
√ 3
13.【答案】
3
14.【答案】( ∞, 2) ∪ ( 2,2) ∪ (2,+∞)
2 2
15.【答案】 ， ；
1 2 1 2
比赛不会无限地一直进行下去．
2√ 5
16.【答案】证明过程见解答； 不存在点 与 ，使得 = ．
9
17.【答案】解：(1)因为cos2 + cos2 = 1 + cos2 ，
则1 sin2 + 1 sin2 = 1 + 1 sin2 ，
所以sin2 + sin2 = sin2 ，
则 2 + 2 = 2，
所以△ 为直角三角形，

所以 = ；
2
1
(2)0 < 2 < ，而 2 + 2 = 1，
2

所以设 = , = , ∈ (0, )，
4
1 1 1 1 +
所以 + = + = ，
sin cos sin cos
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令 = + = √ 2sin( + ), ∈ (1, √ 2)，
4
又因为 2 = ( + )2 = 1 + 2 ，
2 1
所以 = ，
2
1 1 2
所以 + = , ∈ (1,√ 2)，
2 1
2 2
令 = 2 = 1 , ∈ (1,√ 2)， 1

1
因为 在 ∈ (1, √ 2)上单调递增，

2
所以 = 1在 ∈ (1,√ 2)上单调递减，


2
所以 > 1 = 2√ 2．
√ 2
√ 2
1 1
所以 + 的取值范围为(2√ 2,+∞)；

1
(3) △ 的外接圆的半径为 ， = | | = | | = ，
2
设 ( , )，
则| |2 = 2 + 2
1
，| |2 = | |2 = | |2 | |2 = 2 + 2 ，
4
2 2 2 1
| | +
而cos2∠ = 42 = ，
| | 2+ 2
令 = 2 + 2，
1 1


1 4 8 3 √ 2 3 1 √ 2 = ( )(2 1) = + ≥ ，当且仅当 = ，即 = 时取等．
4 4 2 4 8 4
√ 2 3
所以 的最小值为 ．
2 4
18.【答案】解：(1)设 ( 0, 0 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2).

因为直线与抛物线相切， ′ = ，所以 1
2
= ′| = = ， 1 2

所以直线 的方程可表示为 = 1
2 1
．

因为点 在 上，所以 0 2 =
1 0 1，化简得 0 1 2 2 1 2 0 + 4 = 0．
同理可得， 点的坐标满足 0 2 2 2 2 0 + 4 = 0．
所以，直线 的方程为 0 2 2 0 + 4 = 0，变形为2 4 = 0( 2)，
所以直线 过定点(2,2)．
(2)由直线 的方程 0 2 2 0 + 4 = 0与 的方程
2 = 4 联立得 2 2 0 + 4 0 8 = 0，所以 1 +
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2 = 2 0， 1 2 = 4 0 8，
+
点 的横坐标为 = 1 2 = ， 2 0
2 2
2 2 | | | 2 0

| | 0 + 0 2| |
0+2 4|
所以 = 0 + 2， = 0，所以 = = 2 2
0
0 = = 2． 2 4 | | | | 2 2 | 0 2 0| | 0 2 0|4 4
(3)由(2)得：直线 的方程与 2 = 4 联立得： 2 2 0 + 4 0 8 = 0，
所以 1 + 2 = 2 0， 1 2 = 4 0 8，
2 2
2 1
直线 的斜率为 2
1 + = 4 4 = 2 1 = 0，
2 1 2 1 4 2
2
由弦长公式得| | = √ 1 + 0 √ 4 20 4(4 0 8) = √
2 2
4 0
+ 4 √ 0 4 0 + 8，
| 2 4 +8|
点 到 的距离 = 0 0 ，
√ 20+4
1 1 3 1 3
所以 △ = | | = (
2
0 4 0 + 8)2 = [( 0 2)
2 + 4]2，
2 2 2
所以当 0 = 2时， △ 取得最小值4，此时 (2,0)．
19.【答案】证明：(Ⅰ)由 ( ) = ( ) 2 = 1 + +
2 + + + 2，
则 (1) = 1 > 0，
1 +1
1 1 1 1 1 ( ) 1
( ) = 1 + + ( )
2 + + ( ) 2 = 2 1 2 = < 0． 2 2 2 2 1 2
2
1
∴ ( )在( , 1)内至少存在一个零点， 2
1 1又 ′( ) = 1 + 2 + + > 0，∴ ( )在( , 1)内单调递增， 2
1
∴ ( )在( , 1)内有且仅有一个零点 2 ，
∵ 是 ( )的一个零点，∴ ( ) = 0，
1 +1
即
1 1
2 = 0，故 = + +1；
1 2 2
( +1)(1+ )
(Ⅱ)由题设， ( ) = ， 2
( +1)(1+ )
设 ( ) = ( ) ( ) = 1 + +
2 + + + ， > 0． 2
当 = 1时， ( ) = ( )．
1
当 ≠ 1时， ′( ) = 1 + 2 + + 1
( +1)
．
2
( +1) 1 ( +1) 1 ( +1) 1
若0 < < 1， ′( ) > 1 + 2 1 + + 1 = = 0．
2 2 2
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1 1 1
若 > 1， ′( ) < 1 + 2 1 1
( +1) ( +1) ( +1)
+ + = = 0．
2 2 2
∴ ( )在(0,1)内递增，在(1,+∞)内递减，
∴ ( ) < (1) = 0，即 ( ) < ( )．
综上，当 = 1时， ( ) = ( )；
当 ≠ 1时， ( ) < ( )．
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