第18章 平行四边形 素养提升测试题（含解析）

第18章 平行四边形 素养提升测试题
考试范围：第18章 平行四边形；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　）
A．125° B．115° C．55° D．135°
3．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
（2题图） （3题图） （4题图） （5题图）
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若菱形的周长为20，则OE的长为（　　）
A．10 B．5 C．2.5 D．1
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C． D．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则矩形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．16 C．12 D．8
10．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（8题图） （9题图） （10题图） （11题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．
12．如图，点E、F是 ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 　 　（只需要填一个正确的即可）．
（12题图） （13题图） （14题图）
13．如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝DE＝3，∠AED＝45°，则BE的长为　 　．
14．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为　 　．
15．矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，求∠AOE的度数．
17．（9分）在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
18．（9分）将宽度为3厘米的两张纸条交叉重叠在一起（如图所示），得到四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是菱形吗？试说明理由．
（2）若∠ABC＝60°，求四边形ABCD的面积．
19．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝5，求AE的长．
20．（9分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC＝90°．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若∠B＝30°，AD＝2，连接BE，求BE的长．
21．（9分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝24cm，AC＝12cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足　 　时，四边形ADCE是正方形．
23．（11分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E、F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取AO，CO的中点E，F；
乙方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F；
请回答下列问题：
（1）你认为按照甲乙两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由．
（2）请你给出一种和他们不同的方案，并说明这三种方案有什么共同的特征．
参考答案
一．选择题
1．解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
B、有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题；
C、有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形，错误，是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，是假命题，
选：A．
2．解：∵∠DCE＝55°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB＝125°，
选：A．
3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10，
选：B．
4．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，∠A＝60°，
∴∠CBA＝∠A＝60°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴DC＝BC＝3cm，
∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝6cm，
∴梯形ABCD的周长为AD+DC+BC+AB＝3cm+3cm+3cm+6cm＝15cm．
选：B．
5．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形
B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BE，菱形的周长为20，
∴OE是△ABC的中位线，，
∴，
选：C．
7．解：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OCAC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
选：C．
8．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∴AC10，
由题意可得AD平分∠OAC，
∴∠DAE＝∠DAO，AD＝AD，∠AOD＝∠AED＝90°，
∴△ADO≌△ADE（AAS），
∴AE＝AO＝8，OD＝DE，
∴CE＝2，
∵CD2＝DE2+CE2，
∴（6﹣OD）2＝4+OD2，
∴OD，
∴点D（0，）．
选：D．
9．解：连接AE，设EF交AC于点O，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∵BE＝3，AF＝5，
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，AD＝BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴CD＝AB4，
∴AB+BC+CD+AD＝2AB+2AD＝2×4+2×8＝24，
∴矩形ABCD的周长为24，
选：A．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，
∵CF＞CM，
∴AE＞CM，③错误；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；④正确；
正确结论的个数是3个，
选：C．
二．填空题
11．解：这个条件可以是CF＝CB，理由如下：，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BEAB，CFCD，
∴BE＝CF，
∴四边形EFCB是平行四边形，
又∵CF＝CB，
∴平行四边形EFCB是菱形，
答案为：CF＝CB（答案不唯一）．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
答案为：DE＝BF．
注：答案不唯一，如：OE＝OF．
13．解：过点E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分线交EF于点O，则点O是△ADE的外心，
∴∠AOD＝2∠DEA＝90°，OA＝OD＝OE，
∴OG＝DG＝AG，设DG＝a，则OE＝ODa，FG＝2a，BF＝a，
在Rt△DEG中，DE2＝EG2+DG2，
∴9＝（aa）2+a2，解得a2，
∴BE3．
答案为3．
14．解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝4，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FDMD＝1，
∴FM＝DM×cos30°，
∴MC2，
∴EC＝MC﹣ME＝22．
答案为：22．
15．解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2；
②如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BNAB，
∴AD＝AN+DN＝1，
综上所述，AD的长为2或1．
答案为：2或1．
三．解答题
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AOE＝60°+75°＝135°．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质可得：∠ABE＝∠EBD∠ABD，∠CDF∠CDB，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
解法二：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE，BE＝2AE，
∴BC＝AD＝AE+ED＝AE+BE2．
18．解：（1）是菱形．
理由如下：
∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3cm，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
即四边形ABCD是菱形；
（2）过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC AE＝23＝6cm2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝10，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴132﹣BE2＝102﹣（13﹣BE）2，
∴BE，
∴AE．
20．（1）证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，
∴∠ADE＝∠CDE∠ADC，∠CDF∠BDC，
∴∠CDE+∠CDF（∠ADC+∠BDC）180°＝90°，
即∠EDF＝90°，
∵AD＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠CED＝∠AED180°＝90°，
又∵∠DFC＝90°，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴∠CED＝∠ECF＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，DE⊥AC，
∵AD＝DC，
∴CE＝AE，△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，AC＝AD＝2，
∴AE＝CE＝1，
∴DE，
∵∠DCB＝∠ECF﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCB＝∠B，
∴DB＝DC＝AD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE，
即BE的长为．
21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BD＝24cm，AC＝12cm，
∴OB＝ODBD＝12cm，OA＝OCAC＝6cm，
∵点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，
∴BE＝t cm，
∴OE＝（12﹣t）cm，
∵点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动，
∴OF＝2t cm，
当OE＝OF时，四边形AECF是平行四边形，
∴12﹣t＝2t，
解得t＝4，
∴当t的值为4时，四边形AECF是平行四边形．
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，平行四边形AECF是菱形，
∴∠AOB＝90°，
∵当OB2+OB2＝AB2时，∠AOB＝90°，
∴AB6（cm），
∴当AB为6cm时，平行四边形AECF是菱形．
（3）当t＝4时，OE＝12﹣t＝12﹣4＝8（cm），
∴OE＝OF＝8cm，
∴EF＝16cm，
∵AC⊥EF，且AC＝12cm，
∴S菱形AECFEF AC16×12＝96（cm2），
∴菱形AECF的面积为96cm2．
22．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，
∴AD＝2，
∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×24；
（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
同理可得：∠B＝45°，或∠BCA＝45°，
答案为：∠BAC＝90°或∠B＝45°或∠BCA＝45°．
23．解：（1）甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；
证明：甲方案：如图，连接BD，
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为AO，CO的中点，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形；
乙方案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥CB，
∴∠EAD＝∠FCB，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠BEF＝∠AFD＝90°
∵在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
（2）在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形，
证明：如图，连接BD，
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形；
三种方案都有AE＝CF．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()