2025年九年级中考数学二轮复习专题练习四边形中的相似三角形综合问题（含解析）

2025年九年级中考数学二轮复习专题练习四边形中的相似三角形综合问题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠ADB．
（1）求证：△CDE∽△CBD；
（2）已知AB＝2，BC＝4，求△CEF的面积．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME∽△ABC；
（2）求证：；
（3）若AD＝5，BC＝7，求MN的长．
3．如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，CF＝3FD，求DE的长．
4．如图点E是矩形ABCD中AD边上一点，连接CE，沿线段CE翻折△CDE，点D的对应点F恰好落在AB边上．
（1）求证：△EAF∽△FBC．
（2）若FC＝3EF，BF＝12，求线段BC的长．
5．如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．
（1）求证：△AEF∽△DCF；
（2）若AF：DF＝1：2，AE，S△AEF．
①求EB的长；
②求平行四边形ABCD的面积．
6．如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE．
（1）求证：△AED≌△CED；
（2）求证：EC2＝EF EG；
（3）若AB＝6，，求CF的长．
7．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；
（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG GE；
（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF．
（1）求证：BD＝2EF．
（2）当EF＝6时，求GH的长．
9．已知正方形ABCD，点E，F，G分别在边CD，BC，AD上，连接AE、GF，
（1）若AE⊥GF于点H．
①如图1，求证：AE＝GF；
②如图2，将GF向下平移，当点G与D重合时，若E为CD的中点，连接HC，求的值；
（2）如图；若AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，请你求出∠AHG的度数．
10．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
11．如图，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边△ADE，线段AC与线段BE相交于点F．
（1）求∠ABE，∠BFC的度数；
（2）求证：FC＝FE；
（3）求的值．
12．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE．
（1）求证：AQ⊥DP；
（2）求证：AO2＝OD OP；
（3）当BP＝1时，求QO的长度．
13．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：DG BC＝DF BG；
（2）连接CF，求∠CFB的大小；
（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．
14．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，连接DN、MN、AC，MN与边AD交于点E，与AC相交于点O．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）当AM平分∠BAC时，求证：AM2＝AC AE；
（3）当CM＝3BM时，求的值．
15．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC，BD交点，AF平分∠DAC交BD于点G，交DC于点F．
（1）求证：△AEG∽△ADF．
（2）判断△DGF的形状．
（3）若AG＝1，求GF的长．
16．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC上一点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若，求∠DAB'的正弦值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠ECD＝∠DCB，
∴△CDE∽△CBD；
（2）解：∵△CDE∽△CBD，
∴，
∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，
∴EC＝1，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵S△ADC4×2＝4，
∴S△DFCS△ADC，
∴S△EFCS△FDC．
2．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，MN∥AD，
∴MN∥BC，
∴△AME∽△ABC；
（2）证明：∵MN∥AD，AD∥BC，
∴，
∵MN∥BC，
∴△AME∽△ABC，△DEN∽△DBC，
∴，，∴，
∴ME＝NE，
∴点E是MN的中点，ME＝NEMN，
∵AD∥BC∥MN，
∴△CEN∽△CAD，△AME∽△ABC，
∴，，
∴1，
∴1，
∴．
（3）结合（2）的结论，
∵AD＝5，BC＝7，
∴，
∴ME，
∵ME＝NE，
∴MN＝ME+NE．
3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥BE交CD于点F，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵AB＝AD＝CD＝4，CF＝3FD，
∴EA＝4﹣DE，3FD+FD＝4，
∴FD＝1，
∵△ABE∽△DEF，
∴，
∴，
解得DE＝2，
∴DE的长是2．
4．【解答】（1）证明：∵沿线段CE翻折△CDE，点D的对应点F恰好落在AB边上，
∴∠EFC＝∠D＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AFE+∠BFC＝∠BFC+∠BCF＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
∴△EAF∽△FBC；
（2）解：∵△EAF∽△FBC，
∴AE：BF＝EF：CF＝AF：BC，
而FC＝3EF，
∴AE：FB＝1：3，
而BF＝12，
∴AE＝4，
设AF＝x，
则BC＝AD＝3x，
根据折叠得DE＝EF＝AD﹣AE＝3x﹣4，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴42+x2＝（3x﹣4）2，
∴8x2﹣24x＝0，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴BC＝9．
5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF；
（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，
∴，
∵AF：DF＝1：2，AE，
∴，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴AB＝2，
∴BE＝AB+AE＝3；
②连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
∵S△AEF，
∴S△AEC＝2，
∵，
∴S△ABC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积为8．
6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
在△AED与△CED中，
，
∴△AED≌△CED（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴由对称性可得∠DAE＝∠DCE．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠DCE＝∠F，
∵∠FEC＝∠CEG，
∴△FEC∽△CEG，
∴，
∴EC2＝EF EG；
（2）解：由（1）可知△FEC∽△CEG，
∴∵AD∥CF，
∴△ADG∽△FCG，
∴，
∴，
解得x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解，
∴CF＝3x＝12．
7．【解答】（1）解：根据题意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°，
∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°．
（2）证明：∵AG＝BG，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠GBE＝∠ABG，
∴∠GBE＝∠BAG，
又∵∠AEB＝∠GEB，
∴△AEB∽△BEG，
∴，
∴BE2＝AE GE，
∴BE2＝（AG+GE）GE，
∴BE2﹣GE2＝AG GE．
（3）①证明：∵GM∥BC，BC∥AD，
∴MG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，
∴，，
两式相加得，
即，
∴．
②解：∵BC＝xBE，AD∥BC，
∴，△ADG∽△EBG，
∴，
∴S△AGD＝xS△ABG，
∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABD≌△BCD（SSS），
∴S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∵MG∥BE，∠MBG＝∠GBE，
∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，
∴MG＝MB，
∴，
∴，
∴，
∴S1，，
∵S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∴，
∴，
∴．
8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD，
∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DEA＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∴CD＝2DE，
∴DE＝CE，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴BD＝2EF；
（2）解：由（1）知，BD＝2EF，
∵EF＝6，
∴BD＝12，
∵AB＝CD＝2AD＝2DE，AD＝BC，F为BC的中点，
∴，，
在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC，
∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH，
∴，，
∴，，
∴DG＝4，BH＝4，
∴GH＝BD﹣DG﹣BH＝4．
9．【解答】（1）①证明：过G作GM⊥BC于M，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠C＝∠GMC＝90°，
∴四边形MGDC是矩形，
∴AD＝DC＝GM，∠ADE＝∠GMF＝∠AGM＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠MGF＝90°﹣∠AGF＝∠DAE，
∵
∴△ADE≌△GMF（ASA），
∴AE＝GF．
②过点H作HM⊥DC于点M，
∵E为CD的中点，不妨设DE＝EC＝x
∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝2x，∠ADC＝90°，
∴，
∵DF⊥AE于点H，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，以点D为原点，以DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，
∴CE＝4，DE＝2，
∴A（0，6），E（2，0），，
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣3x+6；
设直线GF的解析式为y＝px+q，
根据题意，得，
解得，
∴直线GF的解析式为；
由此得，
解得，
故点，
∴，
设直线GF与x轴的交点为P，
∴点P（9，0），
∴PE＝9﹣2＝7，，
∴，
过点E作EQ⊥GF于点Q，
∴，
∴，
∴HQ＝EQ，
∴∠EHQ＝45°，
∴∠AHG＝45°．
10．【解答】（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
又∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∴；
（2）①证明：∵，
可设AC＝2a，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵∠BAC＝∠FAE，
∴△FAE∽△BAC，
∴∠AEF＝∠ACB；
②证明：∵FG∥AB，
∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠GFD，
又∵∠GDF＝∠FDA，
∴△GDF∽△FDA，
∴，
∴DF2＝DG DA．
11．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，BA＝AD，∠BAC＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠BFC＝∠BAC+∠ABE＝45°+15°＝60°；
（2）证明：如图，连接CE，同理（1）可得，∠CED＝∠DCE＝15°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝45°﹣15°＝30°，∠FEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝60°﹣15°﹣15°＝30°，
∴∠ACE＝∠FEC，
∴FC＝FE；
（3）解：如图，过点B作BG⊥AC于点G，
∵∠ABE＝15°，
∴∠BFG＝∠ABE+∠BAF＝15°+45°＝60°，
∴∠GBF＝90°﹣∠BFG＝90°﹣60°＝30°，
∴BF＝2GF，
∴BGGF，
∵∠BCG＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴∠BCG＝∠CBG，
∴BG＝CGGF，
∴CF＝CG+GF＝（）GF，
∴EF＝CF＝（）GF，
∴．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
（2）证明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP．
（3）解：∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE，∴QE，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠BCD＝∠GFD，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG BC＝DF BG；
（2）解：如图1，连接BD，
∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
∵∠BGD＝∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG＝∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠BDG∠ADC＝45°，
∴∠CFB＝45°；
（3）解：BF＝CH+DF，
理由如下：如图2，在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，连接DM，
∵∠BFD＝90°，
∴∠MDF＝∠DMF＝45°，DMDF，
∵∠BDG＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵△BGD∽△CGF，
∴∠GBD＝∠DCF，
∴△BDM∽△CDF，
∴，
∴BMCF，
∵∠CFB＝45°，BF⊥DE，
点C关于直线DE的对称点H，
∴∠EFH＝∠EFC＝45°，
∴∠CFH＝90°，
∵CF＝FH，
∴CHCF，
∴BM＝CH，
∴BF＝BM+FM＝CH+DF．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，
∴∠MAN＝90°，AM＝AN，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）；
（2）证明：∵△ABM≌△ADN，
∵AM＝AN，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∴∠BCA＝∠MNA，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM＝22.5°，
∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∴∠CAM＝∠NAD，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∴AM2＝AC AE；
（3）解：∵CM＝3BM，
∴设BM＝a，则CM＝3a，
∴BC＝AB＝4a，
∴AC＝4a，
∴AMa，
∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，
∴∠MAN＝90°，AM＝ANa，
∴DNa，
∴CN＝CD+DN＝5a，
∵tan∠CNM，
∴，
∴
∴DEa，
∴AEa，
∵BC∥AD，
∴△CMO∽△AEO，
∴．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADF＝90°，
∴∠AEG＝∠ADF＝90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠EAG，
∴△AEG∽△ADF．
（2）解：结论：△DFG是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∠ADF＝90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAG∠DAC＝22.5°，
∴∠DGF＝∠ADG+∠DAG＝67.5°，∠DFG＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG，
∴DG＝DF．
∴△DFG是等腰三角形．
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，EA＝ED，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴ADAE，
∵△AEG∽△ADF，
∴，
∵AG＝1，
∴AF，
∴GF＝AF﹣AG1．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：同（1）的证法可得△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，A B'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
同（1）的证法可得AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x，
则AM＝10﹣x＝10，
∴sin∠DA B'．
②当点E在线段BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，同理可得出AM＝FM＝2+x，
∵AM2＝AD2+DM2，
∴（2+x）2＝82+x2，
解得x＝15．
∴AM＝17，
∴sin∠DA B'．
综合以上可得，∠DAB'的正弦值为或．
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