2024-2025辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

2024-2025辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
2.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测,规定至少要解答正确道题才能及格某同学只能求解其中的道题,则他能及格的概率是( )
A. B. C. D.
3.的的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.若圆,点在直线上,过点作圆的切线,切点为,则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.“五道方”是一种民间棋类游戏,甲,乙两人进行“五道方”比赛,约定连胜两场者赢得比赛若每场比赛,甲胜的概率为,乙胜的概率为,则比赛场后甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知、是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆交于、两点,若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图,湖北省分别与湖南安徽陕西江西四省交界,且湘皖陕互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要求相邻省涂不同色,现有种不同颜色可供选用,则不同的涂色方案数为( )
A. B. C. D.
8.曲线与曲线恰有两个不同交点,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.现有个编号为,,,的盒子和个编号为,,,的小球,要求把个小球全部放进盒子中,则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
10.下列命题中,正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布,若,则
B. 除以的余数为
C. 在的展开式中,含的项的系数是
D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病,该家系成员患甲病的概率为,患乙病的概率为,甲乙两种病都不患的概率为,则家系成员在患甲病的条件下,患乙病的概率为
11.已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点,为坐标原点,则( )
A. 若,则
B. 若满足,则
C. 若交于点,则
D. 直线交于两点,且,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若直线与直线垂直,则实数 .
13.四根绳子上共挂有只气球,绳子上的球数依次为,,,,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是 .
14.已知正三棱柱的各条棱长均为,则以点为球心、为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在下面两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并对其求解.
条件:;条件:.
问题:已知,若__________.
求实数的值;
求的值.
16.本小题分
某煤矿发生透水事故,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后,有,两条巷道通往作业区如图,巷道有,,三个易堵塞点,两点被堵塞的概率都是,巷道有,两个易堵塞点,两点被堵塞的概率分别为,.
求巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;
若巷道中堵塞点的个数为,求的分布列及均值;
请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.
17.本小题分
已知抛物线的准线为,是抛物线上一点,.
求抛物线的方程;
设与轴的交点为,直线过定点且与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
18.本小题分
如图,在中,,,,为的中点,过点作垂直于,将沿翻折,使得平面平面,点是棱上一点,且平面.
求的值;
求二面角的正弦值.
19.本小题分
已知双曲线,点,经过点的直线交双曲线于不同的两点、,过点,分别作双曲线的切线,两切线交于点二次曲线在曲线上某点处的切线方程为
求证:点恒在一条定直线上;
若两直线与交于点,,求的值;
若点、都在双曲线的右支上,过点、分别做直线的垂线,垂足分别为、,记,,的面积分别为,问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
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15.【详解】因为,
若选条件:令,可得,解得;
若选条件:令,可得,
令,可得,
则,解得.
由可知:,且,
令,可得,
则,
所以.

16.【详解】设“巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件,
则.
依题意,知的所有可能取值为,,.
,,
所以随机变量的分布列为

设巷道中堵塞点的个数为,则,所以.
因为,所以选择巷道为抢险路线较好.

17.【详解】根据抛物线定义,,得,抛物线的方程为.
当直线的斜率不存在时,与题意不符,
所以直线的斜率一定存在,设直线的方程为,代入到中,得

设,,则

所以直线的方程为.

18.【详解】因为平面平面,平面平面,
由题意可知,,故为平面与平面的二面角,
所以.
过点作于点,连接.
显然,平面,平面,所以平面.
又因为平面,,平面,
所以平面平面.
又因为平面平面,平面平面,
所以.
在折叠前的图形中,因为,,
所以.
因为,所以,
易知为的中点,所以,
所以,所以.
由知,以为原点,以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,
易知平面的一个法向量,
,.
设平面的法向量为,
所以
令,则,,故,
所以,
所以二面角的正弦值为.

19.证明:设,
由题意得:切线的方程为:,将点代入得:,
同理可得:,易知点,都在直线上,
所以直线的方程为:,
因为直线过点,所以,
所以点恒在定直线上.
法一:设,因为,所以
整理得
因为点在双曲线上,所以,
整理得,
同理可得,
所以,是关于的方程的两个实根,
所以.
法二:由题意知,的斜率存在,设的方程:,
联立得:,
所以,
设,因为,所以,所以,
同理,
所以

设,与联立得:


因为直线的方程为,所以,
所以,
同理,
所以,
故存在,使得.

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