2024-2025辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
2.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测,规定至少要解答正确道题才能及格某同学只能求解其中的道题,则他能及格的概率是( )
A. B. C. D.
3.的的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.若圆,点在直线上,过点作圆的切线,切点为,则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.“五道方”是一种民间棋类游戏,甲,乙两人进行“五道方”比赛,约定连胜两场者赢得比赛若每场比赛,甲胜的概率为,乙胜的概率为,则比赛场后甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知、是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆交于、两点,若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图,湖北省分别与湖南安徽陕西江西四省交界,且湘皖陕互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要求相邻省涂不同色,现有种不同颜色可供选用,则不同的涂色方案数为( )
A. B. C. D.
8.曲线与曲线恰有两个不同交点,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.现有个编号为,,,的盒子和个编号为,,,的小球,要求把个小球全部放进盒子中,则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
10.下列命题中,正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布,若,则
B. 除以的余数为
C. 在的展开式中,含的项的系数是
D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病,该家系成员患甲病的概率为,患乙病的概率为,甲乙两种病都不患的概率为,则家系成员在患甲病的条件下,患乙病的概率为
11.已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点,为坐标原点,则( )
A. 若,则
B. 若满足,则
C. 若交于点,则
D. 直线交于两点,且,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若直线与直线垂直,则实数 .
13.四根绳子上共挂有只气球,绳子上的球数依次为,,,,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是 .
14.已知正三棱柱的各条棱长均为,则以点为球心、为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在下面两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并对其求解.
条件:;条件:.
问题:已知,若__________.
求实数的值;
求的值.
16.本小题分
某煤矿发生透水事故,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后,有,两条巷道通往作业区如图,巷道有,,三个易堵塞点,两点被堵塞的概率都是,巷道有,两个易堵塞点,两点被堵塞的概率分别为,.
求巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;
若巷道中堵塞点的个数为,求的分布列及均值;
请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.
17.本小题分
已知抛物线的准线为,是抛物线上一点,.
求抛物线的方程;
设与轴的交点为,直线过定点且与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
18.本小题分
如图,在中,,,,为的中点,过点作垂直于,将沿翻折,使得平面平面,点是棱上一点,且平面.
求的值;
求二面角的正弦值.
19.本小题分
已知双曲线,点,经过点的直线交双曲线于不同的两点、,过点,分别作双曲线的切线,两切线交于点二次曲线在曲线上某点处的切线方程为
求证:点恒在一条定直线上;
若两直线与交于点,,求的值;
若点、都在双曲线的右支上,过点、分别做直线的垂线,垂足分别为、,记,,的面积分别为,问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
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15.【详解】因为,
若选条件:令,可得,解得;
若选条件:令,可得,
令,可得,
则,解得.
由可知:,且,
令,可得,
则,
所以.
16.【详解】设“巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件,
则.
依题意,知的所有可能取值为,,.
,,
所以随机变量的分布列为
.
设巷道中堵塞点的个数为,则,所以.
因为,所以选择巷道为抢险路线较好.
17.【详解】根据抛物线定义,,得,抛物线的方程为.
当直线的斜率不存在时,与题意不符,
所以直线的斜率一定存在,设直线的方程为,代入到中,得
,
设,,则
,
所以直线的方程为.
18.【详解】因为平面平面,平面平面,
由题意可知,,故为平面与平面的二面角,
所以.
过点作于点,连接.
显然,平面,平面,所以平面.
又因为平面,,平面,
所以平面平面.
又因为平面平面,平面平面,
所以.
在折叠前的图形中,因为,,
所以.
因为,所以,
易知为的中点,所以,
所以,所以.
由知,以为原点,以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,
易知平面的一个法向量,
,.
设平面的法向量为,
所以
令,则,,故,
所以,
所以二面角的正弦值为.
19.证明:设,
由题意得:切线的方程为:,将点代入得:,
同理可得:,易知点,都在直线上,
所以直线的方程为:,
因为直线过点,所以,
所以点恒在定直线上.
法一:设,因为,所以
整理得
因为点在双曲线上,所以,
整理得,
同理可得,
所以,是关于的方程的两个实根,
所以.
法二:由题意知,的斜率存在,设的方程:,
联立得:,
所以,
设,因为,所以,所以,
同理,
所以
.
设,与联立得:
,
,
因为直线的方程为,所以,
所以,
同理,
所以,
故存在,使得.
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