2024-2025辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
2.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，规定至少要解答正确道题才能及格某同学只能求解其中的道题，则他能及格的概率是( )
A. B. C. D.
3.的的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛场后甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图，湖北省分别与湖南安徽陕西江西四省交界，且湘皖陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A. B. C. D.
8.曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有个编号为，，，的盒子和个编号为，，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
10.下列命题中，正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. 除以的余数为
C. 在的展开式中，含的项的系数是
D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
11.已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则( )
A. 若，则
B. 若满足，则
C. 若交于点，则
D. 直线交于两点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线垂直，则实数 ．
13.四根绳子上共挂有只气球，绳子上的球数依次为，，，，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 ．
14.已知正三棱柱的各条棱长均为，则以点为球心、为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解．
条件：；条件：．
问题：已知，若__________．
求实数的值；
求的值．
16.本小题分
某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后，有，两条巷道通往作业区如图，巷道有，，三个易堵塞点，两点被堵塞的概率都是，巷道有，两个易堵塞点，两点被堵塞的概率分别为，．
求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
若巷道中堵塞点的个数为，求的分布列及均值；
请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
17.本小题分
已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，．
求抛物线的方程；
设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在中，，，，为的中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得平面平面，点是棱上一点，且平面．
求的值；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线，点，经过点的直线交双曲线于不同的两点、，过点，分别作双曲线的切线，两切线交于点二次曲线在曲线上某点处的切线方程为
求证：点恒在一条定直线上；
若两直线与交于点，，求的值；
若点、都在双曲线的右支上，过点、分别做直线的垂线，垂足分别为、，记，，的面积分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.【详解】因为，
若选条件：令，可得，解得；
若选条件：令，可得，
令，可得，
则，解得．
由可知：，且，
令，可得，
则，
所以．

16.【详解】设“巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件，
则．
依题意，知的所有可能取值为，，．
，，
所以随机变量的分布列为
．
设巷道中堵塞点的个数为，则，所以．
因为，所以选择巷道为抢险路线较好．

17.【详解】根据抛物线定义，，得，抛物线的方程为．
当直线的斜率不存在时，与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入到中，得
，
设，，则
，
所以直线的方程为．

18.【详解】因为平面平面，平面平面，
由题意可知，，故为平面与平面的二面角，
所以．
过点作于点，连接．
显然，平面，平面，所以平面．
又因为平面，，平面，
所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，
所以．
在折叠前的图形中，因为，，
所以．
因为，所以，
易知为的中点，所以，
所以，所以．
由知，以为原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
易知平面的一个法向量，
，．
设平面的法向量为，
所以
令，则，，故，
所以，
所以二面角的正弦值为．

19.证明：设，
由题意得：切线的方程为：，将点代入得：，
同理可得：，易知点，都在直线上，
所以直线的方程为：，
因为直线过点，所以，
所以点恒在定直线上．
法一：设，因为，所以
整理得
因为点在双曲线上，所以，
整理得，
同理可得，
所以，是关于的方程的两个实根，
所以．
法二：由题意知，的斜率存在，设的方程：，
联立得：，
所以，
设，因为，所以，所以，
同理，
所以
．
设，与联立得：
，
，
因为直线的方程为，所以，
所以，
同理，
所以，
故存在，使得．

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