第二章 二次函数 单元练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A． B． C． D．
3．已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝3x＋1 B．y＝3x2﹣6 C． D．y＝﹣2x3＋x﹣1
5．抛物线与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．且
6．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．⑤b＝4a
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
8．如图，二次函数（）的图象的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
9．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
10．把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
13．已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有 ．
14．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝ .
15．如图，直线与抛物线（）相交于，两点，点是抛物线上位于直线下方的点，则点的横坐标的取值范围是 ．
16．抛物线的对称轴是 ．
17．如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为；其中说法正确的是 ．（填写序号）
三、解答题
18．甲船和乙船分别从A港和C港同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示)．现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时，且A，C两港之间的距离为10海里．问：经过多长时间，甲船和乙船之间的距离最短？最短距离为多少？(注：题中的“距离”都是指直线距离，图中AC⊥CB．)
19．如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
20．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 3 -1 0 -1 0 3 …
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
21．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
22．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上；
①当时，求m的值，
②当时，该二次函数有最小值2，请直接写出m的取值范围．
23．某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
24．“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表：
售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 …
需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1．
③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2．
请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D B A D D C
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
【详解】解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
3．D
【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标求解．
【详解】∵ a> 0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过点(-1， 0)，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线经过点(3， 0)，
∴当y>0时，x<-1或x>3.
故选： D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.
4．B
【分析】根据二次函数的定义：形如的函数，判断即可．
【详解】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
5．D
【分析】首先根据二次函数的定义可得，再利用抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，由此利用一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根且，
∴，即
∴，
∴综上所述，且，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点个数问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
6．B
【分析】把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x=1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．
【详解】解：把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，c=-3a＞0，
∴ac＜0，3a+c=0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x=-=1，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；
∴当x=1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
∵对称轴为直线：x=-=1，
∴b=-2a，⑤错误，
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
7．A
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【详解】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
8．D
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断a、b、c的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜可判断④，利用当， 结合图像与对称轴可判断③，根据， ，即可判定⑤．
【详解】解：由函数图像的开口向下得＜0
由对称轴为＞0所以＞0 ，，故②正确
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜0，故①正确；
由图像知：当时，
此时点在第三象限，
＜0，
∴，故③错误；
，
∴，即，故⑤正确；
由交点位置可得：＞，
＜0
＞，
∴＜
∴，
∴＜即故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【详解】解：因为y＝2（x+1）2﹣1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（1，﹣1），
故选：D．
【点睛】本题考查了求抛物线顶点坐标的方法，牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．
10．C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
11．C
【分析】原价为33，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则函数解析式即可求得．
【详解】解：根据题意：平均每次降价的百分比为，该药品的原价为33元，降价后的价格为元，
可得与之间的函数关系为：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
12．D
【分析】利用二次函数的图象及性质一一判断即可．
【详解】解:∵-＜，a＞0，
∴a＞-b，
∴2a=a＋a＞a－b
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误；
若，，在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵，
∴b2-4ac=4，
∴x=，
∴|x1-x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴是直角三角形，
∵PA=PB，
∴是等腰直角三角形，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，此题难度较大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．①③
【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误；
故答案为①③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数、性质，熟练掌握二次函数的图象与系数、性质的关系是解题的关键．
14．-5
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数，
∴m2+2m-13=2且m-3≠0
解得：m=-5.
考点：二次函数的定义．
15．
【分析】先求出直线AB的解析式为：，点是抛物线上位于直线下方的点，点P的横坐标满足，由的两根为x1=-2，x2=5，不等式的解集是，点的横坐标的取值范围即可求出．
【详解】解：直线与抛物线（）相交于，两点，
设直线AB的解析式为：，
由直线过A、B代入解析式得，
解得，
直线AB的解析式为：，
点是抛物线上位于直线下方的点，
点P的横坐标满足，
由的两根为x1=-2，x2=5，
不等式的解集是．
∴点的横坐标的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，掌握直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，根据点P的位置构造不等式是解题关键．
16．直线．
【分析】本题考查二次函数的性质：二次函数的对称轴为直线．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出对称轴为直线．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线．
17．②③④
【分析】根据题意表示出平均速度，根据滚动距离=平均速度乘以时间得出关系式，解答即可．
【详解】解：∵速度每秒增加1m/s，
∴秒后小车的速度为 m/s，
平均速度为： m/s，
∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为：，故④正确；
∴小球由静止开始第秒滚动的距离为：米，故①错误，②正确；
小球滚动到斜面底端：，解得：（舍），故③正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关系是解本题的关键．
18．经过0.4 h，两船之间的距离最短，为6海里
【详解】试题分析：设甲、乙两船行驶的时间为t小时，则甲船行驶到AC上点D处，乙船行驶到CB上点E处，分别用t表示出CD、CE的距离，利用勾股定理求得DE的距离，进一步利用二次函数的性质探讨最短距离即可．
试题解析：
设经过t(h)，甲船和乙船分别到达D，E处，如图所示：
则DE＝＝
＝
＝ (t＞0)．
当t＝0.4时，400(t－0.4)2＋36有最小值36，
∴当t＝0.4时，A′B′＝＝6(海里)．
即经过0.4 h，两船之间的距离最短，为6海里．
19．y=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）.
【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案．
【详解】设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），
根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据面积关系得出等式是解题关键．
20．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②
【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．
【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；
故答案为：0；
（）如图所示
（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，
所以有三个根，分别是、、；
即答案为3；
②∵关于的方程有四个根，
∴函数的图象与y=a有四个交点，
由函数图象知：的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．
21．（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
【详解】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
22．(1)；
(2)①或；②
【分析】（1）将点P的坐标代入二次函数解析式可得关于a的方程，再解方程即可得出a的值．将二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标；
（2）①将点Q的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m的值；
②根据当时，二次函数取最小值为2，得出，解关于m的不等式组即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴．
解得：a=2；
∴二次函数的解析式为．
∴图象的顶点坐标是．
（2）①∵点在该二次函数图象上，且n=11，
∴．
解得，，
∴m的值为-4或2；
②∵二次函数的最小值为2，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，能够正确应用数形结合思想是解题关键．
23．（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价 进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝ 2x+160，
∴，
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是；
（2）由（1可得），
可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价 进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
24．(1)
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析
(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【详解】（1）把，代入可得
②-①，得，
解得，
把代入①，得，
∴．
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有，
化简，得，
∵在的范围内，
∴当时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
（3）由，得，
化简，得，解得（舍去），
∴售价为5元/千克．
此时，（吨）（千克），
把代入，得，
把代入，得，
∴总利润（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．