第二章 二次函数 单元练习 北师大版数学九年级下册(含解析)
第二章二次函数
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心,安置在柱子顶端处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,在过的任一平面上,建立平面直角 坐标系(如图),水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ,则下列结论错误的是( )
A.柱子的高度为
B.喷出的水流距柱子处达到最大高度
C.喷出的水流距水平面的最大高度是
D.水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
2.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面,水面宽,如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线,过,且对称轴是直线,则当时,自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.或
4.下列函数中是二次函数的是( )
A.y=3x+1 B.y=3x2﹣6 C. D.y=﹣2x3+x﹣1
5.抛物线与x轴有两个交点,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.且
6.如图,二次函数的图象经过点,,与y轴交于点C.下列结论:①;②当时,y随x的增大而增大;③;④.⑤b=4a
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,某农场拟建一间矩形奶牛饲养室,打算一边利用房屋现有的墙(墙足够长),其余三边除大门外用栅栏围成,栅栏总长度为50m,门宽为2m.若饲养室长为xm,占地面积为y,则y关于x的函数表达式为( )
A.y=﹣x2+26x(2≤x<52) B.y=﹣x2+50x(2≤x<52)
C.y=﹣x2+52x(2≤x<52) D.y=﹣x2+27x﹣52(2≤x<52)
8.如图,二次函数()的图象的对称轴是直线,则以下五个结论①,②,③,④,⑤中,正确的有( )
A.个 B.个
C.个 D.个
9.抛物线y=3(x﹣1)2﹣1的顶点坐标是( )
A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)
10.把函数的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
11.国家决定对某药品分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为33元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系为( )
A. B.
C. D.
12.如图,抛物线(是常数,)与轴交于两点,顶点给出下列结论:①;②若在抛物线上,则;③关于的方程有实数解,则;④当时,为等腰直角三角形,其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
二、填空题
13.已知二次函数的y=ax2+bx+c (a≠0)图象如图所示,有下列4个结论:①abc<0;②b<a+c;③2a+b=0;④a+b<m (am+b) (m≠1的实数),其中正确的结论有 .
14.若函数y=(m-3)是二次函数,则m= .
15.如图,直线与抛物线()相交于,两点,点是抛物线上位于直线下方的点,则点的横坐标的取值范围是 .
16.抛物线的对称轴是 .
17.如图,小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1m/s,则下列说法:①小球每秒滚动1米;②由静止开始经过1秒,小球滚动了0.5米;③小球滚动到斜面底端时需要4秒;④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为;其中说法正确的是 .(填写序号)
三、解答题
18.甲船和乙船分别从A港和C港同时出发,各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示).现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时,且A,C两港之间的距离为10海里.问:经过多长时间,甲船和乙船之间的距离最短?最短距离为多少?(注:题中的“距离”都是指直线距离,图中AC⊥CB.)
19.如图,一块矩形草地的长为100m,宽为80m,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x(m)的小路,这时草坪的面积为y(m2).求y与x的函数关系式,并求出x的取值范围.
20.某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究,探究过程如下.
(1)自变量的取值范围是全体实数,与的几组对应值如下:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 3 -1 0 -1 0 3 …
其中,______.
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分.
(3)进一步探究函数图象发现:
①方程有______个实数根;
②关于的方程有4个实数根时,的取值范围是______.
21.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
22.如图,已知二次函数的图象经过点.
(1)求a的值和图象的顶点坐标;
(2)点在该二次函数图象上;
①当时,求m的值,
②当时,该二次函数有最小值2,请直接写出m的取值范围.
23.某商场以每件40元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=-2x+160.
(1)写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,那么每件商品的售价定位多少元最合适?最大的销售利润为多少元?
24.“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息:①统计售价与需求量的数据,通过描点(图1),发现该蔬菜需求量(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其表达式为,部分对应值如表:
售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量(吨) … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为,函数图象见图1.
③1~7月份该蔬菜售价(元/千克),成本(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为,,函数图象见图2.
请解答下列问题:
(1)求a,c的值.
(2)根据图2,哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D B A D D C
题号 11 12
答案 C D
1.C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下,利用其性质,求顶点(最大高度),与x轴,y轴的交点,解答题目的问题.
【详解】解:∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴当x=0时,y=3,即OA=3m,故A正确,
当x=1时,y取得最大值,此时y=4,故B正确,C错误
当y=0时,x=3或x=-1(舍去),故D正确,
故选:C.
【点睛】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
2.C
【分析】由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为轴,可设此函数解析式为:,利用待定系数法求解.
【详解】解:设此函数解析式为:,
由题意得:在此函数解析式上,
则
即得,
那么.
故选:C.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用,关键是借助二次函数解决实际问题.
3.D
【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标求解.
【详解】∵ a> 0,
∴抛物线开口向上,
∵抛物线经过点(-1, 0),抛物线对称轴为直线x=1,
∴抛物线经过点(3, 0),
∴当y>0时,x<-1或x>3.
故选: D.
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题,解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系,掌握二次函数的性质.
4.B
【分析】根据二次函数的定义:形如的函数,判断即可.
【详解】解:A、该函数是一次函数,故本选项不符合题意;
B、该函数二次函数,故本选项符合题意;
C、该函数不是二次函数,故本选项不符合题意;
D、该函数不是二次函数,故本选项不符合题意.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义,熟练掌握定义是解题的关键.
5.D
【分析】首先根据二次函数的定义可得,再利用抛物线与x轴有两个交点,即方程有两个不相等的实数根,由此利用一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】解:∵抛物线与x轴有两个交点,
∴方程有两个不相等的实数根且,
∴,即
∴,
∴综上所述,且,
故选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,二次函数与x轴的交点个数问题,解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式.
6.B
【分析】把点A(-1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,可得二次函数的解析式为:y=ax2-2ax-3a,由图象可知,函数图象开口向下,所以a<0,可得b和c的符号,及a和c的数量关系;由函数解析式可得抛物线对称轴为直线:x=1,根据函数的增减性和最值,可判断②和④的正确性.
【详解】解:把点A(-1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,
可得二次函数的解析式为:y=ax2-2ax-3a,
∵该函数图象开口方向向下,
∴a<0,
∴b=-2a>0,c=-3a>0,
∴ac<0,3a+c=0,①错误,③正确;
∵对称轴为直线:x=-=1,
∴x<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小;②错误;
∴当x=1时,函数取得最大值,即对于任意的m,有a+b+c≥am2+bm+c,
∴a+b≥am2+bm,故④正确.
∵对称轴为直线:x=-=1,
∴b=-2a,⑤错误,
综上,正确的个数有2个,
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).
7.A
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长,再利用矩形面积求法得出答案.
【详解】解:y关于x的函数表达式为:y(50+2﹣x)x
x2+26x(2≤x<52).
故选:A.
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系,正确表示出另一边长是解题关键.
8.D
【分析】由开口方向,对称轴方程,与轴的交点坐标判断a、b、c的符号,从而可判断①②,利用与轴的交点位置得到>,结合<可判断④,利用当, 结合图像与对称轴可判断③,根据, ,即可判定⑤.
【详解】解:由函数图像的开口向下得<0
由对称轴为>0所以>0 ,,故②正确
由函数与轴交于正半轴,所以>
<0,故①正确;
由图像知:当时,
此时点在第三象限,
<0,
∴,故③错误;
,
∴,即,故⑤正确;
由交点位置可得:>,
<0
>,
∴<
∴,
∴<即故④正确;
故选D.
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系,同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号,掌握以上知识是解题的关键.
9.D
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标.
【详解】解:因为y=2(x+1)2﹣1是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,
顶点坐标为(1,﹣1),
故选:D.
【点睛】本题考查了求抛物线顶点坐标的方法,牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键.
10.C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变,a不变,根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答.
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为
,
故选:C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点.
11.C
【分析】原价为33,第一次降价后的价格是,第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为:,则函数解析式即可求得.
【详解】解:根据题意:平均每次降价的百分比为,该药品的原价为33元,降价后的价格为元,
可得与之间的函数关系为:.
故选:C.
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式,本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的.
12.D
【分析】利用二次函数的图象及性质一一判断即可.
【详解】解:∵-<,a>0,
∴a>-b,
∴2a=a+a>a-b
∵x=-1时,y>0,
∴a-b+c>0,
∴2a+c>a-b+c>0,故①错误;
若,,在抛物线上,
由图象法可知,y1>y2>y3;故②正确;
∵抛物线与直线y=t有交点时,方程ax2+bx+c=t有解,t≥n,
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解,则k=c-t≤c-n;故③错误;
设抛物线的对称轴交x轴于H.
∵,
∴b2-4ac=4,
∴x=,
∴|x1-x2|=,
∴AB=2PH,
∵BH=AH,
∴PH=BH=AH,
∴是直角三角形,
∵PA=PB,
∴是等腰直角三角形,故④正确.
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识,此题难度较大,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
13.①③
【分析】①由抛物线开口向下a<0,抛物线和y轴的正半轴相交,c>0, =1>0,b>0,②令x=﹣1,时y<0,即a﹣b+c<0,③=1,即2a+b=0,④把x=m代入函数解析式中表示出对应的函数值,把x=1代入解析式得到对应的解析式,根据图形可知x=1时函数值最大,所以x=1对应的函数值大于x=m对应的函数值,化简得到不等式.
【详解】解:①∵抛物线开口向下,抛物线和y轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,
∵=1>0,
∴b>0,
∴abc<0,故①正确;
②令x=﹣1,时y<0,即a﹣b+c<0,故②错误;
③∵=1,
∴2a+b=0,
故③正确;
④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,
x=1对应的函数值为y=a+b+c,又x=1时函数取得最大值,
∴a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b),
故④错误;
故答案为①③.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数、性质,熟练掌握二次函数的图象与系数、性质的关系是解题的关键.
14.-5
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程,求出m的值即可.
【详解】∵函数y=(m-3)是二次函数,
∴m2+2m-13=2且m-3≠0
解得:m=-5.
考点:二次函数的定义.
15.
【分析】先求出直线AB的解析式为:,点是抛物线上位于直线下方的点,点P的横坐标满足,由的两根为x1=-2,x2=5,不等式的解集是,点的横坐标的取值范围即可求出.
【详解】解:直线与抛物线()相交于,两点,
设直线AB的解析式为:,
由直线过A、B代入解析式得,
解得,
直线AB的解析式为:,
点是抛物线上位于直线下方的点,
点P的横坐标满足,
由的两根为x1=-2,x2=5,
不等式的解集是.
∴点的横坐标的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线解析式的求法,方程的解,利用图像解不等式,掌握直线解析式的求法,方程的解,利用图像解不等式,根据点P的位置构造不等式是解题关键.
16.直线.
【分析】本题考查二次函数的性质:二次函数的对称轴为直线.根据题目中抛物线的顶点式,可以直接写出对称轴为直线.
【详解】解:∵抛物线,
∴该抛物线的对称轴是直线,
故答案为:直线.
17.②③④
【分析】根据题意表示出平均速度,根据滚动距离=平均速度乘以时间得出关系式,解答即可.
【详解】解:∵速度每秒增加1m/s,
∴秒后小车的速度为 m/s,
平均速度为: m/s,
∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为:,故④正确;
∴小球由静止开始第秒滚动的距离为:米,故①错误,②正确;
小球滚动到斜面底端:,解得:(舍),故③正确,
故答案为:②③④.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关系是解本题的关键.
18.经过0.4 h,两船之间的距离最短,为6海里
【详解】试题分析:设甲、乙两船行驶的时间为t小时,则甲船行驶到AC上点D处,乙船行驶到CB上点E处,分别用t表示出CD、CE的距离,利用勾股定理求得DE的距离,进一步利用二次函数的性质探讨最短距离即可.
试题解析:
设经过t(h),甲船和乙船分别到达D,E处,如图所示:
则DE==
=
= (t>0).
当t=0.4时,400(t-0.4)2+36有最小值36,
∴当t=0.4时,A′B′==6(海里).
即经过0.4 h,两船之间的距离最短,为6海里.
19.y=x2﹣180x+8000(0<x<80).
【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案.
【详解】设中间修筑两条互相垂直的宽为x(m)的小路,草坪的面积为y(m2),
根据题意得出:y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000(0<x<80)
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式,根据面积关系得出等式是解题关键.
20.(1)0;(2)图见解析;(3)①3;②
【分析】(1)那x=-2代入解析式,即可求得m的值;
(2)利用描点法画函数图象即可;
(3)①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解;②观察图象,找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可.
【详解】(1)x=-2时,m=(-2)2- =0;
故答案为:0;
()如图所示
()①观察图象,可知与x轴有三个交点,
所以有三个根,分别是、、;
即答案为3;
②∵关于的方程有四个根,
∴函数的图象与y=a有四个交点,
由函数图象知:的取值范围是.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程,其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.
21.(1)足球飞行的时间是s时,足球离地面最高,最大高度是4.5m;(2)能.
【分析】(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,当t=时,y最大=4.5;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门.
【详解】解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,
∴当t=时,y最大=4.5;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,
∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,
∴他能将球直接射入球门.
22.(1);
(2)①或;②
【分析】(1)将点P的坐标代入二次函数解析式可得关于a的方程,再解方程即可得出a的值.将二次函数的解析式进行配方,即可得到图象的顶点坐标;
(2)①将点Q的坐标代入二次函数解析式,求解方程即可得到m的值;
②根据当时,二次函数取最小值为2,得出,解关于m的不等式组即可.
【详解】(1)解:∵二次函数的图象经过点,
∴.
解得:a=2;
∴二次函数的解析式为.
∴图象的顶点坐标是.
(2)①∵点在该二次函数图象上,且n=11,
∴.
解得,,
∴m的值为-4或2;
②∵二次函数的最小值为2,
∴,
解得:,
∴m的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,解一元二次方程,二次函数的最值,能够正确应用数形结合思想是解题关键.
23.(1)y与每件的销售价x之间的函数解析式是;(2)每件商品的售价定位60元最合适,最大的销售利润为800元.
【分析】(1)此题可以按等量关系“每天的销售利润=(销售价 进价)×每天的销售量”列出函数关系式,并由售价大于进价,且销售量大于零求得自变量的取值范围;
(2)根据(1)所得的函数关系式,利用配方法求二次函数的最值即可得出答案.
【详解】(1)由题意得,每件商品的销售利润为(x-40)元,那么m件的销售利润为y=m(x-40),又∵m= 2x+160,
∴,
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是;
(2)由(1可得),
可得每件商品的售价定位60元最合适,最大的销售利润为800元.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用,解答本题的关键是根据等量关系:“每天的销售利润=(销售价 进价)×每天的销售量”列出函数关系式,另外要熟练掌握二次函数求最值的方法.
24.(1)
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大,见解析
(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8000元
【分析】(1)运用待定系数法求解即可;
(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据列出函数关系式,由二次函数的性质可得结论;
(3)根据题意列出方程,求出x的值,再求出总利润即可.
【详解】(1)把,代入可得
②-①,得,
解得,
把代入①,得,
∴.
(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据题意,
有,
化简,得,
∵在的范围内,
∴当时,w有最大值.
答:在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)由,得,
化简,得,解得(舍去),
∴售价为5元/千克.
此时,(吨)(千克),
把代入,得,
把代入,得,
∴总利润(元).
答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8000元.
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用,结合函数图象得出各点的坐标,再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.
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