2.2二次函数的图象与性质同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）
2．若函数的图像经过两次平移得到函数的图象，则下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向上平移1个单位，再向右平移2个单位
D．先向下平移1个单位，再向左平移2个单位
3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
4．下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（　　）

A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0
7．当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2或 D．2或
8．将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3
9．如果已知二次函数y＝ax2＋ bx ＋c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2 －4ac，a＋b＋c，a－b＋c，2a＋b中，其值为正的式子的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或1
11．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A．y=(x-6)2 B．y=(x+6)2 C．y=-(x-6)2 D．y=-(x+6)2
二、填空题
13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c的值为 ．
14．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ．
15．二次函数，点在函数图像上，当时， (填“﹥”或“﹤”)．
16．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
17．已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a1 a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

三、解答题
18．已知抛物线．
（1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y随x增大而减小？
（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？
19．已知如图，抛物线与x轴相交于两点，，与y轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一点，求出m的值，并求出此时的面积．
20．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
21．（已知对称轴和最值）已知二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4．求二次函数的解析式．
22．已知二次函数，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．
23．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
24．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D D A A B A
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
【详解】把(0, 3)代入y=x2 2x+c中得c= 3，
抛物线为y=x2 2x 3=(x 1)2 4=(x+1)(x 3)
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为 4，
与x轴的交点为( 1,0),(3,0)；C错误.
故选C.
2．A
【分析】把二次函数化为顶点式，再观察它是怎样通过二次函数的图象平移而得到即可．
【详解】解：
按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
3．B
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有
解得：m>0，
故选：B．
4．A
【分析】分别计算自变量为1和2、3、4所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：当x=1时，y=-x2=-1，
当x=2时，y=-x2=-4，
当x=3时，y=-x2=-9，
当x=4时，y=-x2=-16，
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
5．D
【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
6．D
【分析】根据开口方向可判断a的符号，根据对称轴可判断b的符号，根据图像与y轴的交点可判断c的符号.
【详解】解：由图象开口可知：a＜0；
由图象与y轴交点可知：c＜0；
由对称轴可知：0，∴b＜0；
∴a＜0，b＜0，c＜0，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中考常考题型．
7．A
【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．
【详解】解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．
∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，
∴4+2a=-1，
∴a=-，不合题意，舍去．
当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．
∴3-a2=-1．
∴a2=4，
∵1<-a<3，
∴a=-2．
当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．
∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．
∴12+6a=-1．
∴a=-．
∵a≤-3．
∴不合题意，舍去．
综上：a=-2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
8．A
【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度得y＝﹣3(x+2)2＋1，
抛物线y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y＝﹣3(x＋2)2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
9．B
【分析】根据图象，结合二次函数的开口方向与a的关系、抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点位置、函数在x=1时的函数值，及抛物线与x轴的交点个数等进行分析判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0，
∵一>0，∴b<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴ab<0，ac>0，bc<0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2—4ac>0，
∵x＝1时的函数值小于0，
∴a＋b＋c<0，
又∵x=-1时的函数值大于0，
∴a一b＋c>0，
∵对称轴为直线x＝1．
∴－＝1，即2a＋b＝0，
所以一共有3个式子的值为正．
故选：B
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，理解二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．
10．A
【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可．
【详解】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，取得最小值5，
可得：，
解得：或（舍；
②若，当时，取得最小值5，
可得：，
解得：或（舍．
综上，的值为或5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
11．B
【详解】解：∵抛物线与交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵=时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
12．B
【详解】可设抛物线解析式为y=a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案．
解：∵顶点为( 6,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，
∵开口方向,形状与函数y=x2的图象相同，
∴a=，
∴抛物线解析式为y= (x+6)2，
故选B.
13．1
【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，
∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），
∴当x=1时，y=1，
即a+b+c=1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键．
14．或
【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴，即，即，
∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
②当时，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当时，，即，
当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
∵，故此种情况无解；
综上①②③所述，得，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键．
15．＜
【分析】根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：由二次函数得，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，
∴当时，＜．
故答案为：＜
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．
16．
【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：抛物线，
对称轴为，
，
点关于的对称点，
，
在的右边随的增大而减小，
，，，，
，
故答案选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．
17．
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
的开口小于的开口，
则a1＞a2，
故答案为：＞.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
18．（1）顶点坐标为（-1，），对称轴为：x= -1；（2）x﹥-1时，随增大而减小 ；（3）-4﹤x﹤2时，抛物线在x轴上方．
【详解】试题分析：（1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；
（2）对称轴是x=-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；
（3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．
试题解析：（1）∵y=﹣﹣x+4=﹣（x2+2x﹣8）=﹣[（x+1）2﹣9]=﹣ +，
∴它的顶点坐标为（﹣1，），对称轴为直线x=﹣1；
（2）∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小；
（3）当y=0时，即﹣+=0解得x1=2，x2=﹣4，而抛物线开口向下，
∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．
19．（1）y＝x2 4x＋3；（2）；S△ABD＝
【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定该二次函数的解析式；
（2）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值；以AB为底，D点纵坐标的绝对值为高，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：（1）A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式得
，
解之得，
∴y＝x2 4x＋3；
（2）∵是抛物线y＝x2 4x＋3上的点，代入得；
∴S△ABD＝．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积求法，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
20．(1)
(2)11
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据对称轴求解即可；
（2）根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可；
【详解】（1）∵点在二次函数的图象上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
∴；
（2）∵点在的图象上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到的新二次函数为，
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为1，
当时，函数有最大值，最大值为，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
21．
【分析】由二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4可以得到，，从而得出答案．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4，
，，
二次函数的解析式为：．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22．
【分析】本题考查根据二次函数图象的变换求抛物线解析式，先把原二次函数解析式转化成顶点式，再根据“关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数，”求解即可．
【详解】解：，
∵，顶点坐标为，
∴其图象关于x轴对称的顶点坐标为，，
所以对称后的图象的解析式为．
23．（1）；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标，由C与的距离即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数的值都对应的一个整数值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
，
，而，
，
，
∴抛物线的解析式为：，
的对称轴，
又知、两点关于对称轴对称，则
当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，
当时，，
；
（2），
的顶点，
点在上方，
与的距离，
点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值，
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴“整点”的个数：（个）；
故时“整点”的个数为4044个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
24．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.