2.2二次函数的图象与性质同步练习 北师大版数学九年级下册(含解析)

2.2二次函数的图象与性质同步练习 北师大版数学九年级下册(含解析)


2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若抛物线与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是【 】
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)
2.若函数的图像经过两次平移得到函数的图象,则下列平移正确的是( )
A.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位
B.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位
C.先向上平移1个单位,再向右平移2个单位
D.先向下平移1个单位,再向左平移2个单位
3.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(  )
A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1<m<0
4.下列各点中,在二次函数的图象上的是( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是(  )
A.对称轴是直线x=1 B.当x<0时,函数y随x增大而增大
C.图象的顶点坐标是(1,4) D.图象与x轴的另一个交点是(4,0)
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,那么a、b、c的取值范围是(  )

A.a<0、b>0、c>0 B.a<0、b<0、c>0 C.a<0、b>0、c<0 D.a<0、b<0、c<0
7.当时,二次函数的最小值为-1,则a的值为( )
A.-2 B.±2 C.2或 D.2或
8.将抛物线y=﹣3x2+1向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得的抛物线解析式为( )
A.y=﹣3(x+2)2 B.y=﹣3(x﹣2)2﹣1
C.y=﹣3(x+1)2﹣1 D.y=﹣3(x﹣1)2+3
9.如果已知二次函数y=ax2+ bx +c的图象如图所示,则下列7个代数式ab,ac,bc,b2 -4ac,a+b+c,a-b+c,2a+b中,其值为正的式子的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.已知二次函数(h为常数),在自变量x的值满足的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( )
A.5或 B.3或 C.5或3 D.3或1
11.如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点.则下列结论:①a=;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2.其中正确结论的个数是(   )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.顶点为(-6,0),开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A.y=(x-6)2 B.y=(x+6)2 C.y=-(x-6)2 D.y=-(x+6)2
二、填空题
13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,且经过点P(3,1),则a+b+c的值为 .
14.若二次函数在时的最大值为3,那么的值是 .
15.二次函数,点在函数图像上,当时, (填“﹥”或“﹤”).
16.设A(-2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+k上的三点,则y1、y2、y3的大小关系为 .
17.已知两个二次函数的图像如图所示,那么 a1 a2(填“>”、“=”或“<”).

三、解答题
18.已知抛物线.
(1)用配方法求它的顶点坐标、对称轴;
(2)x取何值时,y随x增大而减小?
(3)x取何值时,抛物线在x轴上方?
19.已知如图,抛物线与x轴相交于两点,,与y轴相交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点是抛物线上的一点,求出m的值,并求出此时的面积.
20.在平面直角坐标系中,点在二次函数的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线.
(1)求m的值;
(2)若点在的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.
21.(已知对称轴和最值)已知二次函数的图象的对称轴为直线,函数的最大值为4.求二次函数的解析式.
22.已知二次函数,求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式.
23.如图,直线与轴交于点,直线与轴交于点,抛物线的顶点为,且与轴左交点为(其中).
(1)当时,在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小;
(2)当点在直线上方时,求点到直线距离的最大值;
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当时,求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数.
24.在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形.
(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;
(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D D A A B A
题号 11 12
答案 B B
1.C
【分析】把(0,-3)代入抛物线解析式求c的值,然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标.
【详解】把(0, 3)代入y=x2 2x+c中得c= 3,
抛物线为y=x2 2x 3=(x 1)2 4=(x+1)(x 3)
所以:抛物线开口向上,对称轴是x=1,
当x=1时,y的最小值为 4,
与x轴的交点为( 1,0),(3,0);C错误.
故选C.
2.A
【分析】把二次函数化为顶点式,再观察它是怎样通过二次函数的图象平移而得到即可.
【详解】解:
按照“左加右减,上加下减”的规律,它可以由二次函数先向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题,熟练掌握平移规律是解题的关键.
3.B
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标,根据顶点在第一象限,所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组.
【详解】顶点坐标(m,m+1)在第一象限,则有
解得:m>0,
故选:B.
4.A
【分析】分别计算自变量为1和2、3、4所对应的函数值,然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断.
【详解】解:当x=1时,y=-x2=-1,
当x=2时,y=-x2=-4,
当x=3时,y=-x2=-9,
当x=4时,y=-x2=-16,
所以点(1,-1)在二次函数y=-x2的图象上.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
5.D
【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.
【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x=1故选项A正确;
当x<0时,函数y随x增大而增大,故选项B正确;
图象的顶点坐标是(1,4),故选项C正确;
图象与x轴的另一个交点是(3,0),故选项D错误.
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.
6.D
【分析】根据开口方向可判断a的符号,根据对称轴可判断b的符号,根据图像与y轴的交点可判断c的符号.
【详解】解:由图象开口可知:a<0;
由图象与y轴交点可知:c<0;
由对称轴可知:0,∴b<0;
∴a<0,b<0,c<0,
故选:D.
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中考常考题型.
7.A
【分析】将二次函数化成顶点式,再分类讨论求最值即可.
【详解】解:y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2.
抛物线开口向上,对称轴为直线x=-a.
∴当-a≤1时,即a≥-1,当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,
当x=1时,y有最小值=1+2a+3=4+2a,
∴4+2a=-1,
∴a=-,不合题意,舍去.
当1<-a<3时,x=-a,y有最小值3-a2.
∴3-a2=-1.
∴a2=4,
∵1<-a<3,
∴a=-2.
当-a≥3时,即a≤-3,当1≤x≤3,y随x的增大而减少.
∴当x=3时,y有最小值=9+6a+3=12+6a.
∴12+6a=-1.
∴a=-.
∵a≤-3.
∴不合题意,舍去.
综上:a=-2.
故选:A.
【点睛】本题考查二次函数的最值,对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键.
8.A
【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可.
【详解】解:抛物线y=﹣3x2+1向左平移2个单位长度得y=﹣3(x+2)2+1,
抛物线y=﹣3(x+2)2+1向下平移1个单位长度得y=﹣3(x+2)2.
故选:A.
【点睛】本题考查二次函数图象的平移,掌握平移规律:左加右减,上加下减是解题关键.
9.B
【分析】根据图象,结合二次函数的开口方向与a的关系、抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点位置、函数在x=1时的函数值,及抛物线与x轴的交点个数等进行分析判断即可.
【详解】解:∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵一>0,∴b<0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴ab<0,ac>0,bc<0,
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2—4ac>0,
∵x=1时的函数值小于0,
∴a+b+c<0,
又∵x=-1时的函数值大于0,
∴a一b+c>0,
∵对称轴为直线x=1.
∴-=1,即2a+b=0,
所以一共有3个式子的值为正.
故选:B
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,理解二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键.
10.A
【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值1、时,随的增大而增大、当时,随的增大而减小,根据时,函数的最小值为5可分如下两种情况:①若,时,取得最小值5;②若,当时,取得最小值5,分别列出关于的方程求解即可.
【详解】解:当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小,
①若,时,取得最小值5,
可得:,
解得:或(舍;
②若,当时,取得最小值5,
可得:,
解得:或(舍.
综上,的值为或5,
故选:A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值,根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
11.B
【详解】解:∵抛物线与交于点A(1,3),∴3=a(1﹣4)2﹣3,解得:a=,故①正确;
∵E是抛物线的顶点,∴AE=EC,∴无法得出AC=AE,故②错误;
当y=3时,3=,解得:x1=1,x2=﹣3,故B(﹣3,3),D(﹣1,1),则AB=4,AD=BD=,∴AD2+BD2=AB2,∴③△ABD是等腰直角三角形,正确;
∵=时,解得:x1=1,x2=37,∴当37>x>1时,y1>y2,故④错误.
故选B.
点睛:本题考查了二次函数的性质,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,已知函数值求自变量的值.
12.B
【详解】可设抛物线解析式为y=a(x+6)2,再由条件可求得a的值,可求得答案.
解:∵顶点为( 6,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2,
∵开口方向,形状与函数y=x2的图象相同,
∴a=,
∴抛物线解析式为y= (x+6)2,
故选B.
13.1
【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为(1,1),故当x=1时可求得y值为1,即可求得答案.
【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,
∴P(3,1)对称点坐标为(1,1),
∴当x=1时,y=1,
即a+b+c=1,
故答案为1.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质,利用二次函数的对称性求得点(1,1)在其图象上是解题的关键.
14.或
【分析】求出二次函数的对称轴是,由于对称轴是变化的,我们分:①时;②当上时;③当时,三种情况结合增减性讨论即可.
【详解】解:二次函数的对称轴是,
,二次函数开口向下,
①当对称轴,即,即,
∴当时,图象位于对称轴右侧,随的增大而减小,
即当时,二次函数有最大值为,
解得;
②当时,即,
∴当时,二次函数有最大值为,
解得或,
由于,故;
③当时,,即,
当时,图象位于对称轴左侧,随的增大而增大,
即当时,二次函数有最大值为,
解得;
∵,故此种情况无解;
综上①②③所述,得,,
故答案为:或.
【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值,属于典型题型“动轴定范围最值问题”,根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键.
15.<
【分析】根据二次函数确定抛物线对称轴,开口方向,增减性,再结合已知条件即可求解.
【详解】解:由二次函数得,
抛物线对称轴为y轴,开口向下,y轴左侧,y随x增大而增大,再y轴右侧,y随x增大而减小,
∴当时,<.
故答案为:<
【点睛】本题考查了二次函数的性质,熟知特殊二次函数的性质是解题关键.
16.
【分析】本题要比较,,的大小,由于,,是抛物线上三个点的纵坐标,所以可以根据二次函数的性质进行解答:先求出抛物线的对称轴,再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标,再根据抛物线开口向下,在对称轴右边,随的增大而减小,便可得出,,的大小关系.
【详解】解:抛物线,
对称轴为,

点关于的对称点,

在的右边随的增大而减小,
,,,,

故答案选:.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质,对称轴的求法,解题的关键是熟记二次函数的性质:时,在对称轴左边,随的增大而减小,在对称轴右边,随的增大而增大;时,在对称轴左边,随的增大而增大,在对称轴右边,随的增大而减小.
17.
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案.
【详解】解:如图所示:
的开口小于的开口,
则a1>a2,
故答案为:>.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键.
18.(1)顶点坐标为(-1,),对称轴为:x= -1;(2)x﹥-1时,随增大而减小 ;(3)-4﹤x﹤2时,抛物线在x轴上方.
【详解】试题分析:(1)用配方法时,先提二次项系数,再配方,写成顶点式,根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴;
(2)对称轴是x=-1,开口向下,根据对称轴及开口方向确定函数的增减性;
(3)令y=0,确定函数图象与x轴的交点,结合开口方向判断x的取值范围.
试题解析:(1)∵y=﹣﹣x+4=﹣(x2+2x﹣8)=﹣[(x+1)2﹣9]=﹣ +,
∴它的顶点坐标为(﹣1,),对称轴为直线x=﹣1;
(2)∵抛物线对称轴是直线x=﹣1,开口向下,∴当x>﹣1时,y随x增大而减小;
(3)当y=0时,即﹣+=0解得x1=2,x2=﹣4,而抛物线开口向下,
∴当﹣4<x<2时,抛物线在x轴上方.
19.(1)y=x2 4x+3;(2);S△ABD=
【分析】(1)将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值,从而确定该二次函数的解析式;
(2)将D点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出m的值;以AB为底,D点纵坐标的绝对值为高,即可求出△ABD的面积.
【详解】解:(1)A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式得

解之得,
∴y=x2 4x+3;
(2)∵是抛物线y=x2 4x+3上的点,代入得;
∴S△ABD=.
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积求法,解题的关键是熟知待定系数法的运用.
20.(1)
(2)11
【分析】本题考查了二次函数的性质,二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键;
(1)根据对称轴求解即可;
(2)根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可;
【详解】(1)∵点在二次函数的图象上,
∴,解得,
∴二次函数的解析式为,
∴对称轴为直线,
∴;
(2)∵点在的图象上,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为,
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到的新二次函数为,
∵,
∴当时,函数有最小值,最小值为1,
当时,函数有最大值,最大值为,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
21.
【分析】由二次函数的图象的对称轴为直线,函数的最大值为4可以得到,,从而得出答案.
【详解】解:二次函数的图象的对称轴为直线,函数的最大值为4,
,,
二次函数的解析式为:.
【点睛】本题考查了二次函数,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
22.
【分析】本题考查根据二次函数图象的变换求抛物线解析式,先把原二次函数解析式转化成顶点式,再根据“关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变,而开口方向,顶点的纵坐标变化了,开口方向与原图象的开口方向相反,顶点的横坐标不变,纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数,”求解即可.
【详解】解:,
∵,顶点坐标为,
∴其图象关于x轴对称的顶点坐标为,,
所以对称后的图象的解析式为.
23.(1);(2)1;(3)4044个
【分析】(1)先求出点B坐标,B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值,再求出抛物线的对称轴,根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知,当、、三点共线时周长最短,此时点为直线与对称轴的交点,进而求解即可;
(2)先求出抛物线的顶点C坐标,由C与的距离即可求出最大值;
(3)先求出抛物线与直线a的交点的横坐标,根据每一个整数的值都对应的一个整数值,结合边界由线段和抛物线组成求解即可.
【详解】解:(1)当时,,

,而,


∴抛物线的解析式为:,
的对称轴,
又知、两点关于对称轴对称,则
当、、三点共线时周长最短,此时点为直线与对称轴的交点,
当时,,

(2),
的顶点,
点在上方,
与的距离,
点与距离的最大值为1;
(3)当时,抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得:,
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值,
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数;
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线,
∴线段和抛物线上各有2023个整数点,
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复,
∴“整点”的个数:(个);
故时“整点”的个数为4044个.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题,综合性强,难度适中,解答的关键是读懂题意,找寻相关知识的关联点,利用数形结合思想解决问题.
24.(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)根据二次函数的图象解答即可;
(2)从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】(1)解:如图:

与图象的相同点是:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,
与图象的不同点是:开口向上,顶点坐标是(0,1),开口向下,顶点坐标是(0,﹣1);
(2)解:两个函数图象的性质的相同点:开口程度相同,即开口大小一样;
不同点:,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,属于基础题型,熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.

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