3.6直线和圆的位置关系同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
3．已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
4．在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．外离
6．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
7．如图，、是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
10．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2
11．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在直线上有相距的两点和O（点在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点作直线将以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线上），则与直线相切时，时间为（ ）
A．3s B．3.5s C．3s或4s D．3s或3.5s
二、填空题
13．如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移 个单位时，它与x轴相切．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s．
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线的解析式为若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
16．如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ ．
17．如图，∠MAB=30° ，P为AB上的点，且AP=6，圆P与AM相切，则圆P的半径为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
19．在中，，O是上的一点，，⊙的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，
（1）与⊙相交？
（2）与⊙相切？
（3）与⊙相离？
20．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若直线CD是⊙O的切线，求证：D为AP的中点．
21．如图,E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证:ED=BD;
(2)若∠BAC=90°,△ABC的外接圆☉O的直径是6,求BD的长.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．

23．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；作OP的垂直平分线与OP交于点M；
②以OM为半径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠ = （ ）（填推理的依据）．
， ．
∵OA，OB为⊙O半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
24．如图所示，在中，，点在上，以为直径的与相交于点，与相交于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积；
（3）若，，求．
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C B A A B B D
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得：
，
在直角中，由勾股定理得：，
即，
，
的半径是2．
将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；
将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．
故选：D
2．D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出结论①正确；由点D是BC的中点，AD⊥BC得出AD为BC的中垂线，则可证明∠ODB＝∠C，OD∥AC，∠ODE＝∠CED＝90°，故④正确；由∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，可得∠EDA＝∠BDO，再利用∠ODB＝∠B可得∠EDA＝∠B，结论②正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，因AC＝AB，故AO为AC的一半，故结论③正确．
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故结论①正确；
连接OD，如图，
∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
∴ED是圆O的切线，故结论④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，故结论②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝AB，
∴OA＝AC，故结论③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
3．D
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．
此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
【点睛】考查判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．
4．C
【分析】求出点C到直线的距离，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴点C到直线的距离为，
∵，
∴直线与的位置关系是相交．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，解决此题的关键是正确计算圆心到直线的距离，即直角三角形斜边上的高．
5．B
【详解】根据题意得：点A到直线BC的距离=AC，
∵AC=6cm，圆的半径=6cm，
∴以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC相切．
故选B．
6．A
【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
（2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
（5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误；
正确的只有1个，
故选：A．
7．A
【分析】连接OC，可知∠OCD＝90°，而∠A＝35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】解：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠D＝∠OCD -∠COD =90°﹣60°＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质，解题的关键是求出∠COD的度数．
8．B
【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．
【详解】如图，连接OA，OB，
∵BM为⊙O的切线，
∴∠OBM＝90°，
∵∠MBA＝130°，
∴∠ABO＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线性质及圆周角定理，熟记基本定理并灵活运用性质是解题关键．
9．B
【分析】先根据切线的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算出的度数即可．
【详解】解：∵是的切线，是的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质和直角三角形的性质．注意：圆的切线垂直于经过切点的半径．正解理解和应用切线的性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点为直线上任意一点，
如下图，

直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，
此时：＝，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
11．A
【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
12．C
【分析】根据切线的判定方法，点O到AB距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【详解】解：当点O到AB距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为，
∴当圆向右移动或时，点O到AB距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴或，
即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆的切线垂直与经过切点的半径，经过半径的外端且垂直与这条半径的直线时圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切．
13．1或5
【详解】欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解答：解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，要使圆与x轴相切，必须d=r；
∵此时d=3，
∴圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切．
14．4或8/8或4
【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可．
【详解】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°
∴OP＝2PE＝2cm
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切
∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E
∴PF＝1cm
∵∠AOC＝∠DOB＝30°
∴OP＝2PF＝2cm
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒）
∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算．
15．或
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A），当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得∠DOC=45°，即可得出点C的坐标，进一步得出t的值；当直线过点B时，直线根据待定系数法求得t的值.
【详解】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）
当直线和半圆相切于点C时，直线与x轴所形成的锐角是45°，
∴∠DOC=45°，
又∵半圆的半径1，
∴CD=OD=
∴
代入解析式，得
当直线过点A时，把A代入直线解析式，得
当直线过点B时，把B代入直线解析式，得
即当或，直线和半圆只有一个交点.
【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法.
16．9．
【分析】根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，进而解答即可．
【详解】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE是解此题的关键．
17．3
【分析】根据直线与圆的关系及30°角的直角三角形边的特点进行作答.
【详解】过P作PC⊥AC.根据题意得到CP⊥AM ,即2CP＝AP，所以圆P的半径CP为3.
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键.
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，通过倒角得到，即可得证；
（2）连接DE、OF，通过证明求出AB的长度，在和中应用勾股定理，得出方程，即可求解．
【详解】解：（1）连接OE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）连接DE、OF，
∵，，
∴的半径为5，
∴
∵AD为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BF的长为x，则，，
在中，，
在中，，
∴，
解得．
【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：如图，过点O作于，
，，
，
，
∴，
∴，
∴（1）当时，与相交；
（2）当时，与相切；
（3）当时，与相离．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键．
20．（1）55°（2）见解析
【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）连接OC、AC，证出OC⊥CD，AB⊥AP，根据半径所对应的角相等即可证明CD= AD；根据AB是O的直径，得出∠BCA=90°，再根据两个角相加为90°，即可证明CD= DP，从而得出结论
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线
∴PA⊥AB
∴∠BAP=90°
∵∠P=35°
∴∠ABP=∠BAP-∠P=90°-35°=55°
故答案为55°
(2)如图，连接OC、AC
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠1+∠3=90°
∵AP是⊙O的切线
∴AB⊥AP
∴∠2+∠4=90°
∵OA= OC
∴∠1=∠2
∴∠3=∠4
∴ CD= AD
∵AB是O的直径，
∴∠BCA=90°
∴∠DCP+∠3=90°
∠CPA+∠4=90°
∴∠DCP=∠CPA
∴CD= DP
∴CD= DP=AD
∴D为AP的中点
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、切线的判定和性质，掌握定理是解题的关键
21．（1）证明见解析；（2）3．
【详解】试题分析：（1）根据点E是△ABC的内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；
（2）求出BC为△ABC的直径，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．
试题解析：（1）∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD，
∴ED=BD；
（2）连接CD，
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵⊙O的直径=6，
∴BC=6，
∵E为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∴BD=DC=BC=3．
考点：1.三角形的内切圆与内心；2. .三角形的外接圆与外心.
22．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
23．补全作图见解析；OBP，90，直径所对圆周角为直角，OB，经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】补全作图如图，
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠OPB=90°（直径所对圆周角为直角）（填推理的依据）．
∴，OB．
∵OA，OB为⊙O半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：OBP，90，直径所对圆周角为直角，OB，经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查作图—过圆外一点作圆的切线，圆周角定理的推论，切线的判定．掌握基本的作图方法和熟记直径所对圆周角为直角是解题关键．
24．（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠OEA根据平行线的性质得到∠OEB＝∠C＝90°，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BE＝，根据图形的面积即可得到结论；
（3）连结DE，根据勾股定理求出DE长，证明△ACE∽△AED，求出AC，CE长，连结EF，证明△CEF∽△CAE，由比例线段可求出CF长，则AF的长可求出．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图所示，连接，，
为的直径，
，
，
平分，
，
又，
，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，扇形的面积的计算，勾股定理等知识点，正确的识别图形，熟练掌握圆的性质是解题的关键．