2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数与圆的综合训练（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数与圆的综合训练
1．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D，E坐标分别：为D（t，0），（t＜0），E（m，0）（m＞0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）如图1，①求点A的坐标．②求证：CE＝DE；
（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，若△OAB是等边三角形，求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下，当∠CAE＝∠OBE时，
①求证：AB2＝AC BE；
②求的值．
2．如图1，抛物线与x轴交于O、A（8，0）两点，点B为抛物线的顶点，连接OB
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，以AB为直径作⊙O′，⊙O′经过点C，连接AC，BC．
（1）求⊙O'的圆心O′的坐标；
（2）如图1，点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O'于点D，连接BD，求直线BD的解析式．
（3）如图2，在（2）的条件下，F是⊙O'上一动点（不与B点重合），连接BF，M是BF中点，连接DM，求DM的最大值．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P带x轴的距离始终小于半径；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN是以AM为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OB＝OC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使∠ABC＝∠BCM，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，若BM，求点P的坐标；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R．
（1）求b，c的值；
（2）当△EFR周长最大时，求此时E点坐标及△EFR周长；
（3）连接CE、BE，当△ERC∽△BRE时，求出E点坐标．
9．如图，抛物线yx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是位于B，C之间抛物线上的动点（包括B，C两点），点E是△ABP的外接圆圆心．
（1）如图1，若动点P为抛物线的顶点，求圆心E的坐标；
（2）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，连接PA，PB．
①求证：的值为定值；
②如图3，连接AQ，BQ，记四边形APBQ，△APH，△BQH的面积依次为S，S1，S2，若满足，求此时点P的坐标．
10．已知在以点B为原点、BD所在直线为x轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD相交于E，AC经过△ABD的内心，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过B、C、D三点．
（1）求证：AE EC＝BE DE；
（2）求证：AC2＝AB AD+CD2；
（3）△ABE、△DEC、四边形ABCD的面积分别记为S1，S2、S，求同时满足以下三个条件的抛物线的解析式；
①，
②，
③四边形ABCD的周长为．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3交x轴负、正半轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，△ABC的外接圆的圆心为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在AC段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
（3）圆上是否存在Q点，使△AOC与△BQC相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，二次函数y＝（x﹣1）2+a与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线y＝x+b交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
（1）如图1，若OH＝1，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段HD上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
（3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作⊙Q，经过点Q的直线y＝hx+q交⊙Q于点F，I，交抛物线于点E，G．当EI＝GI+FI时，求2h2的值．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；
（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；
（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．
14．已知抛物线过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）求抛物线解析式及D点坐标；
（2）猜测直线CM与⊙D的位置关系，并证明你的猜想；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）圆O'为△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O'于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与△BCD相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】（1）①解：令y＝ax2+3ax＝0，
∴ax（x+3）＝0，解得x＝0或﹣3，
∴A（﹣3，0）；
②证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，作BN⊥AO于点N，
∵△ABC为边为3（AO＝3）的等边三角形，
则ON，BN，即点B（，），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：aa，
则a，
则抛物线的表达式为：yx2﹣2x；
（3）①证明：如图，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠BAE＝60°，
∵∠CAE＝∠OBE，∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠BAO+∠CAE＝∠AEB，∠ABO+∠OBE＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA，
∴△BAC∽△EBA，
∴AB2＝AC BE；
②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，
由角平分线成比例定理可得：BD：BE＝OD：OE，
由B、D、E的坐标得，BD2＝t2+3t+9，BE2＝m2+3m+9，
即（）2，
解得：m或t（舍去），
∴，
∴．
2．【解答】解：（1）由题意得：yx（x﹣8）x2﹣2x；
（2）①由抛物线的表达式知，B（4，﹣4），则直线OB和x轴的夹角为45°，
设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，
∴BC⊥OA．
∵CO＝CB＝4，
∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．
∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；
过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，
过点M作MF⊥y轴于点F，如图，
则M（8，4），E（8，﹣4），F（0，4）．
∴MF＝ME＝8．
∵B（4，﹣4），
∴BE∥x轴．
∴BE⊥ME，BE＝4．
∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．
在△MOF和△MBE中，
，
∴△MOF≌△MBE（SAS）．
∴MO＝MB．
∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；
综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；
②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，
∵A（8，0），
∴点C是OA的中点．
∵N为OM的中点，
∴CN是△OMA的中位线．
∴CNAM＝2．
当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：
BC﹣CN≤BN≤BC+CN．
∵BC＝4，
∴4﹣2≤BN≤4+2．
∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．
3．【解答】解：（1），令y＝0，
解得：x＝﹣1或4，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），
∵AB是⊙O'的直径，故O′为AB的中点，
∴点O′的坐标为；
（2）连接O′D，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠BCE的平分线为CD，
∴∠BCD＝45°，
∴∠DO′B＝90°，即O′D⊥AB，
∴圆的半径为，
故点D的坐标为，
又∵B（4，0），
设直线BD的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BD的表达式为：y＝x﹣4；
（3）连接O′M，如图2，
∵M是BF的中点，
由垂径定理可得，∠O′MB＝90°，
取O'B中点K，则M在以K为圆心，O′K为半径的圆上运动．
∴当M运动到如图G点位置时（即DG经过圆心K时），DM最长．
在Rt△O′DK中，，由勾股定理可得，，
∴．
4．【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，
∴抛物线的一般式为：y＝ax2，
∴a（）2，
解得：a＝±，
∵图象开口向上，
∴a，
∴抛物线解析式为：yx2，
故a，b＝c＝0；
（2）证明：设P（a，a2），
∵PA，
作PH⊥MN于H，如图1，
又∵PHa2，
∴PA＞PH，
∴圆心P与x轴的距离始终小于半径；
（3）解：连接PM、PN，如图2，
设P（a，a2），
由（2）可知，PA，
则PM＝PN，
又∵PHa2，
则MH＝NH2，
故MN＝4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM，AN，
当AN＝MN时，4，
解得：a＝﹣2±2，则a2＝4±2；
综上所述，P的纵坐标为：4+2或4﹣2．
5．【解答】解：（1）如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，
∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM＝5，DM＝4，
∴AD＝DB3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE，
∴ME＝DE+MD，
则，，，
∴MA2+AE2＝ME2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，
∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN＝∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FPA，
∴∠FPN＝∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ＝FN，
又∵FP＝FP，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ＝PN，
又∵AF＝BF，FQ＝FN，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ＝BN，
∴．
6．【解答】解：（1）设点B（2m，0）（m＞0），
∵OB＝OC＝2OA，
则点C（0，﹣2m）、B（2m，0），
则抛物线的表达式为：y（x﹣2m）（x+m）（x2﹣mx﹣2m2），
∵C（0，﹣2m），
则﹣m2＝﹣2m，
解得：m＝2，
则抛物线的表达式为：yx2﹣x﹣4；
（2）存在，理由：
由（1）知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，﹣4），
在抛物线上存在点M，使∠ABC＝∠BCM，理由如下：
过点C作CM∥x轴，交抛物线于点M，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
∵∠ABC＝∠BCM，
∴∠BCM＝45°，
∴∠OCM＝90°，
∴CM⊥y轴，
把y＝﹣4代入yx2﹣x﹣4＝﹣4，
解得x1＝2，x2＝0（点C的横坐标，舍去），
∴点M的坐标为（2，﹣4）；
（3）点A的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵GA＝GB，
∴点G在线段AB的垂直平分线上，
设点G的坐标为（1，t），
同理可得点G在线段DE的垂直平分线上，
∵DE⊥x轴于点F，
∴设D（m，n），则E（m，2t﹣n），
∴S△ABEAB EF6×（2t﹣n）＝3（2t﹣n），
∵GD2＝GA2，
∴（1﹣m）2+（t﹣n）2＝（﹣2﹣1）2+（0﹣t）2，
整理得m2﹣2m+1+n2﹣2tn﹣9＝0①，
∵点D在抛物线上，
∴m2﹣m﹣4＝n，
得m2＝2m+2n+8②，
将②代入①得，n2﹣2tn+2n＝0，
∵n≠0，
∴n﹣2t+2＝0，即2t﹣n＝2，
∴S△ABE＝3（2t﹣n）＝6．
7．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a，
故抛物线的表达式为：y（x﹣2）2﹣2x2﹣2x①；
（2）①如图1，连接EM，
点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），C（3.0），
∴BM＝EM＝1，
∵BM，
∴△BEM为等腰直角三角形，
当点P在x轴上方时，此时点M的坐标为（2，1），
故设直线BP的表达式为：y＝ax+b，将点B（1，0），M（2，1）的坐标代入得：
，
解得：，
故直线BP的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x＝3或x＝3（不合题意，舍去），
∴y＝2，
此时，点P的坐标为：（3，2）；
当点P在x轴下方时，M（2，﹣1），
故设直线BP的表达式为：y＝mx+n，将点B（1，0），M（2，﹣1）的坐标代入得：
，
解得：，
故直线BP的表达式为：y＝﹣x+1③，
联立①③并解得：x＝1或x＝1（不合题意，舍去），
∴y，
此时，点P的坐标为（1，）；
综上，点P的坐标为（3，2）或（1，）；
②线段DN的长度存在最大值或最小值，理由如下：
连接BN、BD、EM，如图2，
则BN是△OEM的中位线，故BNEM，而BD，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即0.5≤ND0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为0.5和0.5．
8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
（2）∵以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R，
∴∠ERF＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∵OC＝OB＝3，
∴∠CBO＝∠OCB＝45°，
又∵CO∥EH，
∴∠EFC＝∠OCB＝45°，
∴△ERF为等腰直角三角形，
∴当△EFR周长最大时，EF最长，
∵C（0，3），B（3，0），
即可得到直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
设E（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m，
当m时，EF，
∴点E的坐标为，
在Rt△EFR中，ER＝FR，△EFR的周长为；
（3）若△ERC∽△BRE，则∠CER＝∠EBR，
∴∠CEB＝90°，
设E（m，﹣m2+2m+3），过点B和E分别作平行于x轴、y轴的直线，垂足为N，直线交于点G，
∵∠CEN+∠BEG＝90°，∠CEN+∠NCE＝90°，
∴∠BEG＝∠NCE，
又∵∠CNE＝∠BGE＝90°，
∴△CNE∽△EGB，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴E，
当点E在对称轴左边时，
∵△ERC∽△BRE，
∴∠REC＝∠RBE，
∵∠REC+∠CEF＝∠RBE+∠FEB＝45°，
∴∠CEF＝∠FEB，
延长EC交x轴于K，
∵直线EK的解析式为y＝（﹣m+2）x+3，
∴K（，0），
∵EF⊥BK，∠CEF＝∠FEB，∴EF垂直平分线段BK，
∴，
解得m，
∴点E（，）；
综上所述，点E的坐标为或（，）．
9．【解答】（1）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，），
当P为抛物线的顶点时，P（1，），
连接EA，设抛物线的对称轴交x轴于点F，如图，
∵P（1，），
∴OF＝1，PF．
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AF＝OA+OF＝3．
设⊙E的半径为r，则EA＝EP＝r，
∴FE＝PF﹣PEr．
∵AF2+EF2＝AE2，
则9+（r）2＝r2，
解得：r，
∴EF，
∴E（1，）；
（2）①证明：如图，
∵点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），
∴设P（m，m2﹣m﹣4），则0＜m＜4，m2﹣m﹣4＜0，
∴OH＝m，PH＝﹣（m2﹣m﹣4）m2+m+4，
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴AH＝m+2，BH＝4﹣m．
由相交弦定理得：
AH BH＝PH QH，
∴QH2，
②作EF⊥PQ于点F，连接EQ，
设点P（t，t2﹣t﹣4），则点H（t，0），
则S1＝S△APHAH×PH（t+2）（t2﹣t﹣4），S＝S四边形APBQ＝6×PQ3PQ，
设S3＝S△AQH，S4＝S△BHP，
∵S＝S1+S2+S3+S4，且，
即S＝S1+S2+2，
则S3+S4＝2，
∵S3AH×QH，S4PH×BH，
则，则S3S4＝S1S2，
则（）2＝0，
则S3＝S4，
∵圆E为△ABP为外接圆，
则EP＝EQ＝EA＝AE，
∵∠PAB＝∠PQB，∠AHP＝∠QHB，
∴△AHP∽△QHB，
即，
则AH BH＝HP QH①，
∵S3＝S4，则AH QH＝HP BH②，
由①÷②得：BH2＝HQ2，
∵2，
则HQ＝2，
则xP＝xH＝2，yP4﹣2﹣4＝﹣4，
则点P（2，﹣4）．
10．【解答】（1）证明：∵∠CAD与∠CBA是弧CD所对圆周角，
∴∠CAD＝∠CBA，
又∵∠BCA与∠ADE是弧CD所对圆周角，
∴∠BCA＝∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴，
∴AE EC＝BE DE；
（2）证明：∵AC经过△ABD的内心，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠DAC＝∠BDC，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2＝CE AC，
又∵∠ACB＝∠ADB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴AB AD＝AE AC，
∴CD2+AB AD＝CE AC+AE AC＝AC （CE+AE）＝AC2；
（3）解：设△ADE、△BEC面积分别为S3、S4，
∵，
∴S1S2＝S3S4，
∵，
∴，
∴，
∴（）2＝0，
∴S3＝S4，
又∵△AED∽△BED，
∴△AED≌△BED（SSS），
∴AE＝BE，ED＝EC，
∵，
∴，
∴，
∴（AE+EC）2＝4AE EC，
∴（AE﹣EC）2＝0，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE＝EC＝DE，
∴四边形ABCD为矩形，
又∵BC＝CD，
∴四边形ABCD为正方形，
又∵周长为，
∴，
∴C（5，﹣5），D（10，0），
设抛物线解析式为y＝ax2+bx，代入得：
，
解得：，
∴．
11．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3交y轴于点C，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+3得：
0＝﹣1﹣b+3，
解得b＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在AC段的抛物线上存在一点P，使；理由如下：
令y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设P（x，﹣x2+2x+3），
∵点P在AC段的抛物线上，
∴﹣1≤x≤0，
如图1，过P作PL⊥x轴于L，
则：S△BCP＝S△BOC+S梯形PLOC﹣S△PLB
，
∴，x2﹣3x＝1，
解得，或（舍去），
∴点P纵坐标为：，
∴点P坐标为；
（3）圆上存在Q点，使△AOC与△BQC相似；理由如下：
如图2，
由（1）可知：B（3，0），
∵C（0，3），
∴，
∵AB的垂直平分线是抛物线的对称轴x＝1，
∴点M的横坐标是1，
∵△AOC是直角三角形，△AOC与△BQC相似，
∴△BQC是直角三角形，
∵BC不是直径，
∴点Q是⊙M的直径的一个端点，
①当∠BCQ是直角，则BQ是直径，
∴CQ⊥BC，
∵△AOC∽△QCB，
∴，即，
∴，，
∴，
设点M（1，t），
∴，
解得，t＝1或﹣1（舍去），
∴M（1，1），
∵B（3，0），
设点Q（m，n），
∵点M是BQ的中点，
∴，
解得：，
∴Q（﹣1，2）；
②当∠BQC＝90°时，则CQ是直径，
设Q（m，n），
∵点M是CQ的中点，
∴，
解得：，
∴Q（2，﹣1）；
综上，满足条件的Q（﹣1，2）或Q（2，﹣1）．
12．【解答】解：（1）∵OH＝1，
∴H（0，1），
把H（0，1）代入y＝x+b，得b＝1，
∴y＝x+1，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+a，得0＝（﹣1﹣1）2+a，
解得：a＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x+b中，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝﹣b，
∴A（﹣b，0），H（0，b），
∴OA＝OH＝b，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∴∠HAO＝45°，AHb，
如图1，设P（x，x+b），过点P作PK⊥AB于点K，
则PK＝x+b，∠AKP＝∠ALD＝90°，
∴△APK和△ADL均为等腰直角三角形，
∴APPK（x+b），ADAL（xD﹣xA），
由y＝（x﹣1）2+a和y＝x+b联立，
得：（x﹣1）2+a＝x+b，
整理得：x2﹣3x+a﹣b+1＝0，
∴xA+xD＝3，
∴xD＝3﹣xA＝3+b，
∴xD﹣xA＝3+b﹣（﹣b）＝3+2b，
即AD（3+2b），
∵，
∴，
∴x，x+b，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由题意得：y＝x2﹣2x﹣3，C（0，﹣3），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵⊙Q经过A、B、C三点，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，即点Q的横坐标为1，
∵点Q也在线段BC的垂直平分线上，OB＝OC＝3，
∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，
∴Q（1，﹣1），
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，连接BQ，
则QH＝1，BH＝3﹣1＝2，
∴BQ，
∴FI＝2BQ＝2，
∵EI＝GI+FI，EI＝EF+FI，
∴EF＝GI，
∴EF+FG＝FG+GI，即EG＝FI＝2，
∴EG2＝20，
∵直线y＝hx+q经过点Q（1，﹣1），
∴﹣1＝h+q，
∴q＝﹣h﹣1，
∴y＝hx﹣h﹣1，与y＝x2﹣2x﹣3联立，
得x2﹣2x﹣3＝hx﹣h﹣1，
整理得：x2﹣（h+2）x+h﹣2＝0，
∴xE+xG＝h+2，xE xG＝h﹣2，
∴yE＝h xE﹣h﹣1，yG＝h xG﹣h﹣1，
∵EG2＝（xE﹣xG）2+（yE﹣yG）2
＝（1+h2）（xE﹣xG）2
＝（1+h2）[（xE+xG）2﹣4xE xG]
＝（1+h2）[（h+2）2﹣4（h﹣2）]
＝（h2+1）（h2+12），
∴（h2+1）（h2+12）＝20，
∴h2，
∴2h213．
13．【解答】解：（1））∵抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：yx2x+5；
（2）当x＝0时，yx2x+5＝5；
∴C（0，5），
设直线AC：y＝kx+5，
将A（5，0）代入直线AC，
得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线AC：y＝﹣x+5，
∵E为线段AC上一点且横坐标为1，
∴E（1，4），
∵⊙P是△OAE外接圆，
∴圆心P必在弦OA的垂直平分线上，
设P（，t），
∵AE＝EP，
∴（5）2+（﹣t）2＝（1）2+（4﹣t）2，
解得t，
∴圆心P点的坐标为（，）；
（3）①如图，过B作BH⊥x轴于H，
∵A（5，0），C（0，5），B（6，1），
∴OA＝OC，AH＝BH，
∴∠OAE＝45°，∠OAF＝∠BAH＝45°，
又∵∠OFE＝∠OAE，∠OEF＝∠OAF，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴OE＝OF，∠EOF＝180°﹣45°×2＝90°，即△OEF是直角三角形；
∴∠EOC＝∠FOA，
在△EOC与△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA（SAS），
∴S△EOC＝S△FOA，
∴S四边形OEAF＝S△EOA+S△FOA
＝S△EOA+S△COE
＝S△COAOA OC
，
∴四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；
②∵四边形OEAF的面积是定值，
∴当△AEF的面积取得最大值时，△EOF的面积最小，
当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，即E为AC中点，
∴E（，），
∴当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）．
14．【解答】解：（1）∵抛物线过点C（0，4），
∴9a4，
∴a．
∴抛物线解析式为yx+4；
令y＝0，则x+4＝0，
解得：x＝﹣2或8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
∴OA＝2，OB＝8，
∴AB＝10．
∵AB为直径作圆，圆心为D，
∴DA＝DB＝5，
∴DO＝DA﹣OA＝5﹣2＝3，
∴D（3，0）；
（2）直线CM与⊙D相切，理由：
连接DC，DM，MC，过点M作ME⊥y轴于点E，如图，
∵点M为抛物线的顶点，
∴M（3，），
∴ME＝3，MD，
∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵MD⊥AB，EA⊥OB，EM⊥OE，
∴四边形MEOD为矩形，
∴OE＝MD，
∴EC＝OE﹣OC，
∴．
∵DC2＝52＝25，
∴CM2+CD225，
∵，
∴CM2+DC2＝DM2，
∴∠DCM＝90°，
∴DC⊥MC．
∵DC为⊙D的半径，
∴直线CM与⊙D相切；
（3）在抛物线对称轴上存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上，理由：
∵点P在抛物线的对称轴上，对称轴为直线x＝3，
∴设点P（3，m），
则PD＝m，
过点C作CE⊥DM于点E，过点C′作C′F⊥DM于点F，如图，
由题意得：∠CPC′＝90°，CP＝CP′，CE＝3，DE＝OC＝4．
∴∠CPE+∠C′PF＝90°，PE＝DE﹣PD＝4﹣m．
∵CE⊥DM，
∴∠CPE+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPC′．
在△CEP和△PFC′中，
，
∴△CEP≌△PFC′（AAS），
∴CE＝PF＝3，PE＝C′F＝4﹣m．
∴DF＝PF+PD＝3+m，
∴C′（7﹣m，3+m），
∵点C′在抛物线y上，
∴3+m，
解得：m＝1或3，
∴P（3，1）或P（3，3）．
∴在抛物线对称轴上存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C'恰好落在抛物线上，此时点P的坐标为（3，1）或（3，3）．
15．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线，
∴B（4，0），
由题意可知，，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）y轴上存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与△BCD相似．理由如下：
∵A（﹣1，，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴，
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BAC＝∠BCO，
∴∠ACB＝90°，
∴AB为圆O'的直径，O'点坐标为，
∴∠ADB＝90°，
又∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，
∴∠BAD＝45°，△ADB为等腰直角三角形，
连接O'D'，则，
∴，D的坐标为，
如图1，设AD与y轴交于点F，
∵∠DAB＝45°，
∴OF＝OA＝1，
∴CF＝1，
过D作DH垂直于y轴，
∵，
∴，
∴．
（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），，
∴，，．
由（2）知，∠BCD＝45°，∠BDC＞90°，∠CBD＜45°．
如图2，当点P在点C的上方时，若∠CBP＞90°，
∵OB＜OC，
∴∠PCB＞45°，
显然，△PCB和△BCD中不存在两个相等的角，即不可能相似；
如图3，△PCB中不存在45°的角，所以△PCB和△BCD中不存在两个相等的角，即不可能相似；
如图4，当点P在点C下方，∠CPB＝45°时，△CPB∽△DCB，
∴，
∴，
∴OP＝4，
∴P（0，﹣4）；
如图5，当点P在点C下方，∠CBP＝45°时，△CPB∽△DBC，
∴，
∴，
∴OP＝12，
∴P（0，﹣12）；
综上可知，P点坐标为（0，﹣4）或（0，﹣12）．
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