第一章 习题课 基本不等式的综合问题（课件+学案+练习共3份） 北师大版（2019）必修 第一册

习题课　基本不等式的综合问题
［学习目标］　1.掌握利用基本不等式求最值的方法.2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题.
一、巧用“1”的代换求最值
例1　已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为 （　　）
A. B. C.2 D.3
反思感悟　含有常数的条件最值问题的解决方法
把求解目标化为乘以1的形式，通过常数“1”的代换，展开之后使用基本不等式求最值.
跟踪训练1　已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则++的最小值为　　　.
二、消元法求最值
例2　若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的最小值为　　　　.
延伸探究　本例条件不变，求a+b的最小值.
反思感悟　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
跟踪训练2　若实数x，y满足xy+3x=3，则+的最小值为　　　　.
三、换元法求最值
例3　若a，b，c都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值是 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
反思感悟　换元法求最值时，可将分母或根式换成新的变量，再用基本不等式或函数求最值，特别注意新的变量的范围.
跟踪训练3　设a>0，b>0，a+b=5，求+的最大值.
1.知识清单：
（1）巧用“1”的代换求最值.
（2）消元法求最值.
（3）换元法求最值.
2.方法归纳：消元法、换元法、常值代换法.
3.常见误区：在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致.
1.下列等式中最小值为4的是 （　　）
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+（t>0） D.y=t+
2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为 （　　）
A.7 B.8 C.9 D.10
3.已知x>0，y>0，且+=1，若x+2y>2m-2恒成立，则实数m的取值范围是 　.
4.若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值是　　　　.
答案精析
例1　B　［由x+y=1得（x+2）+（y+1）=4，
即［（x+2）+（y+1）］=1，
∴+=·［（x+2）+（y+1）］
=
≥×（5+4）=，
当且仅当x=，y=时“=”成立.］
跟踪训练1　36
解析　∵正数x，y，z满足x+y+z=1，
∴++
=（x+y+z）=1+4+9++++++
≥14+2+2+2=36，
当且仅当x=，y=，z=时取等号，故所求最小值为36.
例2　9
解析　∵ab=a+b+3，
∴（a-1）·b=a+3.
∵a>0，b>0，∴a-1>0，即a>1，
∴b=，
∴ab=a·=
=
=（a-1）++5.
∵a>1，∴a-1+
≥2=4，
当且仅当a-1=，即a=3时，取等号，
此时b=3，∴ab≥9.
∴ab的最小值为9.
延伸探究　解　∵a>0，b>0，
ab=a+b+3，
∴b（a-1）=a+3，∴a>1，
∴b=，
∴a+b=a+=a+
=a+1+
=a-1++2
≥2+2=6.
当且仅当a-1=，
即a=3，b=3时，等号成立，
故a+b的最小值为6.
跟踪训练2　8
例3　B　［∵a，b，c∈R+，
令a+1=x>0，b+c=y>0，
∴a+b+c+1=x+y，即x+y=3.
∴+=+
=·（x+y）
=≥×（5+4）=3，当且仅当x=2y，即a=1，b+c=1时取等号.］
跟踪训练3　解　设=m，=n，
∴m>0，n>0，且m2+n2=a+b+4=9.
由（m+n）2=m2+n2+2mn
≤2（m2+n2），
得（m+n）2≤18，
∴m+n≤3，当且仅当m=n=时，等号成立，
即+的最大值为3.
随堂演练
1.C　2.C　3.（-∞，5）　4.(共54张PPT)
第一章
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习题课　基本不等式的综合问题
1.掌握利用基本不等式求最值的方法.
2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题.
学习目标
一、巧用“1”的代换求最值
二、消元法求最值
随堂演练
三、换元法求最值
内容索引
课时对点练
一
巧用“1”的代换求最值
　已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为
A. B.
C.2 D.3
例 1
√
由x+y=1得(x+2)+(y+1)=4,
即[(x+2)+(y+1)]=1,
∴+=·[(x+2)+(y+1)]=
≥×(5+4)=,
当且仅当x=,y=时“=”成立.
反
思
感
悟
含有常数的条件最值问题的解决方法
把求解目标化为乘以1的形式,通过常数“1”的代换,展开之后使用基本不等式求最值.
已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则++的最小值为　　　.
跟踪训练 1
∵正数x,y,z满足x+y+z=1,
∴++=(x+y+z)=1+4+9++++++
≥14+2+2+2=36,
当且仅当x=,y=,z=时取等号,故所求最小值为36.
36
二
消元法求最值
若正实数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为　　.
例 2
9
∵ab=a+b+3,∴(a-1)·b=a+3.
∵a>0,b>0,∴a-1>0,即a>1,∴b=,
∴ab=a·===(a-1)++5.
∵a>1,∴a-1+≥2=4,
当且仅当a-1=,即a=3时,取等号,
此时b=3,∴ab≥9.∴ab的最小值为9.
本例条件不变,求a+b的最小值.
延伸探究
∵a>0,b>0,ab=a+b+3,
∴b(a-1)=a+3,∴a>1,∴b=,
∴a+b=a+=a+=a+1+=a-1++2≥2+2=6.
当且仅当a-1=,即a=3,b=3时,等号成立,
故a+b的最小值为6.
反
思
感
悟
对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为　　.
跟踪训练 2
8
∵实数x,y满足xy+3x=3,
∴x=,∴0<<,解得y>3.
则+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,
当且仅当y=4,x=时取等号.
三
换元法求最值
若a,b,c都是正数,且a+b+c=2,则+的最小值是
A.2 B.3
C.4 D.6
例 3
√
∵a,b,c∈R+,令a+1=x>0,b+c=y>0,
∴a+b+c+1=x+y,即x+y=3.
∴+=+=·(x+y)=≥×(5+4)=3,
当且仅当x=2y,即a=1,b+c=1时取等号.
反
思
感
悟
换元法求最值时,可将分母或根式换成新的变量,再用基本不等式或函数求最值,特别注意新的变量的范围.
设a>0,b>0,a+b=5,求+的最大值.
跟踪训练 3
设=m,=n,
∴m>0,n>0,且m2+n2=a+b+4=9.
由(m+n)2=m2+n2+2mn≤2(m2+n2),
得(m+n)2≤18,
∴m+n≤3,当且仅当m=n=时,等号成立,
即+的最大值为3.
1.知识清单:
(1)巧用“1”的代换求最值.
(2)消元法求最值.
(3)换元法求最值.
2.方法归纳:消元法、换元法、常值代换法.
3.常见误区:在同一个题目多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件是否一致.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列等式中最小值为4的是
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+(t>0) D.y=t+l
√
A中,当x=-1时,y=-5<4;
B中,当t=-1时,y=-3<4;
C中,y=4t+≥2=4,当且仅当t=时,等号成立,
D中,当t=-1时,y=-2<4.
2.若正实数x,y满足xy+3x=3,则12x+y的最小值为
A.7 B.8
C.9 D.10
1
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3
4
√
1
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3
4
∵x>0,y>0,xy=3-3x>0,
∴0∴12x+y=12x+=12x+-3≥2-3=9,
当且仅当即x=时取等号,
∴12x+y的最小值为9.
3.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>2m-2恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
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4
(-∞,5)
因为+=1,所以x+2y=(x+2y)·=++4≥2+4=8.
当且仅当=,即x=4,y=2时,等号成立,
又因为x+2y>2m-2恒成立,
所以2m-2<8,解得m<5.
4.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值是　　.
1
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3
4
因为a,b都是正数,且a+b=1,
所以(a+1)(b+1)≤=,
当且仅当a+1=b+1,即a=b=时,等号成立.
课时对点练
五
1.下列命题中,正确的是
A.x+的最小值是8
B.+的最小值是2
C.如果a>b,c>d,那么a-c>b-d
D.如果ac2>bc2,那么a>b
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基础巩固
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选项A中,若x<0,则无最小值,所以错误;
选项B中,+>2,所以错误;
选项C中,若a=c,b=d,则a-c=b-d,所以错误;
选项D中,如果ac2>bc2,则c≠0,所以c2>0,所以可得a>b.
2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为
A.8 B.7 C.6 D.5
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√
由已知,可得6=1,
∴2a+b=6×(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,
当且仅当=,即a=b=18时等号成立,
∴9m≤54,即m≤6,即m的最大值为6.
3.若x>0,则x+≥a恒成立的一个充分条件是
A.a>80 B.a<80 C.a>90 D.a<90
因为x>0,所以x+≥2=4,
当且仅当x=,即x=2时,取等号,
要使得x+≥a恒成立,则a≤4,
所以x+≥a恒成立的一个充分条件是a<80.
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4.若x>4,则y=
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值6 D.有最小值6
√
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方法一　因为x>4,
所以y===(x-4)++4≥2+4=10,
当且仅当x-4=,即x=7时,等号成立.
即y=有最小值10,y=(x-4)++4在x>4上无最大值.
方法二　令t=x-4(t>0),∴x=t+4.
y===t++4≥2+4=10,
当且仅当t=,即t=3,x=7时,等号成立.
5.(多选)下列函数中最小值为2的是
A.y=x+
B.y=+
C.y=+
D.y=x+(x>-2)
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√
√
当x<0时,y=x+<0,A错误;
>0,y=+≥2=2,当且仅当=,即x=1时等号成立,B正确;
令t=(t≥),
∴y=t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1,
x2+3=1,x2=-2时,等号成立,显然等号取不到,C错误;
x>-2,则x+2>0,y=x+=(x+2)+-2≥2-2=2,
当且仅当x+2=,即x=0时等号成立,D正确.
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6.已知a>0,b>0,且a+b=3,则+的最小值是
A.1 B.2 C.4 D.2 024
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令a+2 022=x,b+2 023=y,
则x>2 022,y>2 023,且x+y=4 048,
∴(x+y)=1,
∴+=2 024=2 024·(x+y)
=1+≥1+×2=2,
当且仅当=,即x=y=2 024,a=2,b=1时等号成立.
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7.若不等式9x+≥a+1(常数a>0)对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范
围是　　　 　.
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若9x+≥a+1(常数a>0)对一切正实数x恒成立,则a+1≤.
又9x+≥2=6a,
当且仅当9x=,即x=时,等号成立,
故6a≥a+1,解得a≥.
所以实数a的取值范围为.
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8.若正数a,b满足+=1,则+的最小值M=　　,此时a=　　,b=　 　.
　
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方法一　将+=1变形为(a-1)(b-1)=1,故+≥2=4,当且仅当==2时,等号成立,此时a=,b=3.
故+的最小值M=4.
方法二　由+=1,可以得到a=>0,故b>1.
因此+=(b-1)+≥4,
当且仅当b-1=2时,等号成立,此时b=3,a=,故+的最小值M=4.
9.已知a>0,b>0.
(1)求证:+≥a+b;
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∵a>0,b>0,
∴++a+b=+≥2a+2b,
当且仅当a=b时等号成立,
∴+≥a+b(当且仅当a=b时等号成立).
(2)利用(1)的结论,试求当01
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由于0可将1-x看作(1)中的a,x看作(1)中的b,
根据(1)的结论,则有+≥1-x+x=1,
当且仅当1-x=x,即x=时,等号成立,
∴所求式子的最小值为1.
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10.已知实数a,b满足0(1)若a+b=1,求的最小值;
已知实数a,b满足0若a+b=1,==
=4+++1≥4+4+1=9,当且仅当a=b=时,等号成立,故所求最小值为9.
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(2)设0∵00,12-m>0,
∵m+(12-m)=12,∴+=1,
∴+==++≥+=,
当且仅当m=6时,等号成立,
∴+.
11.若x>0,y>0,x+y=1,且+>m恒成立,则实数m的取值范围是
A.m<3 B.m<6
C.m<5 D.m<9
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综合运用
√
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因为x>0,y>0,所以>0,>0,
又x+y=1,所以+=+=++1≥2+1=5,
当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,
因为+>m恒成立,所以m<=5,
所以实数m的取值范围是m<5.
12.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为
A. B.
C. D.1
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因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy得+=1,
求的最大值,即求=+ 的最小值,
又×1=×=+++≥2++=3,
当且仅当=,即x=6,y=3时取等号,
所以.
13.某商品进货价为每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)501
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设当销售价格为每件x元(50则y=(x-50)·P=.
令x-50=t,则x=50+t,
∴y===≤=2 500.
当且仅当t=10,即x=60时,等号成立,
∴若要使每天获得的利润最多,则销售价格每件应定为60元.
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14.已知正实数a,b满足ab2(a+2b)=4,则a+b的最小值为　　.
由ab2(a+2b)=4,得a(a+2b)=,
故(a+b)2=a(a+2b)+b2=+b2≥2=4(当且仅当b=,a=2-时取等号).
所以a+b的最小值为2.
2
15.已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为　　　　 .
拓广探究
5+2
由2a+b=ab-1,得a=,
因为a>0,b>0,所以a=>0,b+1>0,所以b>2,
所以a+2b=+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)++5
≥2+5=5+2,
当且仅当2(b-2)=,即b=2+时等号成立.
所以a+2b的最小值为5+2.
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16.已知x,y是正数,且满足x+2y+xy=30.
(1)求xy的最大值及此时的x,y值;
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∵x+2y+xy=30,∴y=,
由于x,y是正数,则x>0且>0,
可得0∴xy====32-x-=34-(x+2)-
=34-≤34-2=18,
当且仅当时,等号成立,
所以xy的最大值为18,此时x=6,y=3.
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(2)求x+y的最小值及此时的x,y值.
x+y=x+=x+=x+-1=(x+2)+-3
≥2-3=8-3,
当且仅当时,等号成立,
所以x+y的最小值为8-3,
此时x=4-2,y=4-1.作业12 基本不等式的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（分值：100分）
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.下列命题中，正确的是 （　　）
A.x+的最小值是8
B.+的最小值是2
C.如果a>b，c>d，那么a-c>b-d
D.如果ac2>bc2，那么a>b
2.已知a>0，b>0，+=，若不等式2a+b≥9m恒成立，则m的最大值为 （　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
3.若x>0，则x+≥a恒成立的一个充分条件是 （　　）
A.a>80 B.a<80 C.a>90 D.a<90
4.若x>4，则y= （　　）
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值6 D.有最小值6
5.（多选）下列函数中最小值为2的是 （　　　　）
A.y=x+
B.y=+
C.y=+
D.y=x+（x>-2）
6.已知a>0，b>0，且a+b=3，则+的最小值是 （　　）
A.1 B.2 C.4 D.2 024
7.若不等式9x+≥a+1（常数a>0）对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
8.若正数a，b满足+=1，则+的最小值M=　　　　，此时a=　　　　，b=　　　　.
9.（10分）已知a>0，b>0.
（1）求证：+≥a+b；（5分）
（2）利用（1）的结论，试求当010.（12分）已知实数a，b满足0（1）若a+b=1，求的最小值；（6分）
（2）设011.若x>0，y>0，x+y=1，且+>m恒成立，则实数m的取值范围是 （　　）
A.m<3 B.m<6 C.m<5 D.m<9
12.若正数x，y满足x+4y-xy=0，则的最大值为 （　　）
A. B. C. D.1
13.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）5014.已知正实数a，b满足ab2（a+2b）=4，则a+b的最小值为　　　　.
15.已知a>0，b>0，且2a+b=ab-1，则a+2b的最小值为　　　　.
16.（12分）已知x，y是正数，且满足x+2y+xy=30.
（1）求xy的最大值及此时的x，y值；（6分）
（2）求x+y的最小值及此时的x，y值.（6分）
答案精析
1.D　2.C　3.B　4.B　5.BD　6.B　7.　8.4　　3
9.（1）证明　∵a>0，b>0，
∴++a+b
=+≥2a+2b，
当且仅当a=b时等号成立，
∴+≥a+b（当且仅当a=b时等号成立）.
（2）解　由于0可将1-x看作（1）中的a，x看作（1）中的b，
根据（1）的结论，则有+≥1-x+x=1，
当且仅当1-x=x，即x=时，等号成立，
∴所求式子的最小值为1.
10.解　已知实数a，b满足0（1）若a+b=1，
=
==4+++1
≥4+4+1=9，
当且仅当a=b=时，等号成立，故所求最小值为9.
（2）∵00，12-m>0，
∵m+（12-m）=12，
∴+=1，
∴+
=
=++
≥+=，
当且仅当m=6时，等号成立，
∴+的最小值为.
11.C
12.A　［因为x+4y-xy=0，化简可得x+4y=xy，左右两边同时除以xy得+=1，
求的最大值，
即求=+ 的最小值，
又×1
=×
=+++
≥2++=3，
当且仅当=，即x=6，y=3时取等号，
所以的最大值为.］
13.60
解析　设当销售价格为每件x元（50则y=（x-50）·P=.
令x-50=t，则x=50+t，
∴y==
=≤=2 500.
当且仅当t=10，即x=60时，等号成立，
∴若要使每天获得的利润最多，则销售价格每件应定为60元.
14.2
解析　由ab2（a+2b）=4，
得a（a+2b）=，
故（a+b）2=a（a+2b）+b2=+b2≥2=4（当且仅当b=，a=2-时取等号）.
所以a+b的最小值为2.
15.5+2
解析　由2a+b=ab-1，
得a=，
因为a>0，b>0，所以a=>0，b+1>0，所以b>2，
所以a+2b=+2b
=+2（b-2）+4
=2（b-2）++5
≥2+5=5+2，
当且仅当2（b-2）=，
即b=2+时等号成立.
所以a+2b的最小值为5+2.
16.解　（1）∵x+2y+xy=30，
∴y=，
由于x，y是正数，
则x>0且>0，
可得0∴xy==
=
=32-x-
=34-（x+2）-
=34-
≤34-2
=18，
当且仅当时，等号成立，
所以xy的最大值为18，
此时x=6，y=3.
（2）x+y=x+
=x+=x+-1
=（x+2）+-3
≥2-3=8-3，
当且仅当时，等号成立，
所以x+y的最小值为8-3，此时x=4-2，y=4-1.