4.3 探究三角形全等的条件 同步练习 北师大版（2024年）数学七年级下册（含解析）

4.3探究三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，的高相交于点F，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，则可推出（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，带③去最省事，其依据是全等三角形的（ ）判定．

A． B． C． D．
5．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）

A． B． C． D．
6．在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，为修公路，需测量出被大石头阻挡的的大小．为此，小张师傅便在直线上取点D使，在的延长线上取点E，使，连接，要想测出的度数，则需要测出哪个角的度数？（ ）
A． B． C． D．
9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（ ）

①；②平分；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．下列说法正确的是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
11．能确定与全等的条件是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．如图，点B在上，若，则四边形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．32
二、填空题
13．如图，，则的长为 ．
14．将三边长分别为3、4、5的两个全等的直角三角形的斜边重合，且使得两个直角顶点落在重合斜边的异侧，则这两个直角顶点之间的距离是 ．
15．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ．
16．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，．
17．如图，，于D点，E、F为AD上的点，则图中共有 对全等三角形．
三、解答题
18．在数学活动课上，李老师让同学们试着用角尺平分（如图所示）．有两组同学设计了如下方案．
方案①：将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度位于上，且交点分别为，，即，过角尺顶点的射线就是的平分线．
方案②：在边上分别截取，将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点，重合，即，过角尺顶点的射线就是的平分线．
方案①与方案②是否可行？请说明理由．
19．如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________；
(2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由．
20．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，．
(1)求证：；
(2)求两堵木墙之间的距离．
21．如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
22．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P．
(1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　．
(2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论
(3)若，，将旋转至时，请直接写出的长．
23．如下图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后测得，过点作于点G．已知，四边形为长方形，，点在一条直线上．请求单元楼的高度．
24．（1）如图①所示，已知．试说明：；
（2）把图①变换成图②、图③后，（1）中结论是否仍成立？请先回答问题，再从图②、图③中任选一图说明理由．
《4.3探究三角形全等的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D D A C C D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵的高相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，结合小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边，进行作答即可．
【详解】解：结合图形，得小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边，
∴小明画图的依据是，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案．
【详解】在和中，
，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形，从而可得答案．
【详解】解：由三角形全等的判定方法，
根据、、、，带①②去都没法找到和原三角形全等的玻璃，
只有图③包括了两角及它们的夹边，
带③去才能配一块完全一样的玻璃，
其依据是定理判定三角形全等，
故选C．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，难度不大，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“”）．
5．D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
6．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据选项中所给的条件结合定理分别进行分析，可选出答案．
【详解】解：如图，
A、不能判定和全等，故本选项不符合题意；
B、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
D、可以利用判定和全等，故本选项符合题意．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可得到．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴要想测出的度数，则需要测出的度数，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可．
【详解】解：延长交的延长线于点M，
，
，
，
故①选项符合题意；
，
是的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故④选项符合题意，
，
，
平分，
故②、⑤选项符合题意；
和的大小关系不确定，
故③选项不符合题意，
综上可知，正确的有①②④⑤，
故选：C．
10．D
【分析】根据角平分线的判定可判断选项A错误，根据全等三角形的判定可判断选项B、C错误，选项D正确，即可得．
【详解】解：A、根据角平分线的判定“角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”，选项说法错误，不符合题意；
B、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，选项说法错误，不符合题意；
C、两个等边三角形不是全等三角形，再有一条对应边相等才行，选项说法错误，不符合题意；
D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
11．D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A. ，，，两边和一边的对角相等，不能确定全等，不符合题意；
B. ，，，两边相等，其中一个角是这两边的夹角，另一个是其中一边的对角，不能确定全等，不符合题意；
C. ，，，两角相等，其中一边这两个角的夹边，另一个是其中一角的对边，不能确定全等，不符合题意；
D. ，，，两角相等，这两个角的夹边也相等，能确定全等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是准确理解判定定理，注意对应关系．
12．D
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，则，即可求出四边形的周长．
【详解】解：∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴四边形的周长．
故选D．
13．5
【分析】本题考查了全等三角形的知识；根据全等三角形的性质，通过证明，即可得到答案．
【详解】∵， ，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：5．
14．5或
【分析】分两种情况讨论，根据勾股定理和全等三角形的判定与性质即可得出结论．
【详解】解：分两种情况讨论：
三角形和重合，如图所示：
；
连接与AB交于D，如图所示：
在和中，
，
，
又，
，
，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识．
15．
【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长．
【详解】解：过点作于，过点作于，连接，如图，
设，
，
，，
点为弧的中点，
，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和△中
，
△，
，，
，
，解得，
．
故答案为4．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
16．/
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证；
【详解】解：当时，
在和中，
，
∴，
∴当时，可证，
故答案为：；
17．6
【分析】由AB=AC且AD⊥BC，可知AD为BC的垂直平分线，可得到EB=EC，FB=FC，再结合全等三角形的判定方法可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD为BC的垂直平分线，BD=CD，∠BAD=∠CAD
∴EB=EC，FB=FC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
同理可得△EBD≌△ECD，△ABE≌△ACE，△FBD≌△FCD，△ABF≌△ACF，△FBE≌△FCE，
∴共有6对三角形全等，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
18．方案①不可行，方案②可行；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义；根据即可得出，则就是的平分线．
【详解】解：方案①不可行；理由如下：因为只有，不能判断，
所以不能判定就是的平分线；
方案②可行；理由如下：
在和中，
，
所以，
所以．
所以就是的平分线．
19．(1)
(2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
（1）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出.
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
理由：如图，延长到点G，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)两堵木墙之间的距离为
【分析】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据直角三角形的性质证明，进而可以得到结论；
（2）由题意得，，结合（1）知，得，，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：，，
，
又，
，，
，
在和中，
，
（2）解：由题意得：，，
，
∴，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
21．见解析
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，进而可得BD＝CE，根据AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
DB＝EC；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用两次全等解决问题．
22．(1)，
(2)结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是
(3)或
【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：线段与的位置关系是，数量关系是．
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
．
（2）解：结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是．
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，当点P在的延长线上时，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，，
四边形AEPF是矩形，
，
；
如图，当点P在线段上时，，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．单元楼的高度为
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意利用证明即可得到的高度．
【详解】解：因为，
所以．
由题意，得，
所以．
因为，
所以．
在与中，
，
所以，
所以，
所以．
故单元楼的高度为．
24．（1）见解析；（2）成立，说明见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．
（1）根据证明全等，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定解答即可；
（2）根据证明，根据全等三角形的性质及平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，
选题图②进行说明．理由如下：
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
选题图③进行说明．理由如下：
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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