3.2 频率的稳定性 同步练习 北师大版（2024年）数学七年级下册（含解析）

3.2频率的稳定性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，在不透明的口袋中放有6个除颜色外均相同的小球，其中有3个红球，2个白球和1个黑球．用折线统计图统计了某一结果出现的频率，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．从中随机摸出1个球是红球 B．从中随机摸出1个球是白球
C．从中随机摸出1个球是黑球 D．从中随机摸出1个球是黄球
2．下列说法正确的是（　　）
A．为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查的方式
B．为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为1200
C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”
D．甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，则乙学生的成绩稳定
3．某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ）
A． B． C． D．
4．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（ ）

A．① B．② C．①② D．①③
5．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
6．掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
7．下列说法中正确的是（　　）
A．随机事件发生的概率是不能确定的
B．明天，降水概率，是指明天的时间下雨
C．事件发生的概率与事件不发生的概率可能相等
D．概率为0的事件不存在
8．某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝，下列说法中正确的是（　　）
A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是
9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
“钉尖向上”的频率
A． B． C． D．
10．只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球与白球共有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
11．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）

A． B． C． D．
12．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．为调查某批乒乓球的质量，根据所做试验，绘制了这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图（如图），则这批乒乓球“优等品”的概率约为 ．（结果精确到）
14．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为 ．
15．某种树苗移植的成活情况记录如下：
移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000
移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801
移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801
估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．
16．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验． 实验结果如下表所示 ：
实验的菜种数 200 500 1000 2000 10000
发芽的菜种数 193 487 983 1942 9734
发芽率 0.965 0.974 0.983 0.971 0.973
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为 ．（ 精确到 0.01 ）
17．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 ．
三、解答题
18．在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝球，个红球，在这个袋中加入个红球，这些球除颜色外其他均相同．进行如下试验：随机摸出个，记下颜色，然后放回搅匀，多次重复这个实验，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
19．儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
(1)求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
(2)袋中约有多少个白球？
20．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值．
21．在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2000次重复摸球实验后，共摸出黑球1202次．
(1)估计袋中有黑球________个；
(2)小明从袋中取出n个黑球后，小明从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黑球的概率为，求n的值．
22．某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率
(1)计算进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
23．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000
击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802
击中10环频率
(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？
24．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是__________（精确到0.01），由此估出红球有__________个．
(2)现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率．
《3.2频率的稳定性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B C B C B B C
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】先由折线统计图得出随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.17，即附近，再分别求出每个选项中随机事件的概率，从而得出答案．
【详解】解：由折线统计图知，此试验最终的频率接近于0.17，即约为，
A、从中随机摸出1个球是红球的概率为，故此选项不符合题意；
B、从中随机摸出1个球是白球的概率为，故此选项不符合题意；
C、从中随机摸出1个球是黑球的概率为，故此选项符合题意；
D、从中随机摸出1个球是黄球的概率为=0，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，难度不大．
2．D
【分析】分别根据抽样调查、全面调查、样本容量、概率、方差的有关概念对每一项进行分析即可．
【详解】A.为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查的方式，故A错误；
B.为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为200，故B错误；
C.投掷一枚硬币100次，有50次“正面朝上”的可能性很大，但不是一定有50次，故C错误；
D.甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94．方差分别为5.3和4.8，乙的方差小于甲的方差，故D正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了抽样调查、全面调查、样本容量、概率、方差的有关概念，熟练掌握有关知识，会进行灵活运用是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了概率公式的应用；由概率公式的意义即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
4．B
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．C
【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
【详解】解：由题可得：312（个）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
6．B
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，
则他第四次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上．正面朝上的概率为：，
故选B．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
7．C
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】A、随机事件发生的概率有的可以确定，故此选项错误；
B、明天，降水概率，是明天下雨的可能性是，故此选项错误；
C、事件A发生的概率与事件A不发生的概率可能相等，正确；
D、概率为0的事件，是不可能事件，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的意义，正确掌握事件发生概率的意义是解题的关键．
8．B
【分析】根据频率估计概率分别进行判断．
【详解】解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率P＝，），则抛掷次数逐渐增加时，p稳定在左右．
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．
故选：B．
10．C
【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：设袋中白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故袋中白球有个，共有个球．
故选：C．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键．
11．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．
故选：B．
12．C
【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
“偶数朝上”的频率为，
故选：C．
13．0.95
【分析】本题考查用概率估计频率，根据大量重复实验频率逐渐稳定的数值即事件发生的概率解题即可．
【详解】解：由题图可看出，这批乒乓球“优等品”的频率在附近摆动，并逐渐稳定于，
∴概率的估计值是.
故答案为：．
14．20
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设红球个数为x个， 根据题意得：，
解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．0.80
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80，
故答案为：0.80．
16．0.97
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，由此可估计发芽的概率大约是0.97．
【详解】根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.97．
故答案为0.97．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
17．7
【分析】本题主要考查利用频率估计概率以及用样本估计总体，解答本题的关键要明确用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个），
故答案为：7．
18．
【分析】根据大量重复实验时，频率可以估计概率，列出方程求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，
∴摸到红色小球的概率等于，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
∴可以推算出的值大约是．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．(1)0.2
(2)袋中约有32个白球
【分析】（1）根据概率的频率定义进行计算即可；
（2）设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【详解】（1）解：参加此次活动得到玩具娃娃的频率是=0.2；
（2）解：设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）=，
则=0.2，
解得：m=40，
所以白球接近40-8=32个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)
(2)估计原口袋中共有40个球
(3)估计的值为60
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得，解之即可得出答案；
（3）根据题意得，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，
∴估计摸到黑球的概率是．
故答案为：．
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得：
，
解得：m＝40，
经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意，
答：袋中原有40个球．
（3）解：根据题意得：，
解得：n＝60，
经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴n＝60．
答：估计的值为60．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．(1)6
(2)
【分析】（1）先估算出概率，再乘以总量即可；
（2）表示出剩余黑球的数量除以总数量列式计算即可．
【详解】（1），
（个），
∴估计袋中有黑球6个；
故答案为：6．
（2）取出n个黑球后，还剩下个黑球，总共剩余个球，
由题意得，解得．
【点睛】本题主要考查了由频率估计概率，已知概率求参数，准确计算是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)0.75
【分析】本题考查利用频率估计概率：
（1）利用进球次数除以投篮次数，进行求解即可；
（2）利用频率估算概率即可．
【详解】（1）解：利用进球次数除以投篮次数，填表如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.7 0.75 0.75
（2）由表格可知：进球的概率是0.75．
23．(1)见解析
(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9
【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等．
（1）按表格中所给数据计算即可；
（2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率．
【详解】（1）解：计算结果如下表：
射击次数n 10 20 50 100 500 1000 2000
击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 899 1802
击中10环频率
（2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在附近，并围绕作小幅波动，
∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为．
24．(1)0.33，2；
(2)所有可能得结果见解析，恰好摸到2个红球的概率为；
【分析】（1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可；
（2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可；
【详解】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，
设红球有个，则，解得，
故答案为0.33，2；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种，
所以从该袋中摸2次球，恰好摸到2个红球的概率为．
【点睛】本题考查了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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