第24讲　矩形、菱形 （含答案）备战2025中考数学一轮复习过关练

第24讲　矩形、菱形
A层·基础过关
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是(D)
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,将矩形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B'处,B'C交AD于点E,若∠1=25°,则∠2等于(C)
A.25° B.30° C.50° D.60°
3.小美同学按如下步骤作四边形ABCD;
(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是(C)
A.64° B.66° C.68° D.70°
4.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为(B)
A.S B.S C.S D.S
5.四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为(A)
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
6.如图,用平移方法说明当平行四边形的面积公式S=ah时,将△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为(B)
A.3 B.4 C.5 D.12
7.如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)当BD=CE时,求证: DEFG是矩形.
【解析】(1)∵BD和CE是△ABC的中线,
∴点E和点D分别为AB和AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC.
同理可得,FG∥BC,FG=BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵△ABC的中线BD,CE交于点O,∴点O是△ABC的重心,∴BO=2OD,CO=2OE.
又∵点F,G分别是OB,OC的中点,
∴OF=FB,OG=GC,
∴DF=BD,EG=CE.
∵BD=CE,∴DF=EG.
又∵四边形DEFG是平行四边形,∴平行四边形DEFG是矩形.
B层·能力提升
8.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,AC·EF的值为(D)
A. B.9 C.15 D.30
10.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为　2　.
11.如图所示,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.
(1)求证:AD2=DE·DC;
(2)F为线段AE延长线上一点,且满足EF=CF=BD,求证:CE=AD.
【证明】(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠DAE,
∵∠BAD=∠ADE=90°,
∴△ADE∽△BAD,
∴=,
∴AD2=DE·BA,
∵AB=DC,∴AD2=DE·DC;
(2)连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°,
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠AED,
∵∠FEC=∠AED,
∴∠ADO=∠FEC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OD=BD,
∵EF=CF=BD,
∴OA=OD=EF=CF,
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE,
∵∠ADO=∠FEC,
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE,
在△ODA和△FEC中,,
∴△ODA≌△FEC(AAS),∴CE=AD.
C层·素养挑战
12.康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD;
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该定理是: 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴在△BAD和△ABC中,,
∴△BAD≌△ABC(SSS),
∴∠BAD=∠ABC,
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).第24讲　矩形、菱形
A层·基础过关
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,将矩形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B'处,B'C交AD于点E,若∠1=25°,则∠2等于( )
A.25° B.30° C.50° D.60°
3.小美同学按如下步骤作四边形ABCD;
(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
4.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为( )
A.S B.S C.S D.S
5.四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
6.如图,用平移方法说明当平行四边形的面积公式S=ah时,将△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.12
7.如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)当BD=CE时,求证: DEFG是矩形.
B层·能力提升
8.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,AC·EF的值为( )
A. B.9 C.15 D.30
10.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 .
11.如图所示,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.
(1)求证:AD2=DE·DC;
(2)F为线段AE延长线上一点,且满足EF=CF=BD,求证:CE=AD.
C层·素养挑战
12.康康在学习了矩形定义及判定定理1后,继续探究其他判定定理.
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线,交点记为O;
②以点O为圆心,适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD;
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形,则该定理是: .
(2)猜想与证明
通过和同伴交流,他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法:对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证,请你完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.