第20讲　等腰三角形 （含答案）备战2025中考数学一轮复习过关练

第20讲　等腰三角形
A层·基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.6 C. D.3
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,则以下两个角的关系中不成立的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠2
C.∠4=∠5 D.∠4=∠C
3.等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是( )
A.55°,55° B.70°,40°或70°,55°
C.70°,40° D.55°,55°或70°,40°
4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=,则BC的长是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
5.如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为 .
6.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °.
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= °.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
B层·能力提升
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
11.如图,点A,B是4×4网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,如果以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的所有格点C有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
12.如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM13.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',连接AD'交BC'于点F.
(1)若∠DED'=70°,求∠DAD'的度数;
(2)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状,并说明理由.
C层·素养挑战
14.题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有 .
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.第20讲　等腰三角形
A层·基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.6 C. D.3
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,则以下两个角的关系中不成立的是(C)
A.∠1=∠2 B.∠3=∠2
C.∠4=∠5 D.∠4=∠C
3.等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是(D)
A.55°,55° B.70°,40°或70°,55°
C.70°,40° D.55°,55°或70°,40°
4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=,则BC的长是(B)
A.3 B.6 C.8 D.9
5.如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为　5　.
6.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=　52　°.
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=　40　°.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为　6或12　.
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
【解析】(1)连接BE,
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,
在Rt△BCE中,BE=2CE,
∴AE=2CE;
(2)△BCD是等边三角形,理由如下:
如图,连接CD.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴D为AB的中点,
∵∠ACB=90°,
∴CD=BD,
∵∠ABC=60°,
∴△BCD是等边三角形.
B层·能力提升
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(C)
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
11.如图,点A,B是4×4网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,如果以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的所有格点C有(C)
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
12.如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM8或a=4　.
13.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',连接AD'交BC'于点F.
(1)若∠DED'=70°,求∠DAD'的度数;
(2)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,点E是AD的中点,∴AE=DE,
∵沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',
∴DE=D'E,
∴AE=D'E,则△AED'是等腰三角形,
∴∠D'AE=∠AD'E,
∵∠DED'=70°,即∠D'ED=∠D'AE+∠AD'E=70°,
∴∠D'AE=∠AD'E=∠DED'=×70°=35°,
∴∠DAD'的度数为35°.
(2)如图所示,连接EF,点H是BE上的一点,
∵四边形ABCD是矩形,∴DE∥BC,∠C=∠D=90°,即CD⊥BC,
∵沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',
∴∠C'=∠D'=∠C=∠D=90°,C'F∥D'E,BE是∠CBC',∠DED'的平分线,
由(1)可知,∠EAD'=∠ED'A=∠DED',
∴∠ED'A=∠D'EH,
∴AD'∥BE,且BF∥ED',
∴四边形BED'F是平行四边形,
则BF=ED',FD'=BE,
如图所示,连接EC,EC',过点E作EG⊥BC于点G,
∵点E是AD的中点,EG⊥BC,
∴点G是线段BC的中点,则AE=DE=BG=CG,
∴在△BEG和△CEG中,
,
∴△BEG≌△CEG(SAS),
∴BE=CE,∠EBG=∠ECG,
∵沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',
∴∠BC'D'=∠C'D'E=∠BCD=∠ADC=90°,C'F∥D'E,∠GBE=∠FBE,
在△BC'E和△BCE中,,
∴△BC'E≌△BCE(SAS),
∴EC'=EC,∠BC'E=∠BCE,
∴EC'=EC=EB,∴EC'=FD',
∴四边形C'D'EF是平行四边形,
∵∠BC'D'=∠C'D'E=∠BCD=∠ADC=90°,
∴平行四边形C'D'EF是矩形.
C层·素养挑战
14.题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
方法应用
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有B.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【解析】(1)△BDE的形状是等腰三角形,
理由如下:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠ABD,∴EB=ED,∴△BDE是等腰三角形.
(2)①共有四个等腰三角形.
分别是:△ABE,△ABG,△AFD,△CGF.
②由(1)可知,∠ABE=∠EBG=∠AEB.AB=AE=3,
∵AF⊥BE,∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,∴∠EAG=∠AGB,
∴∠BAF=∠AGB,∴AB=BG=3,
∵AB∥FD,∴∠BAF=∠CFG,
∵∠AGB=∠CGF,∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF,∵CG=BC-BG=5-3=2,
∴CF=2.