2024-2025云南省文山州文山一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省文山州文山一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，的一个通项公式可能是( )
A. B. C. D.
2.已知直线与直线平行，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设各项均为正数的等比数列满足，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆：与圆：恰有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
6.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，且则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. 等差数列为单调递增数列
B. 数列是递增数列
C. 有最小值
D. 存在正整数，当时，总有
10.已知圆：，直线：则以下几个命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若为直角三角形，则( )
A. B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线外一点，直线过原点，且平行于向量，则点到直线的距离为______．
13.已知正项数列是公比不等于的等比数列，且，若，则 ．
14.过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的标准方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
若，求整数的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，点是的中点，点，分别是线段，上的点，且．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为．
求椭圆的方程；
斜率为的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，直线和直线的斜率分别记为，，证明：．
18.本小题分
已知为等差数列，为等比数列，，，
求和的通项公式；
令，求数列的前项和；
记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知点在抛物线：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为
求抛物线的方程；
求数列的通项公式，并求数列的前项和；
求的面积．
参考答案
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15.解：已知，，
则，
又，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即；
由可得：，
又，且为整数，
则，
即整数的最小值为．
16.解：证明：因为平面，，平面，且四边形是矩形，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，因为，，且．
所以，
所以．
因为，
所以，即．
由得．
设是平面的一个法向量，则，，
则，
令，得，，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为椭圆经过点，离心率为，
所以，
解得
则椭圆的方程为；
证明：设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以
．
故
18.解：为等差数列，为等比数列，
，，
设公差为，公比为，可得，即，
，解得，
可得，；
由知，
设，
，
以上两式相减，得
可得数列的前项和为；
由题设可得，
要使对任意的正整数，恒有，
即，
即恒成立．
当为奇数时，恒成立，
而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，
而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有．
19.解：因为点在抛物线：上，
则，解得：，
所以抛物线的方程；
由可知，，
因为点在抛物线：上，
则，且，
则过，
且斜率为的直线，
联立方程，消去可得，
解得：或，即，所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
，
所以，
则
；
由可知：，，，
所以直线的方程为，
即，
则点到直线的距离为
，
又，
所以的面积为．
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