山西省吕梁市部分学校2024-2025下学期3月月考八年级数学试卷（含答案）

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八年级下册第16章-第17章。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 1．若代数式 2 3有意义，则 的取值范围是( )
A 3 2． ≠ 2 B． ≠ 3 C． >
2
3 D． >
3
2
2．已知 3 + 3 = 2，则 + 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
3．△ 中，∠ ，∠ ，∠ 所对的边分别为 ， ， ，下列条件不能判断△ 是直角三角形的是（ ）
A． 2 + 2 = 2 B． = 5， = 12， = 13
C．∠ :∠ : ∠ = 3: 4: 5 D．∠ = ∠ + ∠
4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． 8 B． 0.5 C． 1 D．3 2
5．下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ）
A． = + B． 2 + 2 = +
C． = D．
2 =
6．下列计算正确的是( )
A．5 2 + 2 5 = 7 B． 8 ÷ 2 = 2 C．5 3 + 2 5 = 5 6 D． 41 12 = 2 2
7．已知 1 < < 3，则化简 1 2 + 2 2 8 + 16的结果是( )
A．2 5 B．5 2 C． 3 D．3
8．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止
时，踏板 B离地的垂直高度 = 0.8 ，将它往前推 3 至 C处时(即水平距离 = 3 )，踏板离地的
垂直高度 = 2.6 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（ ）
A．3.4 B．3.6 C．3.8 D．4.2
9．若 < 0，则代数式 2 3可化简为（ ）
A． B． C． D．
10． 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折
竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根
竹子，原高一丈（一丈= 10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 5尺远，则
折断处离地面的高度是（ ）
A．3.75尺 B．4.75尺 C．6.25尺 D．5 3尺
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．已知( 2)2 + + 1 = 0，则 ＝ ．
12．如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 3， = 4，将△ 折叠，使点 B 恰好落在边 上，与
点 '重合， 为折痕，则 ' = .
13 1．已知 + = 2

，那么 2+3 +1 2+9 +1 的值等于 ．
14．如图，A，B，C，O 四点都在 3×3正方形网格的格点上，则∠AOB－∠BOC＝ °．
15．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 沿顺时针方向旋转 60°得到线段 '，连接 '，
'.若 = 3， = 4， = 5，则∠ 的度数是 .
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（10分）计算：
（1）( 45 + 18) ( 8 125) + | 2|；
（2）( 2 + 2)(2 2) ( 3 1)2；
17．（7分） 先化简，再求值： + 1 2 + 2，其中 = 1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式= + (1 )2 解：原式= + (1 )2
= + 1 = + 1
= 1 = 2013
（1） 的解答过程是错误的；
（2）先化简，再求值： + 2 2 6 + 9，其中 = 2024．
18．（8分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的
公路.如图，现从 A地分别向 C、D、B三地修了三条笔直的公路 AC，AD和 AB，C地、D地、B地在
同一笔直公路上，公路 AC和公路 CB互相垂直，又从 D地修了一条笔直的公路 DH与公路 AB在 H
处连接，且公路 DH和公路 AB互相垂直，已知 AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路 CD、AD的长度；
（2）若修公路 DH每千米的费用是 2万元，请求出修建公路 DH的费用．
19．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节．某校八年级(1)班的小明和
小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 (如图)，他们进行了如下操作：①测得水平
距离 的长为 8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 17米；③牵线放风筝的小明的
身高为 1.5米．
（1）求风筝的垂直高度 ；
（2）如果小明想风筝沿 方向下降 9米，则他应该往回收线多少米？
20．（9分）已知一矩形的面积为(4 2 + 3 6)，它其中的一边长为 2 2，又知一平行四边形的一组邻边
3
长分别为(2 12 6 1)、3 48. 若矩形的周长为 1，平行四边形的周长为 2，且3 = 1 28 2 4.
求( 3 2)2 + 2的值.
21 .（8分）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中
的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已
经接触过分数裂项求和．例如： 1 12×3+ 3×4+
1 = 1 1+ 1 1 1 1 1 1 34×5 2 3 3 4+ 4 5 = 2 5 = 10．
1 2 1 1
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： = = 2 12+1 ( 2+1)( 2 1) ，
=
3+ 2
3 2 = 3 2
( 3+ 2)( 3 2) ．
（1 1）模仿材料中的计算方法，化简： =10+ 9 ．
1
（2）观察上面的计算过程，直接写出式子 = + 1 ．
3 1 1 1 1（ ）利用根式裂项求解：( + + + + )( 2023 + 1)2+1 3+ 2 4+ 3 2023+ 2022 ．
22.（13分）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张长方形纸片进行探究活动．
小亮准备了长方形纸片 ，其中 是 的中点，将△ 沿 折叠，点 的对应点为 ．
（1）观察发现：如图 1，当点 恰好在 边上时，小亮发现 与 存在一定的数量关系，其数量
关系是 ．
（2）探索猜想：如图 2，当点 在长方形 内部时，延长 交 边于点 ．试猜想线段 ，
与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：当点 在长方形 内部时，若 = 3 ，直接写出线段 与 的数量关系．
23.（12分）在一次数学小组活动中，要通过测量并计算求出校园内旗杆的高度．
如图，智慧小组分别在旗杆 两侧，用测角仪器测出∠ = 30°，∠ = 60°， = 30米，C、
B、D在一直线上，并且旗杆和地面垂直．
如图，善思小组在 同侧测得∠ = 30°，∠ = 60°， = 30米；
（1）你认为这两个小组，哪个小组测得的数据可以求出旗杆 的高度（ ）
A．智慧小组 B．善思小组 C．两个小组都可以
（2）选择你认为可行的小组所测数据，帮他们求出旗杆 的高度．（ 3 ≈ 1.73）2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷
参考答案
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A C D D B A A C A
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11 2． 2 12．1.5 13
5
． 5
11
11 14．45° 15．150°
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（10分）
【解析】解：(1) ( 45 + 18) ( 8 125) + | 2|．
=( 45 + 18) ( 8 125) + | 2| .............................................................................2分
=3 5 + 3 2 2 2 + 5 5 + 2 .........................................................................4分
=8 5 + 2 2 ................................................................................5分
（2）( 2 + 2)(2 2) ( 3 1)2
=( 2 + 2)(2 2) ( 3 1)2 .
=4 2 (4 2 2) ..............................................................................................................8分
= 2+ 2 2 ............................................................................................................................10分
17．（7分）
【解析】（1）小亮 ......................................................................................2分
（2）解：原式= + 2 ( 3)2， .................................................................3分
= 2024，
∴ 3 < 0， .....................................................................................................4分
∴原式= + 2 ( 3)2
= + 2(3 ) .................................................................................................5分
= 6 .....................................................................................6分
= 6 ( 2024) = 2030...............................................................................7分
18．（8分）
【解析】（1）解：∵ ∠ = 90°, = 9千米， = 15千米，
∴ = 2 2 = 12（千米）， ...................................................................................2分
∵ = 5千米，
∴ = 7千米，
∴ = 2 + 2 = 130（千米）； ..............................................................................4分
（2）解：∵ ⊥ ，
∴ 1 1△ = 2 = 2 , ...............................................................................................6分
解得 = 3千米，
∴修建公路 DH的费用为 3 × 2 = 6（万元）. .....................................................................8分
19．（8分）
【解析】（1）解：根据题意得： = 8， ∥ ， = 1.5， ⊥ ， ⊥ ， = 17，
∴∠ = ∠ = 90°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，∠ = 90°，
∴四边形 是矩形，
∴ = = 1.5， ....................................................................................................1分
在 △ 中， = 8， = 17，
∴ = 2 2 = 172 82 = 15， ...........................................................................2分
∴ = + = 15 + 1.5 = 16.5（米），
∴风筝的垂直高度 为 16.5米； .........................................................................................4分
（2）如图，在 上取点 ，使 = 9，连接 ，
∴ = = 15 9 = 6，
在 △ 中， = 8， = 6，
∴ = 2 + 2 = 62 + 82 = 10， .................................................................6分
∴ = 17 10 = 7（米）， ..................................................................................7分
∴他应该往回收线 7米． .................................................................................................8分
20．（9分）
【解析】解： ∵一矩形的面积为(4 2 + 3 6)，它其中的一边长为 2 2，
∴矩形的另一边为(4 2 + 3 6)÷2 2=2+3 3， .........................................................................3分2
∴ 1 = 2
3 3
（2 + 2 + 2 2） = 4 2 + 4 + 3 3．
∵一平行四边形的一组邻边长分别为(2 12 6 1 、 .3) 3 48
∴ 2 = 2 2 12 6
1
3+ 3 48 = 28 3 ...........................................................................................6分
∴ = 3 31 28 2 4 =4 2 + 4 + 3 3 28 × 28 3-4= 4 2，
∴( 3 2)2 + 2 =(4 2 3 2)2 +4 2 2 = 4 2 ................................................................9分
21 .（8分）
【解析】（1） 10 9 ................................................................................................................................2分
（2） 1 .......................................................................................................................4分
（3）解：原式= ( 2 1 + 3 2 + 4 3 + + 2023 2022)( 2023 + 1) .......6分
= ( 2023 1)( 2023 + 1). ................................................................................................7分
= 2022． ..................................................................................................8分
22 .（13分）
【解析】解：（1）在长方形 中，∠ = ∠ = 90°
∵ 是 的中点，
∴ = 2 ，
∵将△ 沿 折叠
∴∠ = ∠ = 90°， = ，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴四边形 矩形，
∵ = ，
∴矩形 是正方形，
∴ = ，
∴2 = ．
答案为：2 = ．................................................................................................................3分
（2）解： = + ．证明如下：
如图，连接 ，
在矩形 中， = ， = ，∠ = ∠ = ∠ = 90 ．
∵ 是 的中点，
∴ = ．
∵△ 沿 折叠后得到△ ，
∴ = ， = = ，∠ = ∠ = 90 ，
∴∠ = ∠ = 90 ． .................................................................................................................6分
在 △ 和 △ 中， = ， = ，
∴ △ △ ，
∴ = ，
∴ = + = + ． ........................................................................................9分
（3）3 = ． ...........................................................................................13分
证明如下：
设 = = ， = ，
∴ = = 3 ．
由（2）得 = + ，
∴ = + ， = ．
在 △ 中，由勾股定理，得 2 = 2 + 2，
∴( + )2 = ( 3 )2 + ( )2，
∴4 = 3 2．
∵ ≠ 0，
∴ = 43 ，
即 = 43 ．
∵ = 43 =
1
3 ，
∴3 = ．
23 .（12分）
【解析】（1）C ..........................................................................4分
（2）解：智慧小组：根据旗杆与地面垂直，可得∠ABC=∠ABD=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵BC=30米，
∴在直角三角形 ABC中 2 + 2 = 2
∴ 2 + 2 = 4 2 .......................................................................................................................7分
∴ = 3 = 10 3 ≈ 17.3米； ..........................................................................................8分3
善思小组：根据旗杆与地面垂直，可得∠ABC=∠ABD=90°，
∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，∠DAB=30°，
∴CD=AD=2BD， ..........................................................................................................10分
∵BC=30米，
∴BD=10米，AD=20米，
∴在直角三角形 ABD中： = 2 2 = 10 3 ≈ 17.3米. ................................12分