2024-2025山东省济宁市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济宁市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.函数且的图象过定点( )
A. B. C. D.
4.已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的定义域为，记，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则为第二象限角
B.
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的单调递增区间为，
10.已知，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为______．
13.给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式______．
14.已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值．
17.本小题分
已知函数．
解不等式；
当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时，的值．
18.本小题分
为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以年作为第年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如表：
第年
观看人次十万
为了描述年数与第年该视频号观看人次单位：十万的关系，现有以下三种模型供选择：；；．
由于视频号初创，监测系统对年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测年的观看人次能否超过单位：十万；
为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，年的观看人次修正为单位：十万，年的观看人次修正为单位：十万
根据修正后的数据，请从中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过单位：十万，其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？
参考数据：，，
19.本小题分
已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数．
若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由；
若函数为“距”增函数，求正实数的取值范围；
若函数，为“距”增函数，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：当时，集合或，，
则；
因为或，
所以，
因为．
若是的充分条件，则，
所以，解得，
故实数的取值范围为
16.解：，
由，得，
故函数的单调递减区间为；
，
当时，，
故当，即时，，
当，即时，．
17.解：由得，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
因为，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，此时的最小值为．
18.解：由题意，选择模型，将，分别代入式可得：，
解得，，
所以，也满足该式．
当时，，
即按该模型预测，该视频号年的观看人次达到单位：十万人，所以年该视频号观看人次能超过单位：十万人．
由题意，选择模型，将，分别代入式可得：，
解得，，所以，，均满足该式．
该视频号观看人次超过单位：十万人，即不等式，所以，
不等式两边同时取常用对数得，，
所以，
即按中求得的函数模型变化，估计最快到年，该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”．
19.解：函数是“距”增函数，理由如下：
因为的定义域为，
任取，
，
因为，所以，
即，
所以，
所以函数是“距”增函数；
因为函数，为“距”增函数，
所以对任意
所以，
即，
因为，
所以，
因为函数图象开口向上且对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值为，
若对任意都成立，
则，即，
因此若函数，为“距”增函数，
则；
由题意可知，，
若函数，为“距”增函数，
则，，
即，
即，
即，
所以，
所以，
由，
设，
当时，，且，
则，
因为，
所以，，，
所以，
即，
所以，
所以在上单调递增，
；
当时，，当且仅当，即时，取得等号．
此时，，
综上，．
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