2024-2025陕西省汉中市普通高中十校联盟高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为( )
注：表中的数据为随机数表第行和第行
A. B. C. D.
4.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
5.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数与且在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
7.用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为时，方程的近似解可取为( )
A. B. C. D.
8.已知著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则下列关于狄利克雷函数的命题中，属于假命题的是( )
A.
B. 为偶函数
C. 对于任意的，，恒成立
D. ：，都是有理数，：，则是的充分不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校开展了以“奋进新征程，强国伴我行”为主题的知识竞赛，其中高一年级选派了名同学参赛，且这名同学的成绩单位：分依次是，，，，，，，，，，则下列说法不正确的是( )
A. 这名同学成绩的平均数为分，方差为
B. 这名同学成绩的中位数为分，众数为分和分
C. 这名同学成绩的极差为分
D. 这名同学成绩的分位数为分
10.已知，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
11.午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约平方千米，始建于西汉午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图判断下列说法正确的是( )
A.
B. 工作人员所选取的人中在的人数为人
C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，则在中抽取人，在中抽取人
D. 按分层抽样的方法从评分在，的两组中抽取的人中再抽两人，则选取的人评分分别在和内各人的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知幂函数在上单调递增，则实数的值为______．
14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式：；
求值：．
16.本小题分
为了预防某流感病毒，学校对教室进行药熏消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量单位：毫克随时间单位：的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数．
根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式；
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生方能回到教室．
17.本小题分
甲乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率，记“甲能解出此问题”为事件，“乙能解出此问题”为事件，“两人都能解出此问题”为事件，“两人都不能解出此问题”为事件，“恰有一人能解出此问题”为事件，“至多有一人能解出此问题”为事件，“至少有一人能解出此问题”为事件．
请用事件，表示事件，，，，并填在下表中；
分别求出事件，，的概率；
俗语“兄弟同心，其利断金”出自周易，常用来比喻只要兄弟一条心，就能发挥很大的力量，泛指团结合作请你结合本题从概率的角度谈谈对这句话的认识．
18.本小题分
已知函数，且的图象过点．
求实数的值；
求函数的定义域，并判断其在定义域上的单调性不需要证明；
解关于的不等式
19.本小题分
定义：如果存在实常数和，使得函数对定义域内的任意都满足，则称函数是“型函数”．
证明函数是“型函数”；
已知函数是“型函数”，求和的值；
已知函数是“型函数”，求一组满足条件的、和的值，并说明理由．
参考答案
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15.解：原不等式化为：，
即，解得或，
则原不等式的解集为；
原式
．
16.解：当时，设，为常数，则，解得，所以；
当时，，为常数；所以，解得，所以；
综上，与之间的函数关系式为；
由知，令，得，
所以，解得，
所以至少需要经过小时后，学生方能回到教室．
17.解：，，，，；
，，；
至少有一人能解出此问题的概率，大于甲解出此问题的概率是，也大于乙解出此问题的概率，所以“兄弟同心，其利断金”．
18.解：由题意可得，故；
，
由可得，故定义域为，
由于为单调递增函数，
故为定义域内的单调递增函数；
由于为定义域内的单调递增函数，且，
故，
即，解得，
故不等式的解为．
19.解：由于，
故函数是“型函数”；
由于是“型函数”，故，
即，
故且，故，．
由于是“型函数”，故，
则，
即，
由于函数为偶函数，
故，故，
此时，故且，解得，，
综上可得，，．
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