山东省聊城市2024-2025高二上学期期末数学试卷（含答案）

山东省聊城市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线 1： 2 + 3 = 0和直线 2： + 4 + 5 = 0平行，则 的值为( )
A. 2 B. 2 C. ±2 D. 1
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 10 8 = 10 5，则 13 =( )
A. 260 B. 130 C. 110 D. 65
3.若平面 经过点 0( 1,1,2)，且以 = (2,3, 2)为法向量， ( , , )是平面 内任意一点，则点 的轨迹方
程为( )
+1 1 2
A. 2 + 3 2 + 3 = 0 B. = =
2 3 2
+1 1 2
C. 2 + 3 2 3 = 0 D. = =
2 3 2
4.过点 (1,2)作圆 ： 2 + 2 2 4 + 4 2 + 4 3 = 0的切线有两条，则 的取值范围为( )
1
A. ( ∞, ) ∪ (1,+∞) B. ( ∞, 1) ∪ (3,+∞)
2
1 1
C. ( , 3) D. ( ∞, ) ∪ (3,+∞)
2 2
5.设{ }是公比为 的等比数列，则“ > 0，且 ≠ 1”是“数列{ }为单调递增或单调递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到其准线的距离为2，则 上一点 ( , 4)到 的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.在四面体 中，∠ = ∠ = 60°， ⊥ ， = = 2， = 3，则异面直线 与 所成
的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2 2
8.已知双曲线 ： 2 2 = 1的一条渐近线方程为 + √ 3 = 0，虚轴长为2， 的两焦点为 1， 2， 为 上

一点，且∠ 1 2 = 60°，若△ 1 2的外接圆和内切圆的半径分别 ， ，则 的值为( )
√ 7 2 8+4√ 7 4+2√ 7 4√ 7 8
A. B. C. D.
4 3 5 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆 ：25 2 + 16 2 = 400的两焦点为 1， 2，则( )
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A. 1( 3,0)， 2(3,0) B. 长轴长为10
3
C. 离心率 = D. 上不存在点 使∠ 1 2 = 90° 5
10.已知圆 1：
2 + 2 4 + 6 + 9 = 0和圆 ： 2 + 22 + 4 + 12 + 31 = 0，则( )
A. 直线 1 2的方程为3 4 18 = 0
B. 两圆有四条公切线
C. 为圆 1上一动点， 为圆 2上一动点，则0 ≤ | | ≤ 10
D. 若动圆 与 1和 2都外切，则点 的轨迹是双曲线
11.若数列{ }满足 +1 + ( 1)
= 2 1，则( )
A. 2 1 + 2 +1 = 2
B. 2 + 2 +2 = 4( + 1)
C. 若前21项的和为211，则 1 = 1
D. 当项数为2 时，偶数项的和与奇数项的和的差为 (2 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 3,1)， = (2,0,3)， = (0,0,2)，若 + + = (6, 3,1)，则 = ______．
13.两直线 + = 0和 + 1 = 0的交点 与 ( 2,0)距离的最大值为______．
14.某特大养殖场2025年年初羊的存栏数为10万，通过引进和自然繁殖预计以后每年存栏数的增长率为50%，
且在年底卖出3万只，则2030年年初的计划存栏数为______万.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 的圆心在 轴上，且过点(4, 1)和(3,6)．
(1)求圆 的方程；
(2)若过 ( 3,0)的直线 被圆 所截得的弦长为8，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知数列 1， 2 1，…， 1( ≥ 2)是首项为2，公差为1的等差数列．
(1)求{ }的通项公式；

(2)记 = ( , 为常数，且 ≠ 0)，若数列{ }是等差数列，求 ， 满足的关系式． +
17.(本小题15分)
已知公比大于1的等比数列{ }的前 项和为 ，且 1， 2， 3成等差数列.正项数列{ }的前 项和为 ，
1
且 = ( + 1)( + 2)， = > 1． 6 1 1
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(1)求{ }，{ }的通项公式；

(2)求数列{ }的前 项和 ．

18.(本小题17分)
2 2
已知过点 (0,4)的直线 和椭圆 ： + = 1交于 ， 两点， ， 不在坐标轴上，且 在 轴上方．
10 4
(1)求| | | |的取值范围；
(2)记 的上下两个顶点分别为 ， ，若直线 = 1与直线 交于点 ，求证： ， ， 三点共线．
19.(本小题17分)
如图，两个正方形 ， 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点 ， 分别在正方形对角
线 和 (不含顶点)上移动，且 = ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)当 是线段 上靠近 的三等分点时，求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)四面体 的各个顶点都在球 的球面上，求球 的表面积 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 6
13.【答案】3
14.【答案】36.375
15.【答案】解：(1)由题意设圆心 (0, )，因为圆 过点(4, 1)和(3,6)，
可得√ (0 4)2 + ( + 1)2 = √ (0 3)2 + ( 6)2，解得 = 2，
即圆心 (0,2)，半径 = √ (0 4)2 + (2 + 1)2 = 5，
所以圆 的方程为 2 + ( 2)2 = 25；
(2)当过点 ( 3,0)的直线的斜率不存在时，则直线 的方程为 = 3，此时圆心 到直线 的距离 = 3，
弦长为2√ 2 2 = 2√ 25 9 = 8，符合题意，
当过点 的直线斜率存在时，设直线 的方程为 = ( + 3)，
即 + 3 = 0，由弦长公式8 = 2√ 2 2 = 2√ 25 2，可得 = 3，
|0 2+3 | 5
圆心 到直线的距离 = = 3，解得 = ，
2 2 12√ +( 1)
5
所以直线 的方程 = ( + 3)，即5 + 12 + 15 = 0，
12
综上所述直线 的方程为 = 3或5 + 12 + 15 = 0．
16.【答案】解：(1)因为数列 1， 2 1，…， 1( ≥ 2)是首项为2，公差为1的等差数列，
所以 1 = 2 + 1 = + 1， 1 = 2，
所以 2 1 = 3，
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3 2 = 4，
…
1 = + 1，
( +4)( 1)
以上 1个式子相加可得， 1 = 3 + 4 + + ( + 1) = ， 2
( +3)
故 = ； 2
( +3) 2 5 9
(2)若 =
= 是等差数列，且
+ 2( + ) 1
= ，
+ 2
= ， = ，
2 + 3 3 +
5 9 2
则2 × = + ，
2 + 3 + +
整理得，3 = 2，
所以 = 0或 = 3 ，
+3
若 = 0，则 = ，为等差数列，符合题意； 2

若 = 3 ≠ 0，则 = ，为等差数列，符合题意， 2
故 = 0， ≠ 0或 = 3 ≠ 0．
17.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ( > 1)，
由 1， 2， 3成等差数列，得2 2 = 3 1，
∴ 2 1(1 + ) = 1(1 + +
2 1)，
∵ 1 ≠ 0，∴
2 2 = 0，解得 = 2( > 1)，
1
∵ 1 = 1 > 1，且 = ( + 1)( + 2)， 6
1
∴ 1 = ( 1 + 1)( 1 + 2)，解得 1 = 2． 6
∴ 1 = 2，则 = 2
．
1
由 = ( + 1)( + 2)， 6
1
得 1 = ( 6 1 + 1)( 1 + 2)( ≥ 2)，
1 1
两式作差得： = ( + 1)( + 2) ( 1 + 1)( 1 + 2)， 6 6
化简得：( + 1)( 1 3) = 0，
∵ > 0，∴ 1 = 3，
即数列{ }是公差为3的等差数列，又 1 = 2，
∴ = 2 + 3( 1) = 3 1；
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3 1
(2)由(1)知， = ， 2
2 5 8 3 4 3 1
则 = +2 22
+
33
+. . . +
2 1
+ ， 2
1 2 5 3 4 3 1
= + +. . . + + ，
2 2 2 23 2 2 +1
1 1
(1 )
1 1 1 1 3 1 4 1 3 1
∴ = 1 + 3( 2 + 3 +. . . + ) = 1 + 3 ×
2 ，
2 2 2 2 2 +1 1 +11 2
2
3 +5
得 = 5 ． 2
18.【答案】解：(1)易知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(5 2 + 2) 2 + 40 + 60 = 0，
+ = 1
10 4
此时 = (40 )2 4(5 2 + 2) × 60 > 0，
解得 2
6
> ，
5
40 60
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
5 +2 5 +2
此时| | = √ 21 + ( 1 4)
2 = √ 1 + 2| 1|，
同理得| | = √ 1 + 2| 2|，
所以| | | | = √ 1 + 2| 1| √ 1 + 2| 2| = (1 +
2)| 1 2|
2
60(1+ ) 36
= 2 = 12 + 2 ，
5 +2 5 +2
6
因为 2 > ，
5
36 33
所以12 < 12 + 2 < ，
5 +2 2
33
则| | | |的取值范围为(12, )；
2
(2)证明：易知 (0,2)， (0, 2)，
2
所以直线 的方程为 = 2 + 2，
2
令 = 1，

解得 = 2 =
2 ，
2 2 2+ 2

所以 ( 2 , 1)，
2+ 2
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此时

= ( 2 , 3)， = ( 1, 1 + 2) = ( 1, 1 + 6)， 2+ 2
( +6) 4 +6( + )
因为3 21 ( )( 1 + 6) = 3 +
2 1 = 1 2 1 21 2+ 2 2+ 2 2+ 2
60 40
4 × 2 +6( 2 )
= 5 +2 5 +2 = 0，
2+ 2
所以 // ．
则 ， ， 三点共线．
19.【答案】解：(1)证明：因为两个正方形 ， 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，
平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，所以以 为原点，
， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = = √ 2 , (0 < < 1)，
则 ( , 0,1 )， ( , , 0)， (0,0,0)， (1,0,0)，
所以 = (0, , 1)， = (1,0,0)，
= 0 × 1 + × 0 + ( 1) × 0 = 0，
所以 ⊥ ；
(2)当 是线段 上靠近 的三等分点时， 也是线段 靠近 的三等分点，
2 1 2 2 1 1 1 2
则 ( , 0, )， ( , , 0)， = ( , 0, )， = ( , , 0)，
3 3 3 3 3 3 3 3
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 1
= 0 1 + 1 = 0 1
则由{ 1 ，得{ 3 31 2 ，取 = 1，则 1 = , 2 1
= 1，
1 = 0
3 1
+
3 1
= 0
1
所以 1 = (1, , 1)是平面 的一个法向量， 2
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2 1 2 2又 = ( , 0, )， = ( , , 0)，
3 3 3 3
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 1
2 = 0
2 + = 0
则由{ ，得{3 3
1
，取 2 = 1，则 2 = 1， 2 = 2，
2 22 = 0 2 + 2 = 03 3
所以 2 = (1, 1, 2)是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
1
| | |1 2| √ 6
则 = |cos , | =
1 2 = 21 2 =| 1 || 2 | √ 1 6
，
1+ +1×√ 1+1+4
4
所以当 是线段 靠近 的三等分点时，
平面 与平面 夹角的余弦值为√ 6；
6
(3)设球心 ( , , )，则 = = = ，
由 = ，得 2 + 2 + 2
1
= ( 1)2 + 2 + 2，解得 = ，
2
1
由 = ，得 2 + 2 + 2 = ( )2 + 2 + ( 1 + )2，解得 = ，
2
1
由 = ，得 2 + 2 + 2 = ( )2 + ( )2 + 2，解得 = ，
2
1 1 1
所以球心 ( , , )，
2 2 2
球 的半径 1 2 1 = = √ ( ) + ( )2
1 1 1
+ ( )2 = √ 2( )2 + ，
2 2 2 2 4
1 1
又0 < < 1，所以当 = 时，
2
= ，
2
1
故 = 4 × = ， 4
所以球 的表面积 的最小值为 ．
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