11.3　公式法 分层训练（2课时学生版+答案版）2024-2025数学青岛版七年级下册

二十九　公式法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点　用平方差公式因式分解
1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是(B)
A.x2+4y2 B.-x2+4y2
C.x2-2y+1 D.-x2-4y2
2.(2024·青岛李沧模拟)下列各式中,不能进行因式分解的是(D)
A.x2-16 B.9x-9
C.x2-6x D.x2+9
3.分解因式:4a2b2-1=　(2ab-1)(2ab+1)　.
4.分解因式:4y2-(x+y)2=　(x+3y)(y-x)　.
5.因式分解:(1)4a2-1;　　　(2)9x2-16.
【解析】(1)4a2-1=(2a+1)(2a-1);
(2)9x2-16=(3x+4)(3x-4).
6.分解因式:(1)-1+4x2;
(2)3a3-12ab2;
(3)a4-81;
(4)(x-y)3+4(y-x).
【解析】(1)-1+4x2=(2x+1)(2x-1).
(2)3a3-12ab2
=3a(a2-4b2)
=3a(a+2b)(a-2b).
(3)原式=(a2+9)(a2-9)
=(a2+9)(a+3)(a-3).
(4)原式=(x-y)3-4(x-y)
=(x-y)[(x-y)2-4]
=(x-y)(x-y+2)(x-y-2).
7.用简便方法计算:(1)2 0232-2 0222;
(2)4 0372-8 072×2 019.
【解析】(1)原式=(2 023+2 022)×(2 023-2 022)=4 045.
(2)原式=4 0372-2×4 036×2 019
=4 0372-4 036×4 038
=4 0372-(4 037-1)(4 037+1)
=4 0372-(4 0372-1)
=1.
【B层 能力进阶】
8.(2024·淄博博山质检)已知二元一次方程组则x2-y2+1的值是(B)
A.35 B.36 C.15 D.16
9.已知m+n=2,则m2-n2+4n的值是(C)
A.2 B.6 C.4 D.8
10.已知x+y=4,x-y=6,则2x2-2y2=　48　.
11.若x-y=2,则x2-4y-y2+3的值为　7　.
12.设a=192×918,b=8882-302,c=1 0532-7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列为　a13.下面是嘉淇同学把多项式-16my2+4mx2因式分解的具体步骤:-16my2+4mx2
利用加法交换律变形:=4mx2-16my2……第一步
提取公因式m:=m(4x2-16y2)……第二步
逆用积的乘方公式:=m[(2x)2-(4y)2]……第三步
运用平方差公式因式分解:=m(2x+4y)(2x-4y)……第四步
(1)事实上,嘉淇的解法是错误的,造成错误的原因是公因式没有提取完.
(2)请给出这个问题的正确解法.
【解析】(1)事实上,嘉淇的解法是错误的,造成错误的原因是公因式没有提取完;
(2)原式=4m(x2-4y2)
=4m(x+2y)(x-2y).
14.分解因式(4a+b)2-9b2,并求值,其中a+b=2,b-2a=3.
【解析】(4a+b)2-9b2
=(4a+b+3b)(4a+b-3b)
=(4a+4b)(4a-2b)
=8(a+b)(2a-b),
当a+b=2,b-2a=3时,
原式=8×2×(-3)=-48.
15.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片,然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述操作能验证的等式是a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)利用你从(1)中得出的等式,计算:
①已知x2-4y2=12,x+2y=4求x-2y的值.
②计算: (1-)×(1-)×(1-)×…×(1-).
【解析】(1)题图2阴影部分的面积为(a+b)(a-b),
所以a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)①因为x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=12,x+2y=4,
所以x-2y=3;
②(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)
=(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×…×(1-)×(1+)
=×××××…××
=×
=.
【C层 创新挑战（选做）】
16.【发现】一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a+b=10,若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则这两个数的平方差是20的倍数.
【解决问题】
(1)用含a的代数式表示:原来的两位数为9a+10,新的两位数为100-9a.
(2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确.
【解析】(1)因为一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a+b=10,
所以b=10-a.
所以原来的两位数为:10a+10-a=9a+10.
将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,
所以新的两位数为:10(10-a)+a=100-9a;
(2)根据题意得,(9a+10)2-(100-9a)2
=(9a+10+100-9a)(9a+10-100+9a)
=110(18a-90)
=1 980(a-5)
=99×20(a-5).
因为a是整数,
所以(9a+10)2-(100-9a)2能被20整除,即【发现】中的结论正确.二十九　公式法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点　用平方差公式因式分解
1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+4y2 B.-x2+4y2
C.x2-2y+1 D.-x2-4y2
2.(2024·青岛李沧模拟)下列各式中,不能进行因式分解的是( )
A.x2-16 B.9x-9
C.x2-6x D.x2+9
3.分解因式:4a2b2-1= .
4.分解因式:4y2-(x+y)2= .
5.因式分解:(1)4a2-1;　　　(2)9x2-16.
6.分解因式:(1)-1+4x2;
(2)3a3-12ab2;
(3)a4-81;
(4)(x-y)3+4(y-x).
7.用简便方法计算:(1)2 0232-2 0222;
(2)4 0372-8 072×2 019.
【B层 能力进阶】
8.(2024·淄博博山质检)已知二元一次方程组则x2-y2+1的值是( )
A.35 B.36 C.15 D.16
9.已知m+n=2,则m2-n2+4n的值是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
10.已知x+y=4,x-y=6,则2x2-2y2= .
11.若x-y=2,则x2-4y-y2+3的值为 .
12.设a=192×918,b=8882-302,c=1 0532-7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列为 .
13.下面是嘉淇同学把多项式-16my2+4mx2因式分解的具体步骤:-16my2+4mx2
利用加法交换律变形:=4mx2-16my2……第一步
提取公因式m:=m(4x2-16y2)……第二步
逆用积的乘方公式:=m[(2x)2-(4y)2]……第三步
运用平方差公式因式分解:=m(2x+4y)(2x-4y)……第四步
(1)事实上,嘉淇的解法是错误的,造成错误的原因是 .
(2)请给出这个问题的正确解法.
14.分解因式(4a+b)2-9b2,并求值,其中a+b=2,b-2a=3.
15.如图1,从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片,然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述操作能验证的等式是 .
(2)利用你从(1)中得出的等式,计算:
①已知x2-4y2=12,x+2y=4求x-2y的值.
②计算: (1-)×(1-)×(1-)×…×(1-).
【C层 创新挑战（选做）】
16.【发现】一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a+b=10,若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则这两个数的平方差是20的倍数.
【解决问题】
(1)用含a的代数式表示:原来的两位数为 ,新的两位数为 .
(2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确.三十　公式法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　用完全平方公式因式分解
1.(2024·烟台莱阳模拟)因式分解a2-2ab+b2的结果是(A)
A.(a-b)2 B.(a+b)2
C.(2a-b)2 D.(a-2b)2
2.(2024·滨州沾化模拟)已知实数a比b大1,则a2-2ab+b2的值为(A)
A.1 B.0 C.-1 D.a
3.因式分解x2y2-2xy+1=　(xy-1)2　.
4.(1)4x2-12xy+9y2;
(2)xy2-4xy+4x.
【解析】(1)4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2;
(2)原式=x(y2-4y+4)=x(y-2)2.
知识点2　因式分解法的综合应用
5.(2024·淄博张店模拟)下列因式分解中,正确的是(D)
A.x2-4x+4=x(x-4)+4
B.4a2-12a+9=(2a+3)2
C.ab2-ac2=a(b2-c2)　　
D.(x+3)2-4=(x+5)(x+1)
6.分解因式:x4-2x2y2+y4=　(x+y)2(x-y)2　.
7.分解因式:-(a+2)2+16(a-1)2=　3(5a-2)(a-2)　.
8.因式分解:
(1)(x2-2y)2-(1-2y)2.
(2)x4-8x2y2+16y4.
【解析】(1)(x2-2y)2-(1-2y)2
=(x2-2y+1-2y)(x2-2y-1+2y)
=(x2-4y+1)(x2-1)
=(x2-4y+1)(x-1)(x+1).
(2)x4-8x2y2+16y4
=(x2-4y2)2
=[(x+2y)(x-2y)]2
=(x+2y)2(x-2y)2.
【B层 能力进阶】
9.若4x2-kx+1能用完全平方公式进行因式分解,则k=(B)
A.4 B.-4或4
C.8 D.-8或8
10.(2024·德州德城模拟)将多项式16m2+1加上一个单项式后,使它能够在我们所学范围内因式分解,则此单项式不能是(B)
A.-2 B.-15m2
C.8m D.-8m
11.农场里有一个长方形鸡舍,长和宽分别为a,b,其周长为10,且a2b+ab2=30,则鸡舍的面积为(A)
A.6 B.10 C.3 D.8
12.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ac=b2-bc,则△ABC一定是(A)
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
13.(2024·聊城东昌府模拟)甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时,甲看错了b的值,分解的结果是(x-4)(x+5),乙看错了c的值,分解的结果是(x+3)(x-4),那么c-5b的值为(B)
A.15 B.-15 C.25 D.-25
14.若a+b=2,ab=3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　12　.
15.若a2+2ab+b2-c2=10,a+b+c=5,则a+b-c的值是　2　.
16.已知x≠y,且满足两个等式x2-2y=2 0232,y2-2x=2 0232,则x2+2xy+y2的值为　4　.
17.生活中我们经常用到密码,如手机解锁、密码支付等.为方便记忆,有一种用“因式分解”法产生的密码,其原理是:将一个多项式分解成多个因式,如:将多项式x3-9x分解结果为x(x+3)(x-3).当x=20时,x+3=23,x-3=17,此时可得到数字密码202317.将多项式x3+mx2+nx因式分解后,利用题目中所示的方法,当x=12时可以得到密码121314,则mn=　6　.
18.(2024·枣庄市中模拟)如图,将平面图形甲、乙分别绕轴l,m旋转一周,可以得到立体图形①、②,图形甲是直角边分别为a,3b的直角三角形,图形乙是长、宽分别为a,b的长方形,已知a>b,试猜想这两个立体图形哪个体积更大,并通过计算证明自己的猜想(V圆锥=πr2h,V圆柱=πr2h).
【解析】图形①的体积更大.
设图形①,②的体积分别为V1,V2,
则V1=πa2×3b=πa2b,V2=πb2a,
所以V1-V2=πa2b-πb2a=πab(a-b),
因为a>b,所以V1-V2>0,
故图形①的体积更大.
【C层 创新挑战（选做）】
19.(运算能力、推理能力、抽象能力)阅读下列材料:
将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).
(1)根据材料,把x2-6x+8因式分解.
(2)结合材料完成下面小题:
①分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3;
②分解因式:m(m+2)(m2+2m-2)-3.
(3)结合材料分解因式x2-2xy+y2-16.
【解析】(1)因为-6=-4-2,8=(-4)×(-2),
所以x2-6x+8=(x-2)(x-4);
(2)①因为4=1+3,3=1×3,
所以(x-y)2+4(x-y)+3=(x-y+1)(x-y+3);
②m(m+2)(m2+2m-2)-3
=(m2+2m)(m2+2m-2)-3
=(m2+2m)2-2(m2+2m)-3,
因为-2=-3+1,-3=-3×1,
所以(m2+2m)2-2(m2+2m)-3
=(m2+2m-3)(m2+2m+1)
=(m-1)(m+3)(m+1)2,
所以m(m+2)(m2+2m-2)-3=(m-1)(m+3)(m+1)2;
(3)x2-2xy+y2-16
=(x-y)2-16
=(x-y+4)(x-y-4).三十　公式法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　用完全平方公式因式分解
1.(2024·烟台莱阳模拟)因式分解a2-2ab+b2的结果是( )
A.(a-b)2 B.(a+b)2
C.(2a-b)2 D.(a-2b)2
2.(2024·滨州沾化模拟)已知实数a比b大1,则a2-2ab+b2的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.a
3.因式分解x2y2-2xy+1= .
4.(1)4x2-12xy+9y2;
(2)xy2-4xy+4x.
知识点2　因式分解法的综合应用
5.(2024·淄博张店模拟)下列因式分解中,正确的是( )
A.x2-4x+4=x(x-4)+4
B.4a2-12a+9=(2a+3)2
C.ab2-ac2=a(b2-c2)　　
D.(x+3)2-4=(x+5)(x+1)
6.分解因式:x4-2x2y2+y4= .
7.分解因式:-(a+2)2+16(a-1)2= .
8.因式分解:
(1)(x2-2y)2-(1-2y)2.
(2)x4-8x2y2+16y4.
【B层 能力进阶】
9.若4x2-kx+1能用完全平方公式进行因式分解,则k=( )
A.4 B.-4或4
C.8 D.-8或8
10.(2024·德州德城模拟)将多项式16m2+1加上一个单项式后,使它能够在我们所学范围内因式分解,则此单项式不能是( )
A.-2 B.-15m2
C.8m D.-8m
11.农场里有一个长方形鸡舍,长和宽分别为a,b,其周长为10,且a2b+ab2=30,则鸡舍的面积为( )
A.6 B.10 C.3 D.8
12.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ac=b2-bc,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
13.(2024·聊城东昌府模拟)甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解因式时,甲看错了b的值,分解的结果是(x-4)(x+5),乙看错了c的值,分解的结果是(x+3)(x-4),那么c-5b的值为( )
A.15 B.-15 C.25 D.-25
14.若a+b=2,ab=3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 .
15.若a2+2ab+b2-c2=10,a+b+c=5,则a+b-c的值是 .
16.已知x≠y,且满足两个等式x2-2y=2 0232,y2-2x=2 0232,则x2+2xy+y2的值为 .
17.生活中我们经常用到密码,如手机解锁、密码支付等.为方便记忆,有一种用“因式分解”法产生的密码,其原理是:将一个多项式分解成多个因式,如:将多项式x3-9x分解结果为x(x+3)(x-3).当x=20时,x+3=23,x-3=17,此时可得到数字密码202317.将多项式x3+mx2+nx因式分解后,利用题目中所示的方法,当x=12时可以得到密码121314,则mn= .
18.(2024·枣庄市中模拟)如图,将平面图形甲、乙分别绕轴l,m旋转一周,可以得到立体图形①、②,图形甲是直角边分别为a,3b的直角三角形,图形乙是长、宽分别为a,b的长方形,已知a>b,试猜想这两个立体图形哪个体积更大,并通过计算证明自己的猜想(V圆锥=πr2h,V圆柱=πr2h).
【C层 创新挑战（选做）】
19.(运算能力、推理能力、抽象能力)阅读下列材料:
将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).
(1)根据材料,把x2-6x+8因式分解.
(2)结合材料完成下面小题:
①分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3;
②分解因式:m(m+2)(m2+2m-2)-3.
(3)结合材料分解因式x2-2xy+y2-16.